概率论与数理统计公式(超全版)

第1章随机事件及其概率

P：=—^―从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

(1)排列

组合公式

C：n=一"二从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

iv\m-n)l

加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由

(2)加法

n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

和乘法原

乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mxn

理

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由

n种方法本成，则这件事可由mxn种方法来完成。

重复排列和非重复排列(有序)

(3)一些

对立事件(至少有一个)

常见排列

顺序问题

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，

(4)随机

但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试

试验和随

验。

机事件

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有

(5)基本

如下性质：

事件、样本

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

空间和事

②便可事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

件

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用①来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用。表示。

一个事件就是由C中的部分点(基本事件①)组成的集合。通常用大写字母

力，8,。…表示事件，它们是Q的子集。

。为必然事件，0为不可能事件。

不可能事件(0)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，

必然事件(。)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件8的组成部分//发生必有事件8发生)：

如果同时有AuB,BnA，则称事件/与事件8等价，或称/等于8:

A-B。

48中至少有一个发生的事件：/U&或者力+8。

属于力而不属于8的部分所构成的事件，称为/与8的差，记为48,也

(6)事件可表示为/乂8或者A万，它表示2发生而8不发生的事件。

的关系与48同时发生：8,或者B=0,则表示A与B不可能同时发

运算生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

Q-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为..它表示A不发

生的事件，互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)

008

P]A=|JA______________

德摩根率：0i=iA(JB=AC\B,Ar\B=AUB

设。为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满

(7)概率

足下列三个条件：

I°O<P(A)<I,

的公理化

2°P(Q)=1

定义3°对于两两互不相容的事件A,Az,…有

/00\8

P|JANa%)

ki=l70

常称为可列(完全)可加性。

则称P(A)为事件A的概率。

1°。={外,g…%},

2°P3)=PM)h・・PM)=L

n

(8)古典

设任一事件A,它是由外,在…以组成的，则有

{(外)))(

概型P(A)=U(02U…U3”}=Ps)+P(g)+…+P®J

_in_4所包含的基本事件数

"〃一基本事件总数

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀同时样本空

间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述厕称此随机试验为几何

(9)几何

概型。对任一事件A,

概型

P(A)=J詈。其中L为几何度量(长度、面积、体积工

(10)加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

公式当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)减法

当BuA时，P(A-B)=P(A)-P(B)

公式

当A二。时，P(万)=1-P(B)

定义设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称婴黑为事件A发生条件下，

(12)条件事件B发生的条件概率，记为P(3/A)=罢程。

尸(A)

瞬条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Q/B)=1=>P(B/A)=1-P(B/A)

AWA)=1)P(AV),川2,..几

£p(约)P(A/J)

y=i

此公式即为贝叶斯公式。

P田)，(i=l,2，…，n)，通常叫先验概率。P(Bi/A),("1,2，…，

〃)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了"因果"的概率规律，并作出了

"由果朔因"的推断。

我们作了〃次试验，且满足

♦每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；

♦〃次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样;

♦每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验4发生与

否是互不影响的。

(17)伯努

这种试验称为伯努利概型，或称为〃重伯努利试验。

利概型

用P表示每次试验4发生的概率,则A发生的概率为1-=4,用P«)表

示〃重伯努利试验中A出现收°工&"〃)次的概率，

P”(k)=Cppi攵=0,1,2,…,〃

/O

第二章随机变量及其分布

设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=12...)且取各个值的概率，即事

(1)离散

件(X二X0的概率为

=

型随机变P(X=Xk)=Pk1kl,2,...z

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形

量的分布式给出：

X|，•一

律

P(X=XA)pi,P2,…，/力，…

O

显然分布律应满足下列条件：

(1),"=12…，(2)1。

设“X)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数,(X),对任意实数/，有

(2)连续

F(x)=「f(x)dx

型随机变/

则称X为连续型随机变量。/'(X)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概

量的分布率密度。

密度函数具有下面4个性质：

密度

1。/(x)>Oo

「'"(£&=1

2-。

(3)离散P(X=x)«P(x<X<x+dx)«,f\x)dx

与连续型积分元/(上)公在连续型随机变量理论中所起的作用与ax=兑)=P人在离

随机变量散型随机变量理论中所起的作用相类似。

的关系

(4)分布设X为随机变量，x是任意实数，则函数

函数F(x)=P(X<x)

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P(a<X<b)=F(b)-F(«)可以得到X落入区间(。,b］的概率。分布

函数F(x)表示随机变量落入区间(-8,x］内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°0<F(x)<1,-oo<x<+oo;

2°F(A)是单调不减的函数，即H<X2时，有F(Xl)<F(X2);

3°F(-oo)=limF(x)=0,F(+oo)=limF(x)=1;

4。F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的；

5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)。

对于离散型随机变量，/；

X口

X

对于连续型随机变量，F(x)=Jf(x)dxo

-00

(5)八大0-1分布P(x=l)=p/P(X=O)=q

分布二项分布在〃重贝努里试验中,设事件4发生的概率为〃。事件4发生

的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,1,2,…

P(X=k)=P“(k)=C：pkqi,其中

(7=l-p,0</?<1,^=0,1,2,,

则称随机变量X服从参数为〃，p的二项分布。记为

x~〃)。

当〃=1时，P(X=k)=p/，4=0.1,这就是(0-1)分

布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。

泊松分布设随机变量X的分布律为

P(X=k)=—e~x,A>0,々=0,1,2…，

kl

则称随机变量X服从参数为2的泊松分布，记为X〜乃(团或

者P(4)。

泊松分布为二项分布的极限分布(np=A,n-8\

超几何分布ct•cr*A=0,1,2…,/

P(X=k)=3—

C；/=

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N;M)o

几何分布P(X=k)=qip,k=1,2,3,…,其中p>0,q=l-p0

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

设随机变量的值只落在内，其密度函数/（幻在

均匀分布X［a,b］［a,b］

上为常嬖l-T—,即

b-a

f1

fM=<b-a'

其他，

0,

则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布，记为X-U（a,b）0

分布函数为

'0,x<a,

x-a

<b-aa<x<b

F3)二「f(x)dx=

F-3C

1,x>b0

当awxiwwb时，X落在区间（修，与）内的概率为

P(X<Xy)=从o

-a

指数分布r2，

1.x>0

/«=

.r<0t

其中％>°,则称随机变量X服从参数为％的指数分布。

X的分布函数为

「1—弋

x>0t

尸(%)=<

x<0o

记住积分公式：

［xne~xdx=n^.

0

正态分布设随机变量X的密度函数为

f(x)=-=^e2/,-8<x<+oo,

[2兀<y

其中〃、。>°为常数厕称随机变量X服从参数为，'、o

的正态分布或高斯(GaussI分布，记为X~'(〃，。之)。

具有如下性质：

1°/(幻的图形是关于、=〃对称的；

2°当x="时，为最大值；

,、2冗(7

若、~阳个0?网次的分布函数为

F(x)=\edt

J2RJr

。o

参数〃二°、。=1时的正态分布称为标准正态分布，记为

X~N(O,D],其密度函数记为

(P(x)=~i=e2

727r,—oo<x<4-oo,

分布函数为

O(x)=—=\e2dte

...而i

①(x)是不可求积函数，其凶数值，已编制成表可供查用。

①(-x)=1-①(x)且①(0)=—。

如果X~N(4，/)，则XZZ£~N(0,1)。

P(…沁菊^寺一♦口。

(6)分位下分位表：P(X<jua)=a;

上分位表：P(X>Na户a。

数

(7)函数离散型已知乂的£、布列为

XXl,X2y…，X,iy…

/

分布P(X=Xi)Ph〃2,…，[%,…

y=g(x)E1勺分布列(月=以匕)互不相等)如下：

Yg(Xl),g(X2),…，g(M),…

t

"二M)

偏等应用视播〃演加作为的概率。

若有某些制Xg(H)

连续型先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)<y),

再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)o

第三章二维随机变量及其分布

(1)联合离散型如果二维随机向量J(X,Y)的所有可能取值为至多可列

分布个有序对(x,y),则称J为离散型随机量。

设♦=(X,Y)的所有可能取值为(为，力)(i,j=12…)，

且事件{4=5，x)}的概率为总，称

p{(x,y)=(xQj)}=/0("=1,2,…)

为4=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分

布有时也用下面的概率分布表来表示：

\•••yj…

XipnP12・・・PU・・・

X2P21P22•••P2j・・・

*••**

XiPil•••Pij•••

*••

•

*

这里必具有下面两个性质:

(1)PijNO(i,j=l,2,...)；

（2）ZZPij=L

iJ

连续型对于二维随机向量g=(x,y),如果存在非负函数

f(X,)，)(一8<X<+8,-8<><+8),使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}

有

?{(X,丫)£0}=JJ/(x,y)dxdy,

D

则称J为连续型随机向量；并称f(x,y)为J=(X,Y)的分布密

度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质:

(1)f(x,y)NO;

(2)匚匚f(x，y)dxdy=1.

(2)二维^X=x,Y=y)=^X=xr\Y=y)

随机变量

的本质

(3)联合设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

分布函数F(xyy)=P{X<x,Y<y}

称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布

函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

{(外,32)1eV<r(<y2)<y}的概率为函数值的一个实值函

数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质:

(1)()<F(x,y)<l；

(2)F(x,y)分别对x和y是非减的，即

当X2>X1时，有F(X2,y)NF(xi,y);当y2>yi时，有F(xzy2)>F(x,yi)；

(3)F(x,y)分别对x和y是右连续的,即

F(x,y)=F(x+O9y),F(x,y)=F(x,y+0);

(4)F(-co,-co)=产(一8,y)=F(x,-oo)=0,F(+oo,+oo)=1.

(5)对于$

F02,y2)-F(x2,M)一尸(X],)，2)+F(的，

(4)离散P(X=x,丫=y)hP(x<X<x+clx,y<Y<y+dy)«/(%,y)dxdy

型与连续

型的关系

(5)边缘离散型X的边缘分布为

分布P"P(X=Xj)=工p/i,j=1,2,…)；

j

Y的边缘分布为

匕=p(y=%)=ZP*j=i2…)。

i

连续型X的边缘分布密度为

£(幻=匚/(占了)力；

Y的边缘分布密度为

4(y)=y)dx.

(6)条件离散型在已知X=%的条件下,Y取值的条件分布为

分布P(y=),|X3.)上：

Pi.

在已知P二方的条件下，X取值的条件分布为

p(x=xjy=x)="

p.j

连续型在已知Y=y的条件下，x的条件分布密度为

…)二等；

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

fxM

(7)独立TS型F(X,Y)=Fx(x)FY(y)

性离散型P，i=Pi.P.j

有零不独立

连续型

f(x,y)=fx(x)fY(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

1\（2MAM工）1

二维正态分

〃.12（1-叫1<7|；。化\^2）\

J（苍））-1--------e，

2gQ2yli_P~

布

p=0

随机变量的若Xi,X2,...Xm,Xm+L...Xn相互独立,h,g为连续函数,则：

函数

h(X1,X2,...Xm)和g(Xm+i,...Xn)相互独立。

特例：若X与Y独立，则：h(X)和g(Y)独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

(9)二维设随机向量(X,Y)的分布密度因数为

正态分布

、12(l-p2)[(7!)IGJ

/«)')=1-----，

2gp~

其中必,"Ri>0,6>0,11K1是5个参数，则称(X,Y)服从二维正态

分布，

记为(X,Y)~N(

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分

布，

即X~N(四，b：),y〜N(〃2.b；).

但是若X~N(〜N(〃2。；)，(X,Y)未必是二维正态分布。

(10)函数Z=X+Y根据定义计算：Fy(Z)=P(Z<Z)=P(X+Y<Z)

400

分布

对于连续型，fz⑵=Jf^z-x)dx

-30

两个独立的正态分布的和仍为正态分布(从\

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

ii

Z=max,min若X1,X2…x“相互独立，其分布函数分别为

心()，心()工⑴，则的分布

(Xi,X2f...Xn)人1X人2X…•1»z=max,min(Xi,X2,...Xn)

函数为：

Hnax。)=4⑶•F.(%)…玛.(X)

0M)=1-口-&(初•■一工2(动…口-F屋刈

/分布设n个随机变量X2,…，X”相互独立，且服从标准正态分

布，可以证明它们的平方和

1=1

的分布密度为

1%,

——-——u-e2w>0,

/（«）='2，唱）

0,〃<0.

我们称随机变量w服从自由度为n的/分布，记为W~

x\n）,其中

呢卜口

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量

分布中的一个重要参数。

%?分布满足可加性：设

匕-/⑷），

则

k

z=Z、~?2（々+%+•••+&）.

；=1

t分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，且

可以证明函数

TX

T=-j=^=

yjY/n

的概率密度为

f（t）=—一/、1+—（-co</<+oo）.

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T~t（n）。

，-5）=一。（〃）

F分布设*~/（〃1，丫~/（〃2）,且x与Y独立，可以证明

产二小巴的概率密度函数为

Y/〃2

rf%+%]色―

/（JJ；J叶川+叼2,”0

"I）一「以「（也】MJ1〃2）

0,丁<0

我们称随机变量F服从第一个自由度为m,第二个自庄度为

n2的F分布,记为F~f（ni,.02）.

巴力（々，〃2）二口（、

%（%，为）

第四章随机变量的数字特征

(1)离散型连续型

-维期望设X是离散型随机变量，其分设X是连续型随机变量，其概率

随机期望就是平均值布律为P(X=&)=pk,密度为f(x),

•KO

变量k=L2,・・・,n,

E(X)=jxf(x)dx

-

的数E(X)=^x,p,

hl(要求绝对收敛)

字特

(要求绝对收敛)

征

函数的期望Y=g(X)Y=g(x)

4C0

E(Y)=jg(x)f(x)dx

k=l-30

方差■KO

)公

O(X)=ZK—E(X)]2PAO(X)=J[x-E(X)]2/a

k-00

D(X)=E[X-E(X)p,

标准差

b(x)=gx),

矩①对于正整数k,称随机变量X①对于正整数k,称随机变量X的

的k次幕的数学期望为X的kk次幕的数学期望为X的k阶原点

阶原点矩，记为Vk,即矩，记为Vk,即

v=E(Xk)=JLxiPi•

kVk=E(Xk)=

iJ-8

k=l/2,....k=l,2,....

②对于正整数k,称随机变量X②对于正整数k,称随机变量X与

与E(X)差的k次幕的数学期E(X)差的k次幕的数学期望为X

望为X的k阶中心矩记为4,的k阶中心矩，记为/〃，即

即〃k=E(X-E(X)y

2E(X_E(XN

=Z。，—£(X))人,

k=l,2,....

i

k=l,2,....

切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)寸，方差D(X)=。2,则对于

任意正数£,有下列切比雪夫不等式

2

P(|X-A|>£)<p-

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

P(|X_)之£)

的一种估计,它在埋论上有重要意义。

(2)(1)E(C)=C

期望(2)E(CX)=CE(X)

的性(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(力。阳)=£&七区.)

1=11=1

质

(4)E(XY)=E(X)E(Y),充分条件：X和Y独立；

充要条件：X和Y不相关。

(3)(1)D(C)=O;E(C)=C

方差(2)D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)

的性(3)D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b

质(4)D(X)=E(X2)-E2(X)

(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件：X和Y独立；

充要条件：X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。

(4)期望方差

常见0-1分布3(1,〃)PP。一P)

分布二项分布p)np切(1-P)

的期泊松分布PW22

望和_1_"P

几何分布G(p)*>

Pp~

方差

nM

超几何分布NIN人N-J

N

a+b3一42

均匀分布um,勿

212

11

指数分布包㈤7不

正态分布N(",cr2)

/分布n2n

n,c、

t分布0--(n>2)

n-2

4^0

(5)期望E(X)」为再pj.

E(X)=jxfx[x}dx

f=l-00

二维

-HX-

刈丫)=£),/.)

E(Y)=fyfy(y)dy

随机

可-<e

变量函数的期望E[G(X,y)]=E[G(X,Y)]=

的数，)")〃》•-KOW

iJJjG(x,y)f(x,y)dxdy

-8—8

字特

田

方差2

D(X)=\[x-E(X)]fx(x)dX

征Q(X)=Z"-E(X)]2p,・

i-00

o(y)=Z%—E(y)]2p.j•KO

jo(y)=")，—E(y)『力,(y"

-oO

协方差对于随机变量x与Y,称它们的二阶混合中心矩〃”为X与Y的协

方差或相关矩,记为外丫或cov(x,y),即

<Txr=pll=El(X-E(X))(Y-E(Y))l

与记号相对应，X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为

67xx与0疗。

相关系数对于随机变量X与Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,则称