概率复习题题库1

概论复习题

㈠

1.设在每次赌博中，赌博的人获胜的概率是1/3.求在四次赌博中赌博的人至少有一次获胜的概率和

恰好有三次获胜的概率.

至少有一次获胜的概率是65/81,恰好有三次获胜的概率是8/81.

2.设袋中有5个球,其中有两个是黑球.从中不放回地摸球三次,每次摸出一个球.证明第三次摸到的

球是黑球的概率是2/5.

3.甲盒中有3个白球和1个黑球，乙盒中有4个白球和2个黑球.丙盒中有5个白球和3个黑球.从

甲、乙两盒中各取一个球放入丙盒,然后再从丙盒中任取一个球.

1）求从丙盒中取到的球是白球的概率.

2）如果已知从丙盒中取到的球是白球，求从甲、乙两盒中取到的球都是白球的（条件）概率.

3）如果已知从丙盒中取到的球是白球，求在甲盒中取到的球是白球的（条件）概率

设八二”从甲盒取到臼球“，A="从乙盒取到白球”，C="从丙盒取到白球”.

1）P（Q=77/I2O.

2）P（AB\C）=^.

3）P（A|C）=60/77.

4.甲盒中有3个白球，2个黑球：乙盒中有4个白球，4个黑球。从甲盒中任取2个球放入乙盒，然

后再从乙盒中任取两个球。（1）问在乙盒中取到的是两个白球的概沃；（2）乂如果已知在乙盒中取出

的是两个黑球，问在甲盒中取出的是两个黑球的（条件）概率。

37/150,5/31.

5.（15分）在某个电子游戏中，甲乙两人同时向同一个目标射击，甲的命中率是0.5,乙的命中率

是0.4。如果两人都命中目标，则目标“死亡”的概率是0.9：如果刚好有一人命中目标，则目标“死

亡”的概率是0.6；如果无人命中目标，则目标“死亡”的概率是0。

1）求目标“死亡”的概率：

2）如果已知目标死亡，求两人都命中目标的概率；

3）如果已知目标死亡，求甲命中目标的概率。

设4=“甲命中"，8=“乙命中”，£>="目标死亡”.

1）P（£>）=0.48.

2）P（AB\D）=3/S.

3)P(A|D)=3/4.

6.口袋中有3个白球和4个黑球.

1）从这个口袋中取球，每次取一个，有放回地取两次,求两次都取到黑球的概率.

2）从这个口袋中取球,每次取一个,有放回地取3次,求恰好有两次取到黑球的概率.

3）从这个口袋中同时取出两个球，求取出的这两个球都是黑球的概率.

4）从这个口袋中同时取出两个球，已知取出的球中至少有一个是黑球,求取出的这两个球都

是黑球的条件概率.

1）16/49.2）144/343.3）2/7.4）1/3.

1.口袋中有4个黑球和3个白球从口袋中任意地取球，每次取一个取后不放回，宜到取到黑球为止.

求取到黑球前取到的白球的个数的概率分布.

设X为取到黑球前取到的白球的个数，则X有概率分布

23

401

4241

P(X=xk)

773535

2.设随机向量（*,丫）服从矩形。={@,），）：-14人42,0W），〈2}上的均匀分布，求条件概率

P（X>11X<X）.

P(X>l|X<r)=l/8.

3.设随机变量X有密度外（幻二6一“0”）（幻，求随机变量卜=*的密度.

y有密度〃",'）=-y",共）（丫）.

y

4.设离散型随机向量（X,Y）有如下的概率分布:

X0123

-11/121/1202/12

002/121/120

12/1202/121/12

2

1）求2=乂+丫的分布.

2）求概率尸（乂2之丫）.

1）Z有分布

zk-101234

P(Z=Zk)1/121/124/123/122/121/12

2)P(X2>y)=i/3.

5.设随机变量X服从二项分布仅4,1/3),求X的分布函数和y=(X-2)2的分布.

X有分布函数

厂/、16,/\48r/\72,/\80,,、，/\

产(#=77Ao.l)(工)+*4L2)(X)+7T'[2,3)⑴+*/[3,4)⑴+《4”)⑴・

O1O1O1O1

y有分布

014

p（y="）24/8140/8117/81

6.设离散型随机变量X仅取值1,2,L,P（X=Z+l）=P（X=%）/4,4=1,2,L.求概率

P（X=3）.

p（X=3）=3/64.

7.设随机变量X有密度px（幻=gcosx•4_1/2,2］（幻，求概率尸（1^X|<l/2）.

P（|sinX|<l/2）=l/2.

8.设x服从［-1,2］上的均匀分布，y=x2.求丫的分布函数.

y有分布函数用（>）=|44。」）（）'）十耳Lu.4）（y）+/［4.g）（M

9,随机变量x服从均匀分布u（-1,1）,求（1）y=x?的密度：（2）y的分布函数。

PY（N）=4（）j（y）,Fy（y）=方/叩）。）+%“）（，）・

io.二维随机向量（x,y）有联合密度

/、fcV,0<x<1,y>0,

A。）二1n廿在

0,具匕。

求：1）常数c；2）x及丫的边缘密度：3）x与y是否独立？4）x+y的密度。

1）c=2.2）px（x）=2X/|Qj|（x）,Py（y）=e'^（o,-H»）（y）,3）独立.

z2

4）p（z）=2（z/-e+l）7[0,i）（z）+2e~I[l^）（z）.

11.二维随机向量（x,y）有联合密度

cxy>2,0<x<l,0<y<l

p(x,y)=<

o,其它

求：（1）常数c：（2）x及y的边缘密度；（3）x与y是否独立？

（4）x+y的密度。

(1)6.(2)2Moj(x),3y2/(0“(y).(3)独立.

⑷,4o,i)(z)+g(-z4+6z2-4zM[i,2)(z)・

12.设随机向量（X,y）的密度函数为

-(x+y)e~(x+y)x>0,y>0

〃(x,y)h

0其它

i）判断x和y是否独立并说明理由.

2）求2=*+丫的密度函数.

券/Zo.钙)(X),&()，)=等/"0”)。)，X,

1)Px（幻y不独立.

12_

2)〃Z(Z)=5Z/(o.4oo)(2).

乙

4

0<x<l,0<y<2

13.设随机向量(X,y)有密度,pQ,y)={2—xy-)，又设7=max{X,y}.

0其他

i)求x和y的边缘密度.

2)判断x和y是否相互独立.

3)写出x和y的分布函数.

4)求丁的分布函数和密度.(

)1

1)Px(X)=3厂/[0J](x),Py(y)=—W[O.2]()')•

2)x和丫相互独立.

3)(x)=(x)+7||^(x),(y)=—x^o,2)(y)+^2,+oc)(y)•

FXA?/(01)

4

4)=；//[0])⑺+⑺+/⑵田)(f),/VW=^/(O.I)(O+1//(L2)«.

14.二维随机向量(x,y)有联合密度

/、\cxe~y0<x<1,v>0,

爪2)=|八y廿…

0,其匕。

求：1)常数。：2)x及y的边缘密度：3)x与y是否独立？4)x+y的密度。

I)C=2.2)Px(x)=2x/[0j(x),Py(y)="v/(o,田)(y)-3)独立.

4)p(z)=2(zez一/+lM[0])(z)+2eT/[]铐)(z).

15.随机变量x服从均匀分布求(1)y=x?的密度：(2)y的分布函数。

py(y)=^4o1](y)，型y)=64o,i)(y)+%*)()，)・

16.随机变量X服从二项分布3(3,1/3),

1)求Y的分布函数

2)求y=(x—1)2分布。

x有分布函数

,I719

/(X)=寺4o.l)(X)+5?4l,2)(X)+—/[2.3)(幻+43.x)(X)'

4/乙/乙/

y有分布

Yk014

6/2713/278/27

P(y=yk)

17.在一个袋子中有5个红球和3个白球,每一次从这个袋子中任意地取出一个球并放回一个红球,

直到取得红球为止.用X表示取球的次数,求X的分布并求概率尸(1<X<3).

X有分布

3

xk124

P(X=xQ5/89/3221/2563/256

P(1<X<3)=93/256.

(=)

1.证明：

1)cov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY).

2)当x,y相互独立时，ax-y)=ox+oy.

2.设(X,丫)有联合密度p(x,y)=(x+)，)//)(x,y),其中

O={(x,)，):0WE,0WyWl}.

i)求x和y的边缘分布.

2)判断x和y是否独立.

3)^EX,DX,EY,DY.

4)求cov(X,Y)和pxy.

?7

1)Px(x)=4o,i](x)(x+1/2),pY(y)=/|(),||())(3+1/2).

2)X和丫不独立.

3)£X=7/12,DX=11/144,"=7/12,DY=\\/\44.

4)cov(X,r)=-1/144,pXY=-\/\\.

3.设DX=25,。丫二16,做­=。5.求8丫(2*,丫)和£>(2*-丫+10).

cov(2X,y)=20,D(2X-y+10)=76.

4.设(X,y)有联合密度p(x,y)=(x+y),其中

。={(工，>)：0VxKLowy〈i}・

1)求概率P(XW2Y).

2)设R=XK,求成和DH.

3)求2=*+丫的密度.

19

1)P(X<2Y)=—.

24

2)ER=l/3,DR=1八8.

2IZ

3)Pz(z)=2/|0.)(2)+(2-z)/[l2J(z).

5.设离散型随机向量(x,y)有如下的概率分布:

X0123

-11/121/1202/12

002/121/120

12/1202/121/12

1)求X和丫的边缘分布.

2)判断x和丫是否独立.

3)^.EX,DX,EY,DY.

4)求cov(X,y)和/?xy.

i)x和y分别有的边缘分布

xk-101

P(X=xQ4/123/125/12

0123

p(y=%)3/123/123/123/12

2)X和丫不独立.

3)£X=1/12,Z>X=107/144,EY=3/2,DY=5/4.

3

4)cov(X,X)=—1/8,PXY——।-

7535

6.二维随机向量二维随机向量（X,Y）有如下的概率分布,

123

1001/6

201/61/6

31/61/61/6

求x和y的边缘分布，期望，方差及x与y的相关系数。

x和y分别有边缘分布

xk123

P(X=x»1/61/31/2

1，

Jki23

p（y="）1/61/31/2

E¥=7/3,Ey=7/3,DX=5/9.DV=5/9.pXY=-l/2.

7.二维随机向量（X,Y）在三角形D=｛（%y）:x>0,y>0,x+），v1｝上服从均匀分布，求X和V的

边缘密度，期望，方差及x与y的相关系数。

,

pxU)=2(l-x)/(01)(x),/v(>)=2(l-y)/(o,n(y)>

£X=l/3,DX=1/18,Er=l/3,DF=1/18,=-1/2.

8.设某人在3人中共收到4份屯了邮件，每份电了邮件在这3人中的那人被收到都是等可能的.

设这3天中有X天每天都至少收到一份电子邮件,求X的期望.

第/•天至少收到一份电子邮件

（提示：设匕=%则乂=乂+与+匕）

第i天没有收到电子邮件

E¥=65/27.

9.设X为连续型随机变量,密度函数为

P（x）=T"Sd向⑴，

又设y=3X+l.求EY,。丫和cov（X,V）.

EY=7,DY=36,cov(X,X)=12.

8

10.设随机变量X和y相互独立，Z=2X+Y,W=XY.已知EX=3,EY=4,DX=5,

。丫=6.求

5)EZ,DZ.

6)EW,DW.

7)cov(X,Z),pxz.

1)EZ=1O,DZ=26.

2)EW=\2,DW=\20.

3)cov(X,Z)=10,px/=.

10.设有一批木材,其中80%的长度不少于3米.现从这批木材中随机地取出100根.问其中至少有3C

根长度不到3米的概率是多少？

X[++X]0p-30

P(X1+—+XIOO>3O)=P>2.5巾一心(2.5)=0.0062.

7100x0.2x0.8

(四)

1.

1）设总体X有密度PCE）=W&/。缶”）*）,其中未知参数，＞o又设样本值为』,L，与，求

参数。的最大似然估计.

2）设总体X有密度〃（苍。）“-'"）：/"）。），样本为XPL,x“，求未知参数e的矩估计

量.

3）设总体X有样本X1,L，猫，求〃的值使）2=3〃WX：（Xi+2-X,）2是总体方差OX的无

偏估计.

人2工,1

1）e的最大似然估计/,=2元.

2）。的矩估计量』=1一又.

3）k=—!—.

6（〃一2）

2.用仪器测量某种金属的密度，测量的结果X:测量16次,得到元=2.705,5=0.02.

求X的均值和方差的置信水平为C.95的置信区间.

均值4的置信区间为[2,694,2,716],方差。？的置信区间为[0.000219,0.000958].

3.用自动打包机包装方便面，设定每包方便面的重量为100克.需要每个小时都检查方便面的包装重

量是否存在系统偏差,抽查得某个小时包装的7包方便面的重量（克）为

96,97,97,99,99,102,103.

问在这个小时打包机的工作状态是否正常？（取a—0.1并设包垂服从正态分布）

--100

P(|7|21.943)=0.1,|止1<1.943,接受“•

4.设总体X:N（M，b；）,y：N（〃2，£）,X，L,X〃,和X，L分别为来自XI的简单样本,

且这两个样本相互独立,样本的值为2,L，七〃和％,L）”利用以下数据,完成相应的假设检验.

mn工y检验水平a零假设明

丁2丁2

128556056.1510.056=，

尸=胃~吊7，P（F<1/3.759）=0.025,P（F>4.709）=0.025,

S?

1/3.759</=母=曳=1.1<4.709,接受”o.

$251

5.设总体X有密度〃（1初二14仍年什）。），其中6£（YO,+OO）是未知参数，X],,X“是来自

X的样本.试求0的最大似然估计和矩估计.

1）A=min{X1,,X〃}是。的最大似然估计.

2）6=无-1是夕的矩估计.

6设某批铝锭的比重服从正态分布，随机他抽查了16块铝锭的比重，得到样本均值5=2.705和样

本方差J=0.0292.求这批铝锭的比重的置信水平为0.95的置信区间.

置信区间为为.69,2.72].

1C

7.某工厂生产的人造板的厚度(亳米)X~N(").现从该厂的产品中随机地抽取10张进行测量,

得样本方差52=0.056.检验假设40:M<0.025c:>0.025.(a=().05)

9s27

1=志行=20.16之16.919=焉(0.05),拒绝为.

8.甲、乙两个工厂都生产同一种部件,其重量(单位:千克)分别用x和y来表示,假定它们都服从正态

分布.现从两个工厂中分别取出8件和9件部件测量其重量，分别得到样本方差寸=15.50和

$=9.60.问能杳由此推断两个工厂生产的部件的重量的方差有显著差异？(a=0.1)

片8(0.95)=0.268<尸=s；/$=1.616<3.5=外用(°95),故接受.

㈤

选择题

1.

(1)设P(A|8)=P(B\C)=P(C\A)=2/3；P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/6,

产(4?C)