概率论与数理统计知识点总结

基本公式要掌握

首先必须会计算古典型概率，这个用高中数学得知识就可解决,如果在

解古典概率方面有些薄弱，就应该系统地把高中教学中得概率知识复习一遍了，而

且要将每类型得概率求解问题都做会了，虽然不一定会考到，但也要预防

万一，而且为后面得复习做准备。

第一章内容:随机事件和概率，也就就是后面内容得基础，基本得概念、关系一

定要分辨清楚u条件概率、全概率公式和贝叶斯公式就就是重点，计算概率得除

了上面提到得古典型概率，还有伯努利概型和几何概型也就就是要重点掌握得。

第二章就就是随机变量及其分布，随机变量及其分布函数得概念、性质要理

解，常见得离散型随机变量及其概率分布：0」分布、二项分布B(n,p)、几何分布、

超几何分布、泊松分布连续性随机变量及其概率密度得概念:均匀分布

U(a,b)、正态分布NQQ2)、指数分布等，以上她们得性质特点要记清楚并能熟练

应用,考题中常会有涉及。

第三章多维随机变量及其分布，主要就就是二维得。大纲中规定得考试内容

有:二维离散型随机变量得概率分布、边缘分布和条件分布，二维连续型随机变量

得概率密度、边缘概率密度和条件密度，随机变量得独立性和不相关性，常用二维

随机变量得分布，两个及两个以上随机变量简单函数得分布。

第四章随机变量得数字特征，这部分内容掌握起来不难，主要就就是记忆一些

相关公式,以及常见分右得数字特征。大数定律和中心极限定理这部分也就就是

在理解得基础上以记忆为主，再配合做相关得练习题就可轻松搞定。

数理统计这部分得考查难度也不大，首先基本概念都了解清楚。浮分布、【

分布和F分布得概念及性质要熟悉,考题中常会有涉及。参数估计得矩估计法和

最大似然估计法，险证估计量得无偏性、有效性就就是要重点掌握得。单个及两

个正态总体得均值和方差得区间估计就就是考点。

《概率论与数理统计》

第一章随机事件及其概率

§1、1随机事件

一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件:

二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：

§1、2概率

A所含样本点数

古典概型公式:P(A)二

C所含样本点数

实用中经常采用‘排列组合”得方法计算

补例1：将n个球随机地放至4n个盒中去，问每个盒子恰有1个球得概率就就是

多少?解:设A:“每个盒子恰有1个球”。求:P(A)二？

。所含样本点数:〃•〃•・・・・〃=〃

人所含样本点数：〃・5—1)・5—2)・...・1=〃!

加

・•.P(A)=—

nn

补例2:将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信得封数得最大数分别为

1、2、3得概率各就就是多少?

解:设Ai:“信箱中信得最大封数为i"o(i=1,2,3)求:P(Aj尸?

Q所含样本点数：4・4・4=4,=64

A1所含样本点数：4・3・2=24

243

p(A,)=—=-

1648

A2所含样本点数：C；,4・3=36

9

6416

A3所含样本点数:C；・4=4

41

尸(4)=6=记

注:由概率定义得出得几个性质:

1、O<P(A)<1

2、P(Q)=1,P((p)=0

§1、3概率得加法法则

定理:设A、B就就是互不相容事件(AB=?),则：

P(AUB)=P(A)+P(B)

推论1:设A]、儿、…、A。互不相容，则

P(A1+A2+、、、+An)=P(A])+P(A。+-・+P(An)

推论2:设A]、A2、…、An构成完备事件组，则

P(A[+A2+、、、+An)=1

推论3:P(A尸1-P(A).

推论4:若Bz>A,则P(B-A)=P(B)-P(A)

推论5(广义加法公式)：

对任意两个事件A与B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

补充——对偶律：

A。4。…。A=AcA2c…cAn

AcA2c…=A5・・DA〃

§1、4条件概率与乘法法则

条件概率公式:

P(A/B产今翳(P(B)WO)

P(AB)

P(B/A)=T(A)KO)

P(A)

.\P(AB)=P(A/B)P(B)=P(B/A)P(A)

有时须与P(A+B)=P(A)+P(B)—P(AB)中得P(AB)联系解题。

全概率与逆概率公式:

全概率公式：

P(B)=^P(A)P(B/A)

i=l

逆概率公式：

P(A,/B)=P(AIB)(-12n)

P(B)V=1,乙,・.・,〃1

(注意全概率公式和逆概率公式得题型:将试验可看成分为两步做，如果要求

第二步某事件得概率，就用全概率公式;如果求在第二步某事件发生条件下第一步

某事件得概率，就用逆概率公式。)

§1、5独立试脸概型

事件得独立性:

A与3相互独立=P(AB)=P(A)P(B)贝努里公式⑴重贝努里

菌险新季机算公期.课本P24

另两个解题中常用得结论

1、定理:有四对事件:A与B、A与B、A与B、A与5,如果其中有一对

相互独立，则其余三对也相互独立。

2、公式:P（AD…cM〃）=l一尸（A]4）

第二章随机变量及其分布

一、关于离散型随机变量得分布问题

1、求分布列乂1）确定各种事件，记为写成一行；

⑵计算各种事件概率，记为Pk写成第二行。得到得表即为所求得分布列。注

意:应符合性质—

1、PAN°（非负性）2、ZPA=1（可加性和规范性）

k

补例1:将一颗骰子连掷2次，以表示两次所得结果之和,试写出得概率

分布。解:Q所含样本点数:6X6=36

所求分布列为:

423456789101112

1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36

Pk

解：。所含样本点数=1（）

所求分布列为：2、

345

Pk1/103/106/10

分布函数

F(x)=P[^<x}=ZPA

x/x

二、关于连续型随机变量得分布问题：

Vx€R,如果随机变量得分布函数F(x)可写成F(x)=[/。(幻心，则

为连续型。/(X)称概率密度函数。

解题中应该知道得几个关系式：

P+8

^(x)>0J(x)dx=l

rb

P[a<^<b}=P{a<^<b}=F(Z?)-F(a)=[Mx)dx

Ja

第三章随机变量数字特征

一、求离散型随机变量得数学期望E=?

数学期望(均值)

E&=£xkPk

k

二、设为随机变量，f(X)就就是普通实函数，则7]=f()也就就是随机变量，

求Er)=?

X1X2…Xk

・・

PkPlP2•pk

>1=f()y1y2•••Vk

以上计算只要求这种离散型得。

补例1:设得概率分布为:

5

-10i2

2

1i33

Pk

5ToTo10io

求日)"=J-1,〃=4?得概率分布;⑵Erj.

解:因为

5

-i0i2

2

1i33

Pk

5ioio10io

2

n=--2-101

2

25

n=1014T

所以，所求分布列为:

3

n=--2-101

2

J_1133

Pk

510101010

和:

25

i0i4

n=T

1i33

pk

5ioToToio

当口=-1时,Er)=E(-1)

111333

------

52

10101010

=1/4

X-1

当『时,=1X-+0X—+1X—+4X—+—

5101010410

=27/8

三、求或T］得方差D=?DT）=?

实用公式D心E铲一E24

其中行『二（Z"厅

k

七2二2一血

k

补例2:

-202

pk0、40、30、3

求:E和D解:E&=2X0、4+0X()、3+2X0、3二一0、2

£^2=(2)2x0、4+(Pxo、3+22x0、3=2、8

DJ=E&2-E%=2、8—(-0、2芹2、76

第四章几种重要得分布(6个)

常用分布得均值与方茅（解题必备速查表）

参数

名称概率分布或密度期望方差

范围

0-1分布

P&=k]=C\pkq「knP0<P<1

二项分布nP

(k=0,1,2,...,n)qq=1-p

1人〃)2

。幻2a

正态(—]--e,任意

(J2

分布(—GO,+8).5〃为常数o>0

泊松

X入入>0

分布

指数11

AO

分布IJ

均匀

分布

解题中经常需要运用得E和D得性质（同志们解题必备速查表）

E得性质D得性质

E(c)=cD(c)=0

若J、〃独立，则

石(J±")=EJ±Er/

D（4±〃）=D&+S

若一〃独立,则

—

E（勿）=

£（怎）=。•优0(喈)=c?D&

第八章参数估计

§8.1估计量得优劣标准（以下可作填空或选择）

A

⑴若总体参数e得估计量为0，如果对任给得6>o,有

人

lim尸{。一。<£}=1,则称。就就是e得一致估计；

八

⑵如果满足£（，）=。,则称a就就是e得无偏估计；⑶如果仇和%均

人人人A

就就是e得无偏估计，若0（4）v。（。2）,则称4就就是比%有效得估计量。

§8、3区间估计:

几个术语一

1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得得一个统计量….X,；）及

人

4（再,…X“）,对于给定得a（0<a<1）满足:

则称随机区间（。，A）就就是0得100（1"）%得置信区间,。和。称为6

得1（）（）（1"）%得置信下、上限,百分数100。Y）％称为置信度（置信水平）。

一、求总体期望（均值）E得置信区间

1、总体方差。2已知得类型

①据a，得①0。）=1段,反查表（课本P260表）得临界值4;

1n__

②X二二Z'i③求d=UJ爷④置信区间（X-d,X+d）

〃/=i7n

补简例:设总体X〜N（//,0.09）随机取4个样本其观测值为12、6,13、

4,12、8,13、2,求总体均值R得95%得置信区间。

解:①.「l-a=0、95,a=0>05

.•.(D(UJ=W=()、975,反查表得:U,、96

②又［lx=；(12.6+13.4+12.8+13.2)=13

4/=1

r.。i―0.3

③,「o=0、3,n=429

.,.d=Ua0、

④所以，总体均值R得a=0、05得置信区间为：

（X-d,x+d）=（l3-0、29,13+0、29）即（12、71,13、29）

2、总体方差b-未知得类型（这种类型十分重要!务必掌握!!）

①据。和自由度n-l（n为样本容量），查表（课本P262表）得%5-1）;

②确定旌_L二个乙七和/=一1〃-尸

③求④置信区间（X-d,x+d）

yin

注:无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。

7

二、求总体方差得置信区间

①据a和自由度n—1（n为样本数），查表得临界值:

4（〃T）和心（〃-1）

]〃

X2

②确定X二~2^ii和S

〃i=l

(H-l)52(n-l)52

③上限/,

下限卷〃T)

1----

2

④置信区间（下限，上限）

典型例题:

补例1:课本P166之16已知某种木材横纹抗压力得实验值服从正态分布,

对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位:kg/cm2）:

482493457471510

446435418394469

试对该木材横纹抗压力得方差进行区间估计（x=0.04）o

解:①...30、04,又n=l0,自由度n—1=9

「•查表得,％；（〃-1）=/。2（9）二19、7

2

心⑼=2、53

2

_1101

②X二—2^二一（482+493+...+469）=457、5

10/=）10

110_1

52=-Z（X—Xj）2二一［（457.5—482）2+（457.5—493/+…+（457.5—469尸］

9/=19

二1240、28

9s29x1240.28

③上限Zjg（〃_1）=Zo.98（9）=―2^53-=4412、06

~2

（"1）19s29x1240,28

下限］；（〃一l）二Y；02（9）=-197~=566、63

2

④所以，所求该批木材横纹抗压力得方差得置信区间为（566、63,4412、06）

第九章假设检验

必须熟练掌握一个正态总体假设检验得执行标准

一般思路：

1、提出待检假设Ho

2、选择统计量

3、据检验水平确定临界值

4、计算统计量得值

5、作出判断

检验类型⑵:未知方差检验总体期望（均值加

①根据题设条件，提出Ho：〃o（〃o已知）；

②选择统计量|7|二；力，〜

③据a和自由度n—l（n为样本容量），查表（课本P262表）得J（〃-D;④由样本

值算出又=?和s=?从而得到外|=X-

s/4n

⑤作出判断

若以＜%5-1）,则接受以

若阊则拒绝”

典型例题:

对一批新得某种液体得存贮罐进行耐裂试验，抽查5个,得到爆破压力得数据

（公斤/寸2）^:545,545,530,550,545。根据经验爆破压认为就就是服从正态分

布得,而过去该种液体存贮罐得平均爆破压力为549公斤/寸2，问这种新博得

爆破压与过去有无显著差异?（a=0、05）

解:Ho：〃=549

选择统计量/|=卜-D

05/-1=4,「.查表得:，0,05(4)=2、776

_1

又X=-(545+...+545)=543

S2=-[(545-545)2+...+(543-545f]=57、5

4

X-N