《垂直于弦的直径(第三课时)》教案

《垂直于弦的直径（第三课时）》教案教学目标教学目标：1.复习巩固垂径定理;会用垂径定理解决简单的实际问题.教学重点：运用垂径定理实际问题.教学难点：将实际问题转化为数学问题.教学过程时间教学环节主要师生活动1min活动一：复习回顾【活动一】复习回顾复习垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.如图∵在⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，∴，，.【活动二】巩固练习如图,如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为.（OE长为6）小结：思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—（结合）勾股定理—建立方程．【活动三】垂径定理实际应用例1如图，1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到0.1m）．分析：解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学问题.本题的关键是依据赵州桥的实物图画出几何图形.解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，依据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设可知AB=37,CD=7.23,∴OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得即解得R≈27.3答：赵州桥主桥拱的半径约为27.3m.小结：解决实际问题的主要步骤1.实际问题转化为数学问题认真审题画出图形，并把题中的已知和未知用数学语言表示出来；2.运用相关知识求得数学问题的解；3.检验所求的数学问题的解是否符合实际意义；4.回归到实际问题作答。例2如图铁路MN和公路PQ在O点处交会，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200m,如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为72km/h,居民楼受噪声影响的时间是多少秒？文字语言符号语言图形语言火车MN和公路PQ在O交会直线MN与直线PQ相交于点O∠QON=30°∠QON=30°点A处有一栋居民楼点AAO=200mAO=200m火车周围200m以内会受到噪声的影响以A为圆心，AO为半径作圆，交直线MN与点C火车MN上沿ON方向行驶火车在直线MN由O至N运动速度为20m/s火车在弦OC的行驶时间（居民楼受影响的时间）分析：解：居民楼会受到火车噪声的影响.以A为圆心AO为半径作圆，交直线MN于点C.作AE⊥OC于E，∴∠AEO=90°，.∵在Rt△AEO中，∠QON=30°，AO=200，∴∵火车速度为20m/s,∴居民楼受噪声影响的时间是【活动四】课堂小结运用垂径定理解决实际问题的一般步骤:1.把实际问题转化为数学问题.依题意画出图形并把题中的已知和未知用把数学语言表示出来.2.根据相关知识求出数学问题的解.思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—（结合）勾股定理—建立方程．3.检验所求的数学问题的解是否符合实际意义.4.回归到实际问题作答.【活动五】布置作业同学们课后完成下面几道题1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=300m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=45m，求这段弯路的半径.2.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，2.5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为4m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．图2图2图12min1min6min1min10min1min30s活动二巩固练习活动三垂径定理实际应用【活动四】课堂小结【活动五】布置作业知能演练提升一、能力提升1.如图,AB是☉O的弦,半径OA=2,∠AOB=120°,则弦AB的长为()A.22 B.23 C.5 D.322.如图,☉O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交☉O于B,C点,则BC等于()A.63 B.62 C.33 D.323.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(注:尺、寸是我国古代计量单位,1米=3尺,1尺=10寸).问这根圆形木材的直径是寸.

4.已知AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足为M,连接OA.若△AOM中有一个角是30°,OM=23,则弦AB的长为.

★5.小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,它的截面图如图所示,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB=40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,则该脸盆的半径为cm.6.如图,在☉O中,OD平分弦AB,OE平分弦AC,求证:AM=AN.7.如图,将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点D,E,量出半径OC=5cm,弦DE=8cm.求直尺的宽.二、创新应用★8.如图,铁路MN和公路PQ在点O处交会,∠QON=30°.在点A处有一栋居民楼,AO=200m,如果火车行驶时,周围200m以内会受噪音影响,那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时,居民楼会受到影响.如果火车行驶的速度是72km/h,那么居民楼受噪音影响的时间约为多少秒?(参考数据:3≈1.732,结果精确到0.1s)知能演练·提升一、能力提升1.B2.A3.264.12或45.25如图,设圆心为O,连接OB,OC,则OC⊥AB,设垂足为点D,圆的半径为r.由垂径定理,得BD=20,OD=r-10,根据勾股定理,得(r-10)2+202=r2,解得r=25.6.证明∵OD平分弦AB,OE平分弦AC,∴OD⊥AB,OE⊥AC.∴∠D+∠DMB=90°,∠E+∠ENC=90°.∵OD=OE,∴∠D=∠E.∴∠DMB=∠ENC,即∠AMN=∠ANM.∴AM=AN.7.解如图,过点O作OM⊥DE,垂足为M,连接OD.则DM=12DE∵DE=8cm,∴DM=4cm.在Rt△ODM中,∵OD=OC=5cm,∴OM=OD2-DM∴直尺的宽度为3cm.二、创新应用8.分析要求居民楼受噪音影响的时间,首先要求出受噪音影响的路段.以A为圆心,200m为半径的圆形区域内受噪音的影响,☉A与MN的交点之间的线段即为受影响的路段,利用垂径定理与勾股定理即可求出此线段的长度.解如图,过点A作AD⊥MN,垂足为D,∠AOD=30°,则AD=12OA=100