第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示(练习)(原卷版+解析)x高考数学一轮复习(新教材新高考)

第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示

（模拟精练+真题演练）

・最新模拟精练____________________

1.（2023•江苏•统考模拟预测）在53。中，AD=2DB，点户在8上，且人P=〃MC+g八以，R）,

则川=（）

2.（2023•广东广州•华南师大附中校考三模）已知向量〃=（3,4）,〃=（4.咐，且卜+〃卜卜-6,则忖=（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2023•福建南平•统考模拟预测）已知正方形人8CO的边长为1,点M满足AB+8C=2AM，则打。卜

（）

A.vB.1C.—D.夜

22

4.（2023•河南•校联考模拟预测）已知向量。=（2,5）,b=（m,2m+2）,且〃/必，则〃】=（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2023•江苏盐城•统考三模）已知48co是平而四边形，设〃：AB=2OC，（1：48co是梯形，则P是

9的条件（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

6.（2023•辽宁•辽宁实验中学校联考模拟预测）在/BC中，记CB=a，CA=b,若入。=2"，则CD=

（）

A.B./C.-d+2bD.2a-b

JJ，J

7.：2023•内蒙古赤峰•赤峰二中校联考模拟预测）在八8。中，。是中线AD的中点，过点。的直

线MN交边AB于点、M,交边AC于点N,且=AC=nAN，则，〃+〃=（）

A.-B.2C.；D.4

42

8.（2023•四川•校联考模拟预测）已知向量a=0=（cose,sin0）（0«ew兀），则下列命题不正确的

是（）

A.|^|=1B.若则tan6=l

C.存在唯一的6使得卜+〃卜卜D.卜+目的最大值为石

9.（多选题）（2023•黑龙江哈尔滨•哈九中校考模拟预测）已知向量a=（L-2）,/，=（-1,小），则正确的

是（）

A.若〃?=1,则卜一耳=45B.若°〃〃，则，〃=2

c.若。与人的夹角为钝角，则D.若向量是e与。同向的单位向量，则。=卜乌,一挛

55

2IJ

10.（多选题）（2023•湖南•模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（）

A.若线段AC=AB+BC,则向量AC=AB+8C

B.若向量4c=A8+8C，则线段=

C.若向量A3与BC共线，则线段AC=A8+8C

D.若向量A8与BC反向共线，则|AB—3C|=A3+4C

II.（多选题）（2023•江苏苏州•模拟预测）在中,记ABwAC"，点。在直线8。上，且⑷=3DC.

若AD=ma+nb，则~的值可能为（）

n

A.—2B.——C；D.2

12.（多选题）（2023•辽宁•新民市第一高级中学校联考一模）已知A,B,C是同一条直线上三个不

同的点，O为直线外一点.在正项等比数列｛4”｝中，己知4>2,且。1=出。8+仆"，则｛””｝的公比4的

值可能是（）

A.QB.I+GC.26D.2+x/3

13.（2023•宁夏石嘴山•石嘴山市第一中学校考三模）设是两个不共线的向量，若向量总+2〃与8。十/

的方向相反，则&=.

14.（2023•安徽•校联考模拟预测:，给出下列命题；

①若。,力同向，则有1+a卜忖+卜卜

②a+8与卜|+忖表示的意义相同；

③若。/不共线，则有卜+q>W+W；

④卜卜卜卜忖恒成立；

⑤对任意两个向量a、b,总有卜+〃卜M+W：

⑥若三向量凡Ac满足”+〃+c=0，则此三向量围成一个三角形.

其中正确的命题是（填序号）

15.（2023•上海黄浦・上海市大同中学校考三模）在中，ZC=90,/8=30,NB4C的平分线

交BC于点D,若4Q=/tA8+〃AC（2,〃eR）,则'=.

16.（2023福建龙岩统考模拟预测）已知向量。=。,2）,为+。=（4,2）,。=（1,孙若/）〃°,则2=.

17.（2023•江苏镇江•江苏省镇江中学校考模拟预测）在AABC中，已知8。=2OCC£=E4,BE与AD

相交于O，若8O=x8A+yBC（x,ywR）,贝iJx+），=.

18.（2023•上海浦东新•华师大二附中校考三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整

点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点

Q（33,33）所跳跳次数的域小值是.

1.(2023•北京)已知向量a,〃满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|。|2-出|2=()

A.-2B.-1C.0D.I

2.(2022•全国)已知向量a=(x+2.l+x),〃=(x-21-x).若a//b,贝ij()

A.X2=2B.|X|=2C.Y=3D.|X|=3

3.(2022•乙卷)已知向量a=(2,l),〃=(-2,4),则)

A.2B.3C.4D.5

4.(2022•新高考I)在A4HC中，点。在边48上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则C4=()

A.3m-2nB.-2/n+3nC.2>m+2nD.2m+3n

5.(2020•全国)设点q,P2,8在OO上，若O[+O6+。4=0,则/片6A=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.(2020•海南)在AAOC中，。是AB边上的中点，则CB=()

A.2CD+C4B.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

7.(2019•新课标II)已知向量a=(2,3),6=(3.2),则|。一力|=()

A.72B.2C.5>/2D.50

8.(2023•上海)已知向量a=(3,4),〃=。,2),贝人/一28=.

9.(2021•乙卷)已知向量a=(2,5),/?=(2,4),若aHb,则2=.

第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示

(模拟精练+真题演练)

・最新模拟精练____________________

1.(2023•江苏•统考模拟预测)在中，AD=2DB，点P在CD上,且=+：R),

则加=()

A.—B.-C.—D.!

【答案】D

【解析】因为AO=2O8,所以=

2

]-.13--I

所以4/>=〃LAC+-A8=〃?AC+-X^4O=〃L4C+-AO,

3322

又HC,3三点共线，所以m+：=1,得

22

故选：D.

2.(2023•广东广州•华南师大附中校考三模)已知向量a=(3,4),匕=("”)，且卜+。卜卜-耳，则忖=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】小+小卜-q,两边平方得(“+“=(”-q,

展开整理得.•・〃・〃=().

二.a•b=3x4+4m=0,解得m=-3.

.・.忖=、42+(—3『=5

故诜：C

3.(2023•福建南平•统考模拟预测)已知正方形A5C。的边长为1,点M满足48+8C=2AM，则|皿卜

()

A.vB.1C.—D.72

22

【答案】C

【解析】

如图，A8+3C=AC=24M，所以“是AC的中点，打口卜（皿二当：

故选：C.

4.（2023•河南•校联考模拟预测）己知向量。=（2,5）,U（W,2/n+2）,且0〃人则机=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因为a/4，所以2（2〃什2）=5加，解得，〃=4.

故选：D

5.12023•江苏盐城•统考三模〉已知48co是平面四边形，设〃：AB=2DC，%ABCQ是梯形，则P是

9的条件（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】在四边形ABCO中，

若AB=2DC,

则ABDC.\IAB=2LXJ.

即四边形48co为梯形，充分性成立；

若当40.8C为上底和卜.底时，

湖足四边形48CZ）为梯形，

但A3=2DC不一定成立，即必要性不成立：

故〃是4的充分不必要条件.

故选:A

6.12023•辽宁•辽宁实验中学校联考模拟预测）在/BC中，记CB=a，CA=b,若AO=248,则CD=

（）

1_1,1.2,

A.-a+—bB.-a+—bC.-d+2bD.2a-b

JJ，J

【答案】D

【解析】因为在/6C中，若AO=2AB，所以点8为A£＞中点，所以CQ=2C8-CA=2a-〃.

故选：D

7.12023•内蒙古赤峰•赤峰二中校联考模拟预测)在中，P是中线A。的中点，过点P的直

线MN交边AB于点M,交边AC于点N,且AB=m4M，AC=fiAN»则小+〃=()

A.-B.2C.；D.4

42

【答案】D

【解析】因为P,M,N三点共线，所以AP=/IAM+〃AN,且义+〃=1,

因为〃是A。的中点，所以AP=[AO=：A6+—AC,

244

因为48="MM，AC=nAN，

所以AP="AM+CAM,则%+°=1,得〃z+〃=4.

4444

故选：D

8.(2023•四川•校联考模拟预测)已知向量。=(1,1),〃=(cosasin®)(0"K7t),则下列命题不正确的

是()

A.%=1B.若aNb，贝ljtand=l

C.存在唯一的8使得卜+q一|〃-目D.卜:〃|的最大值为石

【答案】D

【解析】由向量0=(1向),/?=(cos6?,sin^)(0<^<^,),

对于A中，由W=Jcos2j+sin2e=l,所以A正确；

对于B中，若a/m，可得sin6=cos®且COS6H0,可得tan6=l,所以B正确；

对于C中，若卜+耳=卜一4,可得卜+田=卜一同；整理得〃.〃=().

所以cos0+sin0=0,可得tan0=—l,因为04〃4兀，可得。=芬，所以C正确：

4

对于D中，由,/+/J=a+//+%•力=2+l+2(cos8+sin0)=3+2&sin(e+；),

因为04。工兀，所以四彳0+工匕2,可得-立wsin(0+巴］VI,

4442I4J

所以卜+〃『的最大值为3+2&，即,叫的最大值为1+应，所以D错误.

故选：D.

9.（多选题）（2023•黑龙江哈尔滨•哈九中校考模拟预测）已知向量。=（-2）,则正确的

是（）

A.若〃?=1,贝4a-N=Ji3B.若4〃〃，则，〃=2

C.若。与〃的夹角为钝角，则〃?〉-：D.若向量是3与〃同向的单位向量，则-挛

?155yl

【答案】ABD

【解析】对于A,若m=l,则〃一人=（2,-3）,所以卜=故A正确；

对于B,若“//力，则〃?-2=0,所以〃?=2,故B正确:

对于C,若a与〃的夹角为钝角，则仆〃<0.且。与人不共线，

—1-2/?1<0]

即1C八，解得/且〃?工2,故C不正确：

/52工02

一a（布-竽故D正确.

对于D,若向量是c与a同向的单位向量，则c=「[=w

M15

故选：ABD.

10.（多选题）（2023•湖南•模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（）

A.若线段AC=A6+8C,则向量AC=A6+6C

B.若向量AC=A8+8C，贝ij线段AC=A8+3C

C.若向量八B与3C共线，则线段AC=AB+8C

D.若向量AS与3C反向共线，贝”A6-6C|=A6+6C

【答案】AD

【解析】选项A：由AC=A3+8C得点4在线段AC匕贝ljAC=A6+6C，A正确：

选项B；三角形ABC,AC=A8+8C，但ACVAB+8C,B错误；

对于C：A8.3c反向共线时，,。=卜〃+3。卜卜8卜,4,故4cHAB+BC,C错误；

选项D：八从8c反向共线时，卜8-8q=%B+（—〃C）卜AB+8C,故D正确.

故选：AD.

11.（多选题）（2023•江苏苏州•模拟预测）在中，记入B=a，AC=〃，点。在直线上，且AO=3/）C.

若ADab，贝哼的值可能为（

A.-2D.2

【答案】BC

【解析】当。点在线段8C上时，如图,

3-3/--\1-3-1-3—

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC=-a+-b,

44、74444

所以丝

〃93

4

当。点在线段8c的延长线上时，如图，

AD=AB+BD^AB+-BC^AB+-（\C-AB]=一一AB+-AC=--a+-b,

22、72222

1

„.m71

则一=、/=一£，

II£3

2

故选：BC.

12.（多选题）（2023•辽宁•新民市第一高级中学校联考一模）已知A,R,C是同一条直线上三个不

同的点，。为直线外一点.在正项等比数列｛〃”｝中，己知4>2,且0八=603+4"，则｛4”｝的公比4的

值可能是（）

A.73B.1+6C.2GD.2+V3

【答案】CD

【解析】VA,B、C是同一条直线上三个不同的点，且。4=%。8+%”,

.*.生+/=1.

•・•｛4｝为正项等比数列，所以公比少0.

出+《=~T+—=Cl41W=1,/.&=——>2,

q-qI<?'Ji+夕

V<7>0,.・.1+4>0,:.q，>2+2q,（f-2q-2>0,

解得”1-6（舍）或q>l+G.•.9€（1+6甸

对于A,6«1+6,钙），故选项A不正确：

对JB,1+G0（l+6+oo）,故选项B不正确；

对于C,273€（1+73,+^）,故选项C正确；

对于D,2+Ge（l+G,”），故选项D正确.

故选：CD.

13.（2023•宁夏石嘴山•石嘴山市第一中学校考三模）设是两个不共线的向量，若向量妨+2〃与

的方向相反，贝必=.

【答案】-4

【解析】由题意可知北+2〃与1+M共线，

所以存在实数丸使履+2h=2（8〃+幼）=84a+kAb,

解得卜二3或卜:一3

k=^A

因为a，/?不共线，所以

2=Uk=4|女=-4

_1

因为向量总+2。与85+4的方向相反,ll|J-2.

故答案为：-4.

14.（2023•安徽・校联考模拟预测）给出下列命题：

①若方力同向,则有,+4=忖+同：

②Z+0与卜|+1|表示的意义相同：

③若a,方不共线，则有卜+4>W+W：

④,卜”+忖恒成立；

⑤对任意两个向量占匕，总有卜+陷K|«/|+w：

⑥若三向量”也。满足〃+〃+c=0，则此三向量围成一个三角形.

其中正确的命题是（填序号）

【答案】®©

【解析】对于①，若。力同向，则与4〃同向，所以M+a|=|4+|4,故①正确：

对于②，a+方与忖+W前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确：

对于③，若。为不共线，则有卜+q<“+w，故③不正确：

对于④，若〃=(),则卜卜H+W，故④不正确；

对于⑤，对任意两个向量总有卜+4W4+W，故⑤正确；

对于⑥，若三向量〃,b,c•满足q+b+c=0，若《，瓦不中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不

正确.

故答案为：

15.(2023•上海黄浦•上海市大同中学校考三模)在/BC中，ZC=90,N8=30,/3AC的平分线

交BC于点、。,若AO=/L48+〃AC(/1,〃GR),则楙=.

【答案】；/0.5

【解析】在中，NC=90,NB=30,贝iJNB4C=60,又4Z)平分/BAC,即有NCAD=NZMb=3。，

|一一]-一_.]一？一

因止匕8£>=AO=2CD,即有CO=-OB,AD-AC=-(AB-AD),整理得AO=-43+-AC,

2233

12

ifUAD=AAB+pAC,且48,AC小共线，于是尤=§'〃=5，

所以J.

42

故答案为：y

16.(2023喃建龙岩统考模拟预测)已知向量。=(1,2),为+〃=(4,2)1=(1,/1),若/,/仆则2=.

【答案】-1

【解析】由a=(l,2),为+8=(4.2)可得：。=(2,-2),

又因为-=(")，由可得：以(-2)-2/1=0,

解得：2=-1,

故答案为：T.

17.（2023•江苏镇江•江苏省镇江中学校考模拟预测）在AA8C中，已知B。=2。。，CE=EA,BE与AD

相交于0,^BO=.xBA+yBC（xtyeR）,则x+），=.

4

【答案】-/0.8

mu3UE一1

【解析】因为BO=2OC，CE=EA，所以BC=QB。，BE=Q（BA+BC）,

因为8O=xBA+yBC,所以3O=x5A+争。

又BE与AD交丁点、O,所以X+孝=1,

另方面，设8。=28旦AeR）,因为BE=g（8A+8C）,

所以80=^84+亨8。=x8A+y8C,则x=_y=（,代入X+募=1中，

可解得x=）,=[=：,则x+y=]

4

故答案为：—.

18.（2023•上海浦东新•华师大二附中校考三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整

点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点

。（33,33）所跳跃次数的最小值是.

【答案】10

【解析】每次跳跃的路径对应的向量为

UUUULUU11111

4=（3,4）,4=（4,3）,q=（5,0）,4=（0,5）,勺=（一3,-4）也=（＜-3）,0=（-5,O）,t/2=（0,-5）,

因为求跳跃次数的最小值，则只取々=（3,4）4=（4,3武=（5,0）2=（。,5）,

设对应的跳跃次数分别为,其中〃h「5・N,

L1LN1U11nli

可得=+他+cq+1&=（3a+4/）+5c,4a+3/?+5d）=（33,33）

则包+3H5d=33,两式相加可得7（a+b）+5（c+d）=66,

a+b=8(a+b=3

因为a+〃，c+deN,则.c+d=2^\c+d=9

a+。=8

当〈,c时，则次数为8+2=10；

c+d=2

a+h=3

当〈,c，则次数为3+9=12：

c+d=9

综上所述：次数最小值为10.

故答案为：10.

1.(2023•北京)已知向量a,A满足a+b=(2,3),a-b=(-2A),则|4|2-|。『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】va+b=(2,3),a-b=(-2,1),

a=(0,2),h=(2,1),

二|小闻2=4-5=-1.

故选：B.

2.(2022•全国)已知向量a=(x+2」+x),b={x-2,\-x).若a"6,则()

A.x2=2B.|x|=2C..r=3D.|x|=3

【答案】八

【解析】va/lb,a=(x+2,l+x),6=(x-2,1-x).

/.(%+2)(I-x)-(l+x)(x-2)=0,

..-lx1+4=0,.-.x2=2.

故选：A.

3.(2022•乙卷)已知向量2=(2/)，5=(-2,4),则"一方|=()

A.2B.3C.4D.5