《角的平分线的性质(第二课时)》教案

《角的平分线的性质（第二课时）》教案教学目标教学目标：运用角平分线的性质的解决问题，进一步培养学生逻辑推理的能力.教学重点：发现并正确使用角平分线的性质进行推理与书写.教学难点：角平分线的性质定理的应用．教学过程时间教学环节主要师生活动1-2分钟4-5分钟4-5分钟3-4分钟5-6分钟5-6分钟2-3分钟定理复习例题与练习小结与作业定理复习角的平分线上的点到角的两边的距离相等．使用定理时的书写：∵∠AOP＝∠BOP（OP平分∠AOB），PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD＝PE．例1．如图，△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．分析：由角平分线的性质可求得DE＝DF，BE＝FC来自于证明Rt△BDE≌Rt△CDF．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.在Rt△BDE和Rt△CDF中,∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴EB＝FC．点评：1．本题中角的平分线的性质的题设非常明确，应第一时间想到利用其得到DE＝DF．2．从结论出发，结合已知和已证的条件，可知需要证明△BDE≌△CDF．3．可以认为是两个板块结合，注意每部分书写，有了角的平分线的性质不要再多证一次全等．例2．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？提到距离，想到把它作出来；作PD，PE，PF分别垂直于三边AB，BC，CA，D，E，F为垂足：根据角的平分线性质可得PD＝PE，PF＝PE，得到PD＝PE＝PF．注意有不止一组基本图可以用到角的平分线的性质．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．∵BM为△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE．（角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）同理PE=PF．∴PD＝PE＝PF．即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．点评：本题的关键是考虑复原基本图，作出对应的辅助线．练习:如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为F，G，H．∵BD为∠ABC外角的平分线，点P在BD上，∴PF＝PG．（角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）同理PG＝PH．∴PF＝PG＝PH．即点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．例3如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE＝DF．分析：“两组等，待全等”，“有双垂，补角分”．如图，连接AD，先证△ABD≌△ACD（SSS），则对应角∠BAD＝∠CAD．然后利用角平分线的性质证得结论．证明：如图，连接AD．在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．点评：本题的关键是既可以从复原基本图考虑，也可以从作公共部分来入手，作出对应的辅助线．练习．如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD＝PE，图中与∠PDA相等的角是∠PEO，并证明你的结论．分析：如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．构造全等三角形Rt△PDF≌Rt△PEH（HL），则该全等三角形的对应角相等：∠PDA＝∠PEO．解：∠PDA＝∠PEO．理由如下：如图，过点P作PF⊥OA于点A，PH⊥OB于点H．∵OP平分∠AOB，∴PF＝PH．在Rt△PDF与Rt△PEH中，∴Rt△PDF≌Rt△PEH（HL）．∴∠PDF＝∠PEH.∴∠PDA＝∠PEO．小结在我们运用角的平分线的性质处理问题时:1．熟悉定理及其对应的基本图；2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线是：补全基本图如，过角平分线上的点向角两边作垂线；3．特别注意，可以使用角的平分线的性质定理时，不要再使用全等证明一遍这个结论．课后作业：1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．分析：根据AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质可知DE＝DF，△ABD与△ACD等高，面积比即为底边的比．证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F．∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF．∴S△ABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝AB：AC．2．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N．试说明：PM＝PN．证明：在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS）．∴∠ADB＝∠CDB（全等三角形的对应角相等）．∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN（角平分线的性质）．备用题（补充在例2之前）例．如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）分析：PC相当于点P到边BC的距离，所以我们可以这样理解这个题，点P首先满足到BC和到斜边AB的距离相等，什么样的点符合这个要求呢？根据我们近期所学，角平分线上的点到角两边距离相等．因此我们判断，点P应该在∠ABC的平分线上．题目有告诉我们点P还在AC上，那么在两条线上的点应该就是它们的交点了．作法：作∠ABC的平分线，交AC于点P．则点P为所求．证明：作PH⊥AB于H．∵∠C＝90°∴PC⊥AB于C．∴PC＝PH（角平分线的性质）．点评：1．本题没有要求尺规作图，因此基本作图，如做角平分线，可以直接叙述．2.处理作图题时，可以根据题目，先试想一下符合要求的图形具备的特征，并加以证明，这样比盲目一边试作一边找解决方法要好得多．知能演练提升一、能力提升1.如图,用尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧分别交OA,OB于点C,D,再分别以点C,D为圆心,以大于12CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得△OCP≌△ODP的根据是(A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AC,垂足为点E,若BD=3,则DE的长为()A.3 B.32 C.2 D.3.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是()A.4 B.3 C.6 D.54.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=36cm2,AB=18cm,BC=12cm,求DE的长.5.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.求证:M为BC的中点.6.如图,已知AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD.求证:∠B+∠D=180°.7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,问能否在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长?★8.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°.求证:DE=DF.二、创新应用★9.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边PC,PD分别与OA,OB相交于点C,D,PC和PD有怎样的数量关系?请说明理由.知能演练·提升一、能力提升1.D2.A3.B4.解如图,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F.∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵S△ABC=S△ABD+S△BDC,∴12·AB·DE+12·BC·∴12×18DE+12×12DE=36,∴DE=1255.证明如图,作MN⊥AD于点N.∵AM平分∠BAD,∠B=90°,MN⊥AD,∴BM=MN.∵AB∥CD,∠B=90°,∴∠C=90°.∵DM平分∠CDA,∠C=90°,MN⊥AD,∴MC=MN.∴BM=MC.即M为BC的中点.6.证明如图,过点C作CE⊥AB于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F.因为AC平分∠BAD,所以CE=CF.在Rt△CBE和Rt△CDF中,因为CE=CF,CB=CD,所以Rt△CBE≌Rt△CDF,所以∠B=∠1.因为∠1+∠ADC=180°,所以∠B+∠ADC=180°.7.分析由于题目中存在AD平分∠CAB,且DC⊥AC的条件,联想到角的平分线上的点到角的两边的距离相等,故过点D作DE⊥AB,便可找到所求作的点.解能在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长,即过点D作DE⊥AB于点E,则点E就是所要确定的点.证明:∵AD平分∠CAB,CD⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE.在Rt△ACD与Rt△AED中,AD∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵AC=BC,∴△BDE的周长为BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB.8.证明如图,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.∵AD平分∠BAC,∴DM=DN.∵∠AMD+∠MDN+∠AND+∠NAM=360°,∠AMD+∠AND=180°,∴∠MDN+∠NAM=180°.∵∠EDF+∠EAF=180°,∴∠MDN=∠EDF,∴∠MDE=∠ND