概率论与数理统计知识点总结 (一)

第1章随机事件及其概率

加

P：；t=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

（/.»?-〃）！

（1）排歹U

组合公式

=---从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

n!（m-n）!

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n

种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

（2）加法

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mXn

和乘法原

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n

理

种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。

杲件事由两个步骤来完成，第一-个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n

种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。

重复排列和非重复排列（有序）

（3）一些

对立事件（至少有一个）

常见排列

顺序问题

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，

（4）随机

但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试

试验和随

验。

机事件

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具

有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件、都是由这一组中的部分事件组成的。

（5）基本这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

事件、样本基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

空间和事一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母

件A,B,C,…表示事件，它们是的子集。

为必然事件，0为不可能事件。

不可能事件＜0）的概率为零，而概率为零的事件不定是不可能事件；同理，

必然事件（。）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

不可能事件（0）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，

必然事件（。）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

（6）事件

如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B:A=Bo

的关系与

A.B中至少有一个发生的事件：AB,或者A+B。

运算

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可

表示为A-AR或者，它表示A发生而R不发生的事件.

1

A.B同时发生:AB,或者AB°AB=0,则表示A与B不可能同时发生,称

事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-AJJ：为事件A的逆”件，或麻A的对立事件，记为.它表示A不发生的事件,互斥未必对立.

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)

德摩根率：，

德摩根率：，

800___

QA=|JA__________

德摩根率：2/-IA\jB=AC\BtAC\B=A\JB

设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A),若满

足下列三个条件：

1°OWP(A)W1,

2°P(Q)=1

(7)概率3°对于两两互不相容的事件，，…有

的公理化Z00\8

定义P[UA=XP(A)

常称为可列(完全)可加性。

则称P(A)为事件A的概率。

1°,

2。夕(幼)=尸(g)=-P(%)二]。

n

(8)古典设任一事件，它是由组成的，则有

〃〃六{(叼))u…⑷)〃)

概型U(@2U)}=p+P(g)+••♦+P3

_m_A所包含的基本事件数

一〃一基本事件总数

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本

空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为

(9)几何几何概型。对任一事件A,

概型

&4)=当1。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

(10)加法当AB不相容P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

公式当AB独立，P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

当AB独立，P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)

(11)减法

当A=Q时，P()=1-P(B)

公式

当A=Q时，P(^)=l-P(B)

(12)条件定义设A.B是两个事件，且P(A)>0,则称为事件A发生条件下，事件B发

1

概率生的条件概率，记为。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如p(a/B)=1nP(万/A)=I-P(B/A)

乘法公式：

(13)乘法更一般地,对事件Al,A2,…An,若P(A1A2…AnT)>0,则有

P(AiAi...4)=P(A)P(A211A-2)......P(An\A1A2...

公式AI)P(A3

An-1)0

①两个事件的独立性

设事件、满足，则称事件、是相互独立的.

若事件、相互独立，且，则有

P⑻㈤二还二还皿力⑷

P(4)P(A)

若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。

(14)独立必然事件。和不可能事件0与任何事件都相互独立。

性0与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)：P(BC)=P(B)P(C)：P(CA)=P(0P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A.B.C相互独立。

对于n个事件类似。

设事件B,心,…,一满足

1°两两互不相容，，

2°

则有，

P(A)=尸(B)P(A|B)+P(&)P(A|&)+…+P(B)P(A\B”)

n0

(15)全概全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：将试验

公式可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；

全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：将试验

可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；

全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题,全概率公式的题型：将试验

可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；

设事件，，…，及满足

1°,,…，两两互不相容，＞0,1,2,…，,

2°，，

则

.2.-n.

此公式即为贝叶斯公式。

(16)贝叶

,(,,…，),通常叫先验概率。，(，1・・，),通

斯公式

常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果

朔因”的推断。将试验可看成分为两步做，如果求在第二步某事件发生条件

下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。

=2,…，〃)，通常叫先验概率。P(5/A),(i=l,2,…，

〃)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了

1

“由果朔因”的推断。将试验可看成分为两步做，如果求在第二步某事件发

生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。

♦我们作了次试验，且满足

♦每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；

♦次贰验是甲u进疔的，即发生的概率体次均样：

每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不

影响的。

（17）伯努这种试验称为伯努利概蛰，或称为重伯努利试验。

利概型用表示每次试验发生的概率.则发生的概率为，用表示重伯努

利试验中出现次的概率，

P”（k）=C"IA,k=0,1,2,…,〃

第二章随机变量及其分布

1

(1)离散设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=l,2,…)且取各个值的概率，即事

型随机变件(X二Xk)的概率为

P(X=xk)=pk,k=l,2,…，

量的分布

则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式

律

给出：

X।X1,X2,…,…

P(X=Xx)p\,p2,…，［)k,…。

显然分布律应满足下列条件：

(1),,(2)。

8

Vpk=1

(1)-0,2=12…，(2)Io

(2)连续设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有

型随机变

则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密

量的分布

度。

密度

密度函数具有下面4个性质：

1.O

2.o

3.

4、P(x=a)=O,a为常数，连续型随机变量取个别值的概率为0

4.P(x=a)=0,a为常数，连续型随机变量取个别值的概率为0

4、P(x=a)=O,a为常数，连续型随机变量取个别值的概率为0

(3)离散

P(X=x)«P(x<X<x+dx)xf(x)dx

与连续型

随机变量

积分元/'(X)公在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X=M)=/%在离散

的关系

型随机变量理论中所起的作用相类似。

1

(4)分布设为随机变量，是任意实数，则函数

函数

F(x)=P(X<x)

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间(-

8,x］内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°0<F(x)<1,—oo<x<+oo；

2。是单调不减的函数，即时，有；

3°,;

4°,即是右连续的；

5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)o

对于离散型随机变量，；

对于连续型随机变量，。

X

对于连续型随机变量，r(x)-jf(x)dxo

-00

(5)八大0-1分布P(X=l)=p,P(X=O)=q

分布二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次

数是随机变量，设为，则可能取值为。

,其中，

则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。

当时，，，这就是(0T)分布，所以(0T)分布是二项分

布的特例。

当〃=1时，P(X=k)=,A=0.1,这就是(0-1)分布，

所以(0T)分布是二项分布的特例。

泊松分布设随机变量X的分布律为

，，，

则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者p()。

泊松分布为二项分布的极限分布(np=X,n-8)。

泊松分布为二项分布的极限分布(np二人，n-8)。

几何分布,其中p20,q=l-p<>

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为(；(p)。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

1

均匀分布设随机变量的值只落在［a,b］内，其密度函数在［a,b］上为常

数，即

其他

则称随机变量在［a,b］上服从均匀分布，记为X~U(a,b)o

分布函数为

0»x<a,

x-a

Jb-a'a这xWb

F(x)=£/(x)公=

1,x>b»

当aWxl〈x2Wb时，X落在区间()内的概率为

P(Xj<X<x2)=———。

b-a

指数分布

r及弋x>0

fM=］八

0,x<(),

其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。

X的分布函数为

「〜弋x>0

15ox<0o

记住枳分公式：

+X

Jxne~xdx=nl

0

1

正态分布

设随机变量X的密度函数为

，，

其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布

或高斯(Gauss)分布，记为,

具有如下性粉：

1°/(玲的图形是关丁丫=〃对称的；

2。当时，为最大值；

若，则的分布函数为

参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数

记为

分布函数为

]x上

①(%)=,—[e-dto

是不可求枳或敬.其话改他,己姐制成我可供查用.

O(-x)=1-①(x)且①(0)=—。

2

如果~，则~。

P(x,<X<x2)=①①。

(6)分位

下分位表：；

数

上分位表：。

上分位表：P(X>乂《)=a。

1

(7)函数离散型

已知X的分布列为

的分布函

数

的分布列(互不相等)如下：

若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。

若有某些g(力)相等，则应将对应的相加作为的概率。

连续型

先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)^y),

再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)o

(2)定理法：

当Y=g(X)严格单调并且可导时：

，八一、JA1^(J)l1/»<(>•)ha<y<fl.

其中h%y)是g(x)的反函数

第三章二维随机变量及其分布

（1）联合离散型如果二维随机向量~~（X,Y）的所有可能取值为至多可列

分布个有序对（x,y）,则称为离散型随机量。

设=（X,Y）的所有可能取值为，且事件｛=｝的概

率为pij,,称

p｛（x,y）=（Xj，x）｝=p/,/=i,2,…）

口=（X.

\）的分布

彳飞或称为X

和、的联合

分,律。联

合a布有

••••••

时也“下71y.>

面的餐率

分布不

表示：\

••••••

X1PnPl2Pu

••••••

X2PJIP史P2J

**

••*••

•••

X,p>i•••

Pij

•••

•

这里Pij具有下面两个性质:

（1）"0（i,j=l,2,…）；

⑵XXPg=L

ij

1

连续型对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个

其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即

D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有

P{(X,y)eD}=jj/(x,.yWy,

D

则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=(X,Y)的分布

密度或称为X和Y的联合分布密度。

(1)分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

(2)f(x,y))O;

(2)j「/(x,y)dxdy=1.

(2)二维

^X=x,Y=y)=^X=xC]Y=y)

随机变量

的本质

(3)联合设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

分布函数

F(x,y)=P{X<x,Y<y]

称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函

数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个

实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：

(1)0<F(x,y)<l;

(2)F(x,y)分别对x和y是非减的，即

当x2〉xl时,有F(x2,y)2F(xl,y);当y2>yl时，有F(x,y2)2F(x,yl);

(3)F(x,y)分别对x和y是右连续的，即

F*,y)=+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);

(4)F(-co,-co)=F(-co,y)=F(x,-co)=0,F(+co,+co)=1.

f

(5)对于为</，M<y2

P(xi<x^x2,yi<j<y2)=F(X2,y2)-F(xv%)一尸(再,y2)+F(xey))>0

(4)离散

P(X=x,y=y)纪尸(x<X<x+dx>y<Y<y+dy)工f(x,y)dxdy

型与连续

型的关系

(5)边缘离散型X的边缘分布为

分布Pi.=P(X=Xj)=ZP加=L2,…);

j

Y的边缘分布为

p.j=p(Y=yj)=Xp"j=i2…)。

i

1

连续型X的边缘分布密度为

八(制=匚〃乂)')小

Y的边缘分布密度为

fY(y)=L/(尤yg.

(6)条件离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

分布

p(y=XIX=匕)="

p,.

在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为

p(x="y=x)="

连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

/(x|y)=乎乎

fy(y)

在己知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

f(y\x)=

fxM

(7)独立一般型F(X,Y)=Fx(x)Fv(y)

性离散型

P；j=Pi.P.j

有零不独立

连续型f(x,y)=fx(x)fr(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分

\12(1-02)[6}a,a[ffJ

布/(^y)=i-----」，22

2的6-p~

p=0

随机变量的若XI,X2,-Xm,Xm+1,-Xn用互独立，h,g为连续函数，则：

函数h(XI,X2,…Xm)和g(Xm+1,-Xn)相互独立。

特例：若X与Y独立，则：h(X)和g(Y)独立。

例如：若X与Y独立,则：3X+1和5Y-2独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

1

（8）二维设随机向量（X,Y）的分布密度函数为

均匀分布1

—（内”。

、D

o,其他

其中SD为区域D的面积，则称（X,Y）服从D上的均匀分布，记为（X,v）〜

U（［））.

图3.1

图3.3

1

（9）二维设随机向量（X,Y）的分布密度函数为

正态分布

1卜-“1Y2P（x_M（丫

/（x，y）=;--------彳e」，

2欢702J1-P~

其中是5个参数，则称（X,Y）服从二维正态分布，

记为（X,Y）〜N（

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分

布，

即x〜N（必,of）,y〜N-；）•

但是若X〜N（,（X,Y）未必是二维正态分布。

但是若X〜N（M，b；）,y~N（〃2.b；）,（X,Y）未必是二维正态分布。

（10）函数Z=X+Y根据定义计算：

分布对于连续型,fZ（z）=

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（四十〃2，。：+。；）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

>

ii

Z=max,min(若相互独立，其分布函数分别为，则

X"・・Xn)Z=max,min（XI,X2,…Xn）的分布函数为:

产max（%）=Q3•%（幻…F。（幻

%*）=1-[1-Gu）]*n-"（刈…口-七（创

第四章随机变量的数字特征

(1)离散型I连续型

1

■维期望设X是离散型随机变量，其设X是连续型随机变量，其概

随机期望就是平均值分布律为P()=pk,率密度为f(x),

变量k=l,2,…，n,+00

的数E(X)=\xf(x)dx

E(X)=£xkPk

字特-X

征A=I(要求绝对收敛)

(要求绝对收敛)

函数的期望Y=g(X)Y=g(X)

-KO

E(y)=£g(z)p*E(Y)=\g{x}f(x)dx

A=I-00

方差■KO

D(X)=j[x-E(X)]2/(^

D(X)=E[X-E(XO(X)=ZK-AX)『外

)]2,k-00

标准差

(T(X)=J/)(X)

(2)(1)E(C)=C

期望(2)E(CX)=CE(X)

的性(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),

质E(XY)=E(X)E(Y),充分条件：X和Y独立;

充要条件：X和Y不相关。

充要条件：X和Y不相关。

(3)(1)D(C)=O；E(C)=C

方差(2)D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)

的性(3)D(aX+b)=al)(X)；E(aX+b)=aE(X)+b

质(4)D(X)=E(X2)-E2(X)

D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X和Y独立;

充要条件：X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成

立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。

期望方差

0-1分布

〃(1-P)

3(1,p)P

1

二项分布

叩叩。一p)

P)

(4)泊松分布

常见X2

PW

分布

的期几何分布

1-P

望和

G(p)〃2

方差P

超儿何分布

nMnM1.丝Y3

H(n,M,N)NN1N入N-口

均匀分布

a+b3-4)2

U(a力)212

指数分布

11

e(A)I了

正态分布

4(T2

(5)期望-HO