概率论-考研讲义笔记

概率论-考研讲义笔记

•随机事件与概率

.概率论基本概念

•随机试验

•样本空间(集合)、样本点

•随机事件：样本空间的子集

•事件间的关系

•包含：A发发生一定导致B发生，则B包含A

•相等：A=B,A包含B,B包含A

•互斥：AB不可能同时发生，ACIB=0

•对立一定互斥，互斥不一定对立

•事件的运算

•并：A、B至少发生一个

•交：A、B同时发生

•差：A-B,A发生B不发生

•对立事件：A不发生

•德摩根律，A-B=A-AB=AB/差变交

•概率

•公理化定义

•非负性

•规范性

•可列可加性(互不相容时)

■崛

•P(A-R)=P(A)-P(AR)

•若AuB,则P(A)WP(B)

•P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

•□(□□DU□)=□(□)-□(□)+□(□)-□(□□)-□(□□)-□；□□)+□(□□□),推广

•Boole不等式:(UnionBound)(非互不相容的事件集)两种方法证明

p(u⑷加pg：

•古典概型

•特点：样本空间的元素只有有限个;每个样本点发生的可能性相同

•定义：P(A);A包含样本点数/Q包含样本点数=(|A|)/(|Q|)

•典型例题

•男n女m,围成一圈，女生互不相邻的概率？

'"N(〃+M!―

•抽签原理

•随机取数(乘积能被10整除)：分解成两个事件的交——至少一个偶数，至少一个5

•取即钉：利用巨斥性

•几何概型

•特点：样本空间无限性；等可能性

•定义：口(口)=□的几何测度/□的几何测度=(□(□))/(□(□))

•典型例题

•约会问题：0<=x,y<=60,|x-y|<=15,面积

•蒲丰投针

•条件概率

•定义：□(□!□)=□(□□)/□(□)

•本质：缩减的样本空间

•乘法公式：

•□(□□)=□(□)□(□!□),□(□□)=□(□)□(□!□),

•推广到多个事件：若口■口□□•••□(□-□))>□,则口(□口

□□)=□(□□)□(□□!□□)••□(□□■□(□-□))

•全概率公式(求结果发生的概率(即求□(□)))

设备*2，…,41为样本空间n的一个划分，P(4*)>0,k=l,2…n,则有

P(B)=E£=|P(4&)P(8|4).

•应用：推迟决定原则

•贝叶斯公式：(已知事件□发生，求□由第□个原因引起的概率(即求口(□口|口)))

设AI，A2，…,4n为样本空间。的一个划分，P(4)>0,1=1,2，…,几则

=P(4)P(BH)

'E；=]P(4/)P田修)

•应用：患肝癌概率，三囚犯问题，三门问题

•独立性：P(AB)=P(A)P(B)

•性质：P(B|A)=P(B),概率为0或1的事件与任意事件独立，AA与B,B，都相互独立

•独立与互不相容的关系：(P(A)、P(B)均大于0)若A、B相互独立，则不可能互不相容；若A、

B互不相容，则不可能相互独立(P(A)P(B)>0)

•n个事件的独立性：n个事件独立=>其中任意k个事件独立，反之不成立

•分组独立性：

□例：设勺，…,48相互驾J则

41U42,43A4U45，46-^7»^8

相互独立。

•独立事件至少发生一次的概率：

若41dz，•-4相互独立，则

P(U34)=1-P(五)哂)…咽).

游别地，若P(4)=p/=1,2…n,W

P(U%4)=1-(1-pV-1,当n"♦8

•应用：系统可靠性，矩阵乘法验证

•离散型随机变量

•随机变量

•定义：把口中的每一个样本点□与一个实数□(口)相对应，称实值函数□:口一口为随机变量，随机

变量在某范围的取值表示随机事件

•Y=g(X)的分布：合并相同项

•二维离散型随机变量(X,Y)

•联合分布律:□□□=□(□=□□,□=□□)(歹I」表)

•边缘分布律：P{X=xi}=Pi-ZP(Y=yj)=Pj

•两个离散型随机变量的独立性：对所有x,y,□(□=□,□=□)=□(□=□)□(□=□),则X,Y独立

•推广：多个离散型随机变量的独立性：对任意取值的xl，…,xn,P(Xl=xl，…,Xn=xn)=P(X1

=xl)...P(Xn=xn)(只要一个公式)

•期望

•定义

设x为离散型版机变量，分布律为

P(X=X1)=p(,i=1,2,...

若级数Eti为P,绝对收敛，则体级数工之为P,的和为x的数学期里，记为E(X),即

若级数EZiMlP,发散，则称X的数学期望不存在

•有4个盒子，编号为1,234。现将3个球随机放入4只盒子。用口表示有球盒子的最小号码，

求□(口).

•随机变量函数的期望：

□£(y)=E(/(X))=左/(勺)p(x=勺)=£/a)Pi

•期望的线性性质：(如何证明*)(不依赖于独立性)

•例：猴子打字

•fE(f(x))!=f(E(x)),如E[xA2]>=E[x]A2

IJensen不等式：设f为下凸函数，则E[f(x)]>=f(E[x])

•几个典型的离散型随机变量

•0-1分布(伯努利试验)：随机试验只有两个结果：A与A：A发生则X=1,否则X=0,X为

指示变量

•期望：E[X]=p

•方差：D(X)=p(l-p)

•二项分布(n重伯努利试验,每次实验结果相互独立，X为n次试验中A发生的次数)：

•定义：记为X~B(rip)

P(X=i)=C)pf(l-p尸,i=0,1，…,n

•期望：E(x)=np(证明：公式*/期望的线性性质)

•二项式定理：

n

r=0

•方差：D(X)=npQ-p)(由0-1分布方差相加而来)

•二项分布的最大值(解法*)：(n+l)p-l<=kO<

•泊松近似公式：(n>

(泊松定理)设〃PnT〃>0)为常数，则对于任意固定的正整数有

圾O(1—Pn尸=看"

•泊松分布(大量实验中稀有事件出现的次数，人意义：事件的平均发生次数)

•定义：(验证*)

如果随机变量X的分布律为

乃

P(X=1c)=—(&=0,1,2,...)

其中入>0为常数，则称陋机变量X服从参数为入的泊松分布，记为

x-PW

l+x+2!+3!+4!+-

•期望：E(X)=A(证明*)

•方差：D(X)=A(证明*)

•泊松变量的和：仍是泊松变量：若,口~口(口口)且口，□典，则□+□一□(□□+□□)

(证明*!)

•例：昆虫卵的分布”(条件概率+全概率公式)

•几何分布(多重伯努利试验，不断重复直至A发生所需次数)

•定义：

X服从参数为p的几何分布，即

P(X=k)=qip(k=1,2,...)

记为

X〜G(p).

•无记忆性(证明*,P(X>t)=qAt):假设已经经历了□次失败，则从当前起直至成功所

需次数与口无关。严格地，设口~口(口)，则对于任意自然数口，口有□(□>□+□|□>□)=□(□>□),

等价地,□(□=□+□|□>□)=□(□=□)

•期望：E(x)=1/p(三种证明方法*:定义(注意求导、负号)/定理/条件期望)

定理：设？是取值为非负整数的离散随机变量，则

E(x)=yP(X>i).

•方差：D(x)=(l-p)/pA2(证明*:两种算Epe2]方法：定义(求导、错位相减)/条件期

里+无记忆性)

•典型例题：票券收集问题(调和级数H(n)=lnn+0(l)),快速排序比较次数X的期望

•条件期望(常结合无记忆性)

•条件分布(某事件A发生的条件下X的分布)：P(X=x|A)

•条件期望

在事件4(P(4)>0)的条件下，随机变量X的条件期望可定义为

E[X\A\=\xP(X=x\A)

X

□E[x\Y=y]=Y.XXP(X=XIr=y)

•全期望公式(证明*)

□对于随机变量X和Y,

E[X]=^P(Y=y)E\X\Y=y]

y

•应用：证明几何分布的期望(按第一次事件是否发生分情况，利用无记忆性)

•条件期望定义的随机变量：f（Y）;

•性质：E[E[X|Y]]=E[X]（证明*,用全期望公式）

•应用：分支过程（递归式）

•方差

•马尔可夫不等式（证明*，引入变量I<=x/a）只知道期望，且取值非负时使用，P（X>=cE[x]）

<=1/c

设随机变量x非负，则对任意。>0,

£（X）

P（X>a）<

a

•方差（反应数据的离散程度）

•定义：D(X)=E[(X-E[X])A2]

•简便计算：D（X）=E[X八2]-E凶人2

•性质：D(c),O,D(cX)=cA2D(X),D(-X)=D(X)(无线性性质)

•协方差

•定义：随机变量口和口间的协方差为

•口（口±口）=口（口）+口（口）±口口口口（口,口）（证明）

•性质

•cov(X,c)=0

•cov(aX,bY)=ab-cov(X,Y)

•cov(Xl+X2,Y)=cov(Xl,Y)+cov(X2,Y)

•若X与Y独立，则cov(X,Y)=0(反之不成立)，即E[XY]=E[X]E[Y],D(X+Y)=D(X-

Y)=D(X)+D(Y)

•随机变量和的方差

对于有限个陋机变量Xi，X2，…,xn,

咆:产）工0(%)+2Wcov(M，X/)

特别地，若，…,X“两两独立，则

•切比雪夫不等式（证明*：利用马尔可夫）

对于任意a>0,

P(|X-E[X]|>a)<^

•例：抛硬币

.连续型随机变量

.一维连续型随机变量

•分布函数

•定义：F(x)=P(X<=x)

•P(xl<=X<=x2)=F(x2)-F(xl)

•性质(反之，任一有下列三个性质的函数都是某随机变量的分布函数)

•单调不减(证明)

•F(-oo)=0,F(+oo)=1

•F(x)是右连续的(左闭右开)

1-------------

P1+P2+P3-------

--------

Pl-----------

---------------1——'-----------'------------X

.V]-----------工3M

•连续型随机变量

•定义

设X为系机变量，F(x)为X的分布函数，若存在非负函数p(x),使对于任意实数x有

「(*)=(P«)dt

/.8

剧称X为连续型掩机变量，其中p(x)称为X的概率密度函数，简称宙度函数。

•性质

•对任意X,p(x)>0

•J(-oo,+oo)p(x)dx=1

•F(x)是连续函数

•P(xl<=X<=x2)=F(x2)-F(xl)=f(xl,x2)p(x)dx

•P(x=a)=0

•若P(x)在点x处连续，则F(x),=p(x)

•连续型随机变量函数的分布计算

•分布函数法

先求y=g(X)的分布函数

户心)=P(Y<y)=P(g(x)<y)=fPxMdx

Jx:q(M)Wy

y的密度函数PY(y)=4(y)

•定理(绕过积分)

及牌R丈ftx的，良弟欧力

・心a<x<b

W⑶］。Mt

(。可为・8••弓力8%管施©y-0(x)在(o.3大处可»・尺・'(幻假大干。(或植小于6・f,*桂军曹电力

西⑺,师小①川⑵3口073

。Mt

Mt«-muit(郡40・。9,).，-1110X1,9).09)).

•联合分布函数

•定义：F(x,y)=P(X<x,Y<y)(几何意义：无穷矩形)

•性质

•F(x,y)对每个变量单增不减

•F(-oo,y)=0,F(0,-co)=0,F(-oo,-co)=0,F(+oo,+oo)=1

•F(x,y)关于每个变量右连续

•边缘分布函数:FX(x)=F(x,+oo)=P(X<=x),FY(y)=F(+oo,y)=P(Y<=y)

•随机变量的独立性

•定义：对任意xyP(X<=x,Y<=y)=P(X<=x)P(Y<=y)<=>F(xzy)=FX(x)FY(y)f则随机

变量X,Y相互独立

•定理：若X,Y独立，则f(X),g(Y)也独立

•期望(绝对收敛则存在)

r+00

E(X)=Ixp(x)dx

J—g

・性质

类似于离散型，连续型7.期望同样具有线性性

质

□X连续型，密度函数为p(x),令丫=g(X)(g(x)

连续)•若。：gCOpCOd工绝对收敛，则

E(y)=E[g(X)]=虞gO)pO)d筋

口类似地，XI连续型,联合密度为p(Xy),则

E(Z)=E[g(X")]

r+OO,+8

=IIg(xty)p(xty)dxdy

J-8J-8

•方差、协方差：同连续型

•二维连续型随机变量

•定义

对于二维禁机变*(X,y)的分布函数F(x,y),如果存在非负而数P(x,y),使得时于任意的X7有

F(")=(Ip(u.v)dudv

J—CDJ.CD

则称(x,y)是二维连埃型总机支*,由数p(*,y)称为(xi)的联合级率密度由敦，简称概率由度.

■蜩

•P(X,y)>=0

•f(-oo,+oo)J(-oo,+co)p(x,y)dxdy=F(+oo,+oo)=1

若p@，y)在点(%y)连续，则有

。2尸(")

dxdy=p(xy).

设G是平面上的一个区域，点(x,y)落在G中的概率为

?((X,Y)wG)=l^p(xty)dxdy

•边缘密度：已知联合密度p(x,y),求X,Y的密度函数

,+8,+8

PxW=F'XM=Ip(x,y)dy,pr(y)=F》(y)=Ip(x,y)d4

J一8)一8

边缘分布函数与边缘密度函数的关系

G(X)=[Px(戈)此K(P)=J：P1(切力

•二维随机变量函数的分布：已知p(x,y),求Z=g(X,Y)的概率密度

•分布函数法

允氽Z-g(M>9约分布的象

Fz(z)=P(Z<z)=P(g(X,Y)<z)=jjpCx.y'idxdy,DtS{(x,y)|^(x,y)<z]

畀求Z的密度禽*PXD&Q)

•卷积公式(Z=x+Y)

卷积公式

若x,y相互独立，则

Pz(Z)=L"x(X)P>(Z-幻公

或Pz⑵=J「Px(Z-『)Py(『)如

•不独立时

,z(z)=Lp(x^-x)dx

或由Fx(z)=J二甸=p(x,y)dx

类似得：0z(z)=J：P(z-y,y)dy

•极大极小分布

设Xi，…,％,是n个相互独立的帧机变量，它＜1的分布函数分别为尸M(X)」=1，…,n则

。M=m产为的分布函数为F«(z)=Fx,(z)…也㈤

oN=mjnXf的分布由数为FN(Z)=1-[l-Fx/z)]…[1-Fx.(z)]

特别地，当X]…,X”独立同分布时

oFM=]F(z)F

。Fw(z)=1-(1-F(z)]"

•二维随机变量条件分布率

•二维连续型随机变量独立的条件：p(x,y)=pX(x)pY(y)

•条件分布、条件密度

在x=x条件下，y的条件分布为

尸wx=x(y)=尸(丫4y|x=x)=

-00PxW

y条件密度为Py|x=x(y)=甯，也记为PY\XMX)

□同理，在y=y条件下，x的条件分布为

XP(u,y)

Px\Y=yM=P(X<x\Y=y)=

-00py(y)

x条件密度为Px\Y=yM=窝,也记为Px|"X|y)

•乘法公式

p("y)=Px(%)Py|x(y|x)，Px(%)>0

p(%,y)=p『(y)px|y3y),py(y)>o

•全概率公式

r+co「+8

PxW=p(xty)dy=Px\Y(x\y)pYWdy

-co-co

p+00「+8

Pr(y)=p(x,y)dx=PY\x(yWpxWdx

•/-on-on

•典型连续型随机变量的分布

•均匀分布

•密度函数

定义设连续型随机变量X具有概率密度

i/

一,a<x<b,

P(x)b-Q

0,其它，

则称X在区间（%b）区间上服从均匀分布,

记为X~U（a、b）.

•分布函数

AX<</,

x-a

尸(x)=・,a<x<b

b-ay

1,x>b.

•期望，方差

E(X)=*（刈=答

•定理(FY(y)<=y)

设x的分布函数F（x）严格单调递增，令y=F（x）,则y~u（0,i）.

设X〜U(a,b),则对于任意a<cWdVb,

c-a

P(X<c\X<d)=--

a—a

•指数分布

•密度函数

设连续型随机变量X的概率密度为

Ae~Ax,x>0

PW=0,x<0

其中人为常数，则称X服从参数为2的指数分布，记为X〜£（入）.

•分布函数

1-e-Ax,x>0

F(X)=

0,x<0

•期望，方差

设X〜E(2),则E(X)=p0(X)=/

AA

•无记忆性

设X〜E(R,则对于任意实数s,t>。有

P(X>s+t\X>t)=P(X>s)

•多个指数分布随机变量极小值的分布

设Xi〜E(Z),i=l,2，…,71,且相互独立，令

y=nunXj,则Y〜EC)且P(m\nXt=X'=备

•正态分布

•密度函数

设连续型陆机支量*的物率由度为

P(X)=^1-e--,-8<x<co

其中“,。8>0)为常数，则徐X根从参数为的正态分布(也叫高斯分布)，记为X~N3,O2)

•几何特征

□当％=〃时，p(%)取得最大值寻

•曲线在□=□士口处有拐点

•当固定□，改变匚大小时，图形的形状不变，只是沿着横轴作平移变换

•当固定□，改变匚大小时，图形对称轴不变，但形状在改变；□越小，图形越高越陡，反

之图形越彳氐越缓

•分布函数

丫1r(J")2

口/(％)=J_8P⑷或=嬴Qe2"dt

•期望，方差(证明r换元，奇函数，。=1、R=1的正态分布积分=1)

□设X〜N^t,a2),则E(X)=%D(X)=a2

•标准正态分布N(0,l)

□标准正态分布的密度函数记为*(%)

1_x^

<p(x)=—z=e~~2,-00<X<00

yj2n

标准正态分布的分布函数记为0(X)

•性质(随机变量函数公式证明*)

□设X〜N(〃R2),y=ax+b(aro),则

Y〜N(a〃+b,(aa)2)

•一般正态分布的概率计算

推论

若X〜N（〃,a2），则y=一〜N（0,1）

•独立正态分布随机变量的和

设X~~加（〃2。分,且两者独立，则Z=X+y~N（〃1++蟾）

•典型二维连续型随机变量分布

•二维均匀分布

设。是平面上的有界区域，其面积为4,如果二维随机变量（MY）的密度函数为

fl

P（4,.=

0,（“）£。

则称（XI）服从。上的二维均匀分布。

•二维正态分布

(x,y)〜域内,P)

•边缘分布

□设(x,y)〜N(〃I,〃2，吐星p),则

x〜N(〃I,说),y〜N(〃2,而

]F)2

2<T

即：PxM=ykZnaje1,-00<X<4-0C

1(y-M2)2

Py(y)=—}=-e2.,-00<y<+8

y/2na2

•独立性:X,Y独立<=>p=0

•协方差:cov(X,Y)=polo2,cov(X*,Y*)=p

•相关系数

•标准化随机变量

X.=X-E(X)

~yfW

□E(X')=0

□D(X*)=1

•相关系数

_cov(x,y)

Pxv―J“(X)D(y)

□记X,y的标准化随机变量为X*,F,则有

C0V(X\r)=pXY

•相关系数性质

•柯西许瓦兹不等式

［E（xr）］2<E（X2）E“2）

\PXY\<I,即［cov（X,y）］2<D（x）D（y）

IPxyl=1当且仅当存在常数使得

P[Y=aX+b）=1,

即x与y有线性关系的概率为i。

•不相关等价定义

X

-p=0

XyXY

y

不-cov（x,y）=o

独

相

立-E（AT）=£（Z）£（y）

关

一^£）（x±y）=/）（x）+o（y）

若（x,y）服从二维正态分布，则

x,y相互独立ox,y不相关

•相关性

•若|口口口|二口,则称口，口线性相关

•□□□=□,正相关

•□□□=-□,负相关

•□□口表示□与□存在线性关系的强弱程度。

•|口口口|越大，匚与□线性关系越强，反之越弱

•|口口口|二口表示口与□不存在线性关系，称为不相关。

・极限理论

•大数定律（研究随机变量序列的均值收敛问题）

•实例：如果工件的测量值真值为口，第口次测量值为口口，则{口口}就是一个独立同分布，均值为口

的随机变量序列。当□充分大时，□次测量的平均值应该和真值□很接近。大量测量值的算术平

均值具有稳定性，这就是大数定律的反映。

•依解收敛

设匕,丫2，…,Yn，…是随机变量序列，a是一个常数；若对4意£>0,有

limP{\Y-a|<e）=1

吁sn

或

limP{|r,,-a|>€）=0

则称匕）2，…,4，.“依概率收敛于a,记为

p

ynTa

•区别于数列的收敛：对于给定的£,Yn和a的距离可能会大于或等于s,只是当n趋向于

无穷时，这个取值偏差较大的概率将趋于0

•连续映射定理（依概率收敛的随机变量的函数也依概率收敛）（证明）

p

匚若函数g（・）在点Q处连续，则

p

g（X“）Tg（a）

若（二公函数g（♦Q在点（a,b）处连续，则

p

。（入叱切-贝珥》）

pP

口例：*"+4-*仅+瓦XnYn-^ab

•大数定律

•定义：随机变量的平均值依概率趋向于它们数学期望的平均值.

设X1，…,Xm…是随机变量序列，对任意£>0,有

!吧喂"一/外<£卜1.

或罂尸除N'=0,

1〃P1n

即L£EXk，

〃hl〃hl

则称｛X〃｝服从大数定律。

•马尔可夫大数定律（利用切比雪夫不等式）

定理：

设随机序列可｝满足20（2£=1Xk）To5T8）,

则5„｝服从大数定律.

•切比雪夫大数定律（两两互不相关）

定理：

设｛X』为两两互不相关的发机变量序列，且存在常敷&使用对每个总机交员*卜。（**）4。"=1.2…”

则5/展从大数定体.

•独立同分布大数定律（切比雪夫大数定律的特殊情形）

定理：

设｛X』为独立同分布的总机丈量序列，其E（X*）=",0（**）=/均存在，时｛*”｝及从大敛定律，亦即

汇…

•该定理条件□（口口）=□人口可以省去，即只需期望存在。（被称为辛钦大数定律）

•伯努利大数定律（频率稳定性的严格数学定义）

定理：设n,为n直倍身利优龄中事件A发生的次畋.记p・P(Q.则时任意的*>0.W

01

S^P(I?-P|-*(I?--

•中心'极限定理(随机变量和的正态分布)

•定义(Zn的极限分布为标准正态分布)

设｛X/为独立总机变量序列，且E(X«),D(X*)存在，令Z”为E，]X&标垄化的览机变量，即

Z=♦=/上一比?£(x&)

J"=1。(一

着对任意X,

1fx_tl

limP(Z„<x)=-=e2dt=4>(x)

n-8\Z2nJ.n

则称｛XQ服从中心极隈定理.

•独立同分布情形中心、榔艮定理(本质上WXk服从正态分布,从而标准化后服从标准正态分布)

定理(林德贝格•勒维中心极限定理)：

设X1，…,又中…独立同分布，且

E(XQ=D(Xk)=晶(k=1,2,...)

则｛Xn｝服从中心极限定理，即

X

1.D?^k=lk-\,X

hmP----------------<x]=4>(x)

〃T81y/n(yj

•对于独立同分布的随机变量序列｛□_□｝

•大数定律描述了其均值(或和)在口-8的趋势

•中心极限定理则能给出给定n与x时的具体概率近似(也可以知道概率与x,求n;或者

知道概率与n,求x)

•伯努利情形中心极限定理

定理(德莫佛•拉普拉斯中心极限定理)：

设“是n重伯努利试验中事件4发生的次数，记

p=P(A),q=1-p,则对任意无ER,有

(H-np

hmP-n,，<x=4>(x)

n—8Iyjnpq

•推论(n较大时二项分布的概率计算方法)n较大时，.n~N(np,np(l-p))

设〃“~8(n,p),则当n充分大时，有

a-npu—npb-np

n一中

(>JnPQyfnPQxfnpQ

•用频率估计概率时误差的估计

•统计量与抽样分布

•基本概念

•总体、个体

•总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。

•个体：总体中的每个元素为个体。

•研究对象的数量指标□的取值在客观上有一定的分布,因此，可将其看做随机变量，它的分

布称为总体分布。

•样本

•样本的二重性：

•就一次具体观察而言，样本值是确定的数

•在不同的抽样下，样本值会发生变化，因此可看做是随机变量

•样本定义

定义：设随机变量X的分布函数是F（M,若X],…，X〃

是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量，

则称〃为从总体X中得到的容量为n的简

单随机样本，简称为样本，其观察值.£，・・・，.，

称为样本值。

•特点

・代表性：样本的每个分量口口与总体口具有相同的分布

•独立'生:，…,□□相互独立。

•样本联合分布/密度

由定义知：若x，...,x“为x的一个样本，则X，…,x.

的联合分布函数为：

n

尸（天,.../〃）二口/（七）

i=l

设X的密度为p（x）,则X\,…,X"的联合概率

密度为：

P*（X],…,x〃）=np（xj

；=i

•统计量（是随机变量）

定义：设X],…,X,为来自总体X的一个样本，

g（X”...,X.）是X“...,X”的函数,若g是连续

函数，且g中不含任何扭fl参数；

则称g（乂，…,X〃）是一个统计量。

设项,…,x“是（X”…，X"）的样本值o

则称双是双X1,…，X”）的观察值。

•常用统计量

•样本均值

又=I於"

n1-1

•样本方差

n/=!ni=l

•修正样本方差

巩=去部田

•二者关系

国=（〃-1）53，

J〃一1«

•样本标准差

s“二啊L田

•样本k阶原点矩

样本A阶（原点）矩：A=l,2,...

•样本k阶中心距

样本〃阶中心矩：纥=1£（毛-文）Ak=

n1=1

•结论1:样本均值的均值和方差

2

£%=//,DX=—.

n

•正态总体的抽样分布

•正态总体样本的线性函数的分布

•定义

设Xi，X”・・・，X〃是来自正态总体X〜N(“y2)

的样本，则统计量U=%Xi+〃2X2+…虫名

也服从正态分布：

U~N(迂%,，/；).

/=1/=1

•特别地，若取a=l/n,贝!JU=X--N(p,o2/ni

•标准正态分布的上a分位点

设X〜N(O,l),Ovavl,称满足

P(X>ua)=a

的点〃a为X的上a分位点

•X吩布(独立+N(O,1)!)

•定义

定义：设天,爸，，匕相互独立，都服从正态

分布N(0,1),则称随机变量：

/=X*X22+..・+X.2

所服从的分布为自由度为〃的/分布.

i己为/〜/(〃),

•性质

•1、可加性:设Xl-x2(nD,X2~x2(n2),且XI,X2相互独立,则X1+X2-x2(nl+n2)

•2、若X-x2(n),则E(X)=n,D(X)=2n.(证明)

0k=奇

•X?分布的上a分位点

对于给定的。，称满足条件

的点4为/（〃）的上a分位点，记为：/（〃）

•t分布

•定义（二者独立！）

设x〜N（O,I）,丫〜/2（〃），且丫，丫独立，

则称随机变量T=/-服从自由度为〃的t

分布，记为T~

•t分布的上a分位点

对于给定的〃，OV〃V1,称满足条件

P{T>fa（n）}=a

的点%（〃）为“〃）分布的上a分位点.

/分布的上a分位点的性质：

（式〃）=-/式〃）

•F分布

•定义（独立！）

设^~/（〃）V〜/（%）,且独立，则称

随机变量尸=的服从自由度为（%,%）的尸分

V/〃2

布,记为F〜F（nl9n2）.

•F分布的上a分位点

对于给定的a,0<a<1,称满足条件

P｛尸>"（%，%）｝=。

的点尸a（巧,%）为尸（勺,%）分布的上a分位点如图所示.

若则尸（叫，〃1）・

KY（〃”〃2）=^T^―7

乙（〃2，〃1）

•关于正态总体抽样分布的四个定理

•L样本均值的分布（X、N（|j,o2/n））

设X],X”…,X〃是来自正态总体X〜用心？）

的样本，X=-YXI则：

y

〜N（0,1）.

•2、样本方差的分布（X2分布）（独立*）

设A…X是来自正态总体N（b2）的样本，

区和S：分别为样本均值和样本方差，则有

（1）弊〜/（I）（或：5―呼"〜/（…）、

（2）豕与S：独立.

•3、由1和2推论（t分布）

定理3设ApAi-Y〃是来自正态总体的样本，

区和S；为样本均值和样本方差，则有

又--«〃_1）・

•4、两正态总体，样本方差比（S12/S22）（F分布）、样本均值差—V）的分布（t分

布）（证明*）

设X〜NW/；）,y〜N（〃2，b；）,且X与】独立，

XM…,x〃是来自'的样本心来自I的样本,

工和「分别是这两个样本的样本均值，S；和£分别是

是X,Y的修正样本方差：

则有⑴当空〜尸-1,%T）；

（2）当。；=内=。2时,

—（〃一〃2）+"2、

-------,-----t（ni+”2—2）,

川一+一

\巧〃2

其中S：=（〃】-21⑶,s.,=,屁.

+〃2-2

.参数估计

•点估计（构造1个统计量）

•矩估计

•原则：以样本矩作为总体矩的估计，从而得到参数的估计量。

•矩的定义

•k阶原点矩：E[X「k]

•k阶中心距：E[（X-EX『k]

•期望是1阶矩,方差是2阶中心距

•矩估计定义

设总体X的分布类型已知，X的分布函数为

其中,。1，。2…，外为未知参数・

设X/,X2,…，X〃为来自总体X的样本，

若=%“（。1，82,…，。〃）存在（m=1,…，k）

机阶样本矩为4m=:EL1XF(m=1….，k)

(%(81,62,…，％)=4

令

这是包含〃个未知参数％…,4的方程组，

从中解出方程组的解。…，。

用。…，3.分别作为的…，”的估计量,

这一方法称为矩估计法

这种估计量称为矩估计量:矩估计量的

观察值称为绰估计值。

•方法

•一个未知参数时（用X一代替EX）

1)先求出EX=4(6)

2)解出。=g(EX)

3)为矩估计量。

ni=l

•两个未知参数时

1)计算E¥,EY2E¥=〃i(q,q)

EX2=

2)解出呢“，用EY、ET表示

4=，（EX,EX2）

〔q=/（EX,EX2）

用£’弋替EX,用屹尤代替EX2,有

3)〃，■】

生即为配4的矩估计量。

A—1

%=/人元-»;）

力1-1

•注意：Sn有两种形式！

2

-ix；-X=S；t

ni=i

•结论

无论总体X服从何种分布，总体均值

EX=内总体方差DX=©作为未知参数，

其矩估计量一定是样本均值和样本方差,

即：1〃

2=£于=—方可一灯

•极大似然估计

•原则：选取估计值使得观测值出现的概率最大

•离散情况：似然函数

A/=i

£（xj,x〃;6）=max£（X1,