复数代数形式的加减运算及几何意义教学设计

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义

教学目标：

知识与技能：掌握复数的加法运算及意义

过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的

几何意义

情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚

数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，

不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系.

教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪C

教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个

点，有惟一的一个复数和它对应。复数斤m•加’（以方仁心与有序实数对（d份是

---对应关系这是因为对于任何一个复数冷却■加（日、人£R）,由复数相等的定义

可知，可以由一个有序实数对（a,b）惟一确定.

教学过程；

学生探究过程:

1.虚数单位i:（D它的平方等于-1,即12=-\;（2）实数可以与它进行四

则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2.i与一1的关系：i就是一1的一个平方根，即方程/二一1的一个根，方

程步二一1的另一个根是一，

3.i的周期性：产―，/^2=-1,/三T,产口

4.复数的定义：开乡如。+〃（。力£尺）的数叫复数，。叫复数的实部，〃叫复数

的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*

3.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z=a+4（a,〃eR）,把复数

表示成》的形式，叫做复数的代数形式

4.复数与实数、虚数、纯虚数及。的关系：对于复数〃+〃•(〃/£R),当且

仅当少0时，复数a+b/(a、beR)是实数a；当。壬。时，复数■历'叫做虚数;

当序：()且8W0时，毛加,叫做纯虚数；当且仅当产房0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：NWZ&QWR式.

6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们

就说这两个复数相等即：如果a,b、。，d£R,那么才。了-b-d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都

是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

7.复平面、实轴、虚轴：y＞

一_.Z(a,b)

点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数b-----------------

z=»(a、6£R)可用点Z(a,。)表示，这个建立

了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也

叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴0，aX

实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所

确定的复数是^0+0/=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数z=a+6＜，侬・＞复平面内的点Z(〃M|

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面

内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法

8.若A(x,y),0(0,0),则。4=",)，)

9.若。=区,凹)，b=(x2,y2),则=(2+%)，

a-h=(xl_々，弘一)’2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

10.若4(%,弘),B(x2,y2),则48=(工2-4丁2-凹)

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

即AB=OB-OA=(x2,y2)-(xby))=(x2-xby2-y)

讲解新课：

一.复数代数形式的加减运算

1.复数©与a的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c^d>)=(a+c)+(加中上

2.复数％与0的差的定义：z「zM/bi)Y>di)=(a~。+(b~d)i.

3.夏数的加法运算满足交换律：©十Z2-Z2十冬.

证明：设3二句+仇，，z2=a2+&7(<ai,b\,a>,bQR).

©+z2=(d+6。+la+bf)=(&+&)+(力+b)i.

Z2+Z尸(d2+力，)+(句+"i)=(及+a)+(从+b)L

又.•4+及=比+句，力i+力=

，Zl+Z2=Z2+Z1.即复数的加法运算满足交换律.

4.复数的加法运算满足结合律：(Z1+Z2)+Z3=©+(Z2+Z3)

证明：设z尸4+6]上勿9+力了，Z3=&rWJ(句，改,a，b\,&&R).

V(Zi+z2)+z3=[(句+以了)+(4+&/)]+(&+&/)

=[(句+&)+(6+&)+(a+&)，

=[(句+&)+a]+[("+&)+&]i

-(臼+全+日3)+(bi+bz+A)上

为+(为+勿)=(@+6/)+[(8+67)+(&+&/)]

=(a+匕]i)+[(包+&)+(&+儿)i~\

■[句+(a+为)]+"+(&+&)]i

=(国+&-a)+(仇+&+A)i

:(团+/)+&W+(a+&)，(占+m+&二仇+必+&).

，(Zl+Z2)+Z3=©+(&+㈤.即复数的加法运算满足结合律

讲解范例：

例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-lli

例2计算：(1-27)+(-2+37)+(3-4/)+(-4+5/)+…+(一

2002+20037)+(2003-20047)

解法一：原式=(1-2+3—4+----2002+2003)+(-2+3-4+5+…+2003—

20047)=(2003-1001)-(1001-2004)7=1002-1003i.

解法二:V(1-2/)+(-2+3/)=-1+7,

(3—4/)+(—4+5，)=一1+7,

(2001-20027)+(-2002+2003)4一1+上

相加得(共有1001个式子)：

原式二1001(—1+。+(2003-2004/)

=(2003-1001)+(1001-2004)1=1002-10037

二.复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加(减)法3bi)±(c+di)=(a±c)+(b±cDi.

与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相

加(减).

1.复平面内的点Z(a/)一^~＞平面向量OZ

2.复数z=〃+b"刈"一平面向量OZ

3.复数加法的几何意义：

设复数Zi=a+bi,砥8di,在复平面上所对应的向量为\7

鬲、返，即该、运的坐标形式为该=(小力)，返二(c,

中以该、。口为邻边作平行四边形OZ,ZZz,则近角线“对应।

的向量是应，

OZ=OZ,+OZ2=(atb)+(c,d)-(a+c,=(a+c)+i

4.复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(〃一C)十(〃一Si,

所以Z—ZLZ2,Z2+Z尸z,由复数加法几何意义，以02为一条对角线，西为一

条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边砺所表示的向量返就与复

数Z—©的差(d—c)+3一中，对应由于OZ2=Z1Z,所以，两个复数的差Z—©

与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

例3已知复数©=2+，，々=1+2/在复平面内对应的点分别为/、B,求A8对

应的复数z,z在平面内所对应的点在第几象限？

解：Zi=(l+2/)—(2+7)=—1+J,

•・・z的实部小一1V0,虚部/产1>0,

・,・复数z在复平面内对应的点在第二象限内.

点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复:数减去始点

所对应的复数所得的差.即AB所表示的复数是为一区,ifijBA所表示的复数

是Z.LZA，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量而的位置可以不同，只要它

们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量而所对应的复数是惟一的,

因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位

置无关

例4复数办=1+2工z2=—2+7,z3=-1—27,它们在复平面上的对应点是一

个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

分析一：利用标二前，求点〃的对应复数.

解法一：设复数％、Z2、Z3所对应的点为力、B、C,正方

故点〃对应的复数为2一/.

分析二：利用原点。正好是正方形力皿的中心来解.

解法二：因为点力与点C关于原点对称，所以原点。为正方形的中心，于是

(-2+7)+

(户”)=0,/.A=2,y=—1.

故点〃对应的复数为2—工

点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，

往往能起到启迪解题思路的作用

巩固练习：

1.己知复数©=2+f,22=1+27,则复数£Z2一©在复平面内所表示的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.在复平面上复数一3一2工-4+5/,2+，所对应的点分别是/、B、3则平行

四边形力即?的对角线协所对应的复数是

A.5-97B.-5-3；C.7-11；D.-7+11；

3.已知复平面上△力仍的顶点力所对应的复数为1+2/,其重心G所对应的复

数为1+7.，则以〃力、力为邻边的平行四边形的对角线长为

A.3A/2B.2V2C.2D.y[5

4.复平面上三点/、B、。分别对应复数1,2j,5+2,则由力、B、C所构成的

三角形是

A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

5.一个实数与一个虚数的差()

A.不可能是纯虚数B.可能是实数

C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数

6.i+M(-V2+V3/)4-(V3-V2z)-[(V3-V2)+(V3+V2)/]=.

7.计算：(2户3y£,—(3x—2yi)+(y—2xi)—3xi=(x、R).

8.计算(1-27)-(2-37)+(3-47)-(2002—20031).

9.已知复数z产-—3+(a+5)iyz^a—l+(a+2a—1)f(a£R)分别对应向量

厉、OZ[(。为原点)，若向量在对应的复数为纯虚数，求a的值.

解：Z?2对应的复数为3一z”则

2

z2—Zi=5—l+(a+25—1)i-［，-3+(a+5)=(a--+2)+(#+^—6)/

是纯虚数

。一〃2+2=0

,解得才一1.

+a-6Ho

10.已知复平面上正方形的三个顶点是A(1,2)、B(—2,1)、C(—L

-2),求它的第四个顶点〃对应的复数.

解：设〃(x,则

AD=OD-OA对应的复数为(卢门')-(l+27)-U-l)+(y-2)7

前=无一方对应的复数为：(一1一2。一［一2+力=1一3了

9：AD=BC：.(^-l)+(y-2)7=1-3/

一一解得Ix=