《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第四课时)》教案

《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第四课时）》教案教学目标教学目标：1.掌握二次函数y=a(x−ℎ)2+k2.能根据表达式在平面直角坐标系中绘制二次函数y=a(x−ℎ)23.学生通过对例题层层递进的思考，深入理解二次函数的平移规律，逐步学习运用二次函数y=a(x−ℎ)2+k教学重点：二次函数y=a(x−ℎ)2教学难点：y=a(x−ℎ)2教学过程时间教学环节主要师生活动1Min6min15Min3min回顾旧知，夯实基础归纳总结，提炼升华探究思考，应用知识课堂小结与作业布置教师带领学生回顾回顾二次函数y=a(x−ℎ)2画出a，a>0,ℎ>0,k>0：a>0,ℎ<0,k>0：a>0,ℎ=0,k>0：a>0,ℎ>0,k=0：a<0,ℎ>0,k>0：a<0,ℎ<0,k>0：a<0,ℎ=0,k>a<0,ℎ>0,k=0：a>0,ℎ=0,k=0：总结：二次函数的图象在a>0时必过一，二象限；a<0时必过三，四象限；图象的开口大小仅和|a|有关；二次函数y=a(x−ℎ)2例1：在平面直角坐标系中，抛物线y=3(x−5)2−4答：y=3x2向右平移5个单位长度，向下平移4个单位长度得到抛物线y=3(x−5)2−4；故抛物线y=3(x−5)变式1：在平面直角坐标系中，抛物线y=−(x+3)2−2答：y=−(x+3)2−2向右平移3个单位长度，向上平移2再向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到抛物线y=−x−3∴向右平移6个单位长度，向上平移4个单位长度．变式2：在平面直角坐标系中，抛物线y=−2x−12+6答：方法1：y=−2x−12+6向左平移1个单位长度，向下平移6个单位长度得到抛物线y=−2x2；再向右平移3∴向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度．方法2：抛物线y=−2x−12+6与y=−2x+52−1形状相同，位置不同．y=−2x−1∴向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度．总结：抛物线y=ax−ℎy=ax−ℎ+m2+(k+n)，只需考虑如何将顶点坐标由(ℎ,

k)设计思路：从易到难，从特殊到一般，引导学生用不同方法归纳二次函数y=a(x−ℎ)2例2：已知一条抛物线的开口大小和方向均与

y=x答：设二次函数的解析式为

y=a(x−ℎ)2+k；由题目条件，a=1，∴y=(x−1)变式1：已知抛物线的顶点为(−2,−答：设二次函数的解析式为y=a(x−ℎ)2+k；由题目条件，ℎ=−2代入点(1,

5)

：5=a(1+2)2−4∴y=(x+2)变式2：已知抛物线

y=−2答：设二次函数的解析式为y=a(x−ℎ)2+k；由题目条件，a=−2代入点(0,

0)

：0=−20−12+k∴y=−2x−1总结：在求解抛物线对应的二次函数解析式的一类问题中，先设要求的二次函数为y=a(x−ℎ)2+k设计思路：归纳此类题型中常出现的蕴含系数的条件（如抛物线形状；平移前后表达式；对称轴；最值；顶点坐标等等），培养学生计算过程中的整体观与大局观．例3：设A(−3,

a)，B(−2,b)，C(−1,

c)是抛物线y=−3(x−1)2+k答：方法1：代入

xa=k−48，∵k−∴a方法2：抛物线y=−3(x−1)2+k的对称轴为x=1，当x<1时，y随x的增大而增大．取

x∵−3<−2<−1<1∴a<b<c．变式：设A(−3,

a)，B(3,b)，C(8,

c)是抛物线y=−3(x−1)2+k答：方法1：抛物线y=−3(x−1)2+k的对称轴为x=1，点A(−3,

a)的对称点A当x>1时，y随x的增大而减小．∵1<∴b>a>c．方法2：抛物线

y抛物线上的点越接近顶点，纵坐标越大；横坐标越靠近对称轴，对应的函数值越大．∵点

A，B，C到对称轴的距离分别为4，2，7∴b>总结：在比较函数值大小一类问题中，可以先利用抛物线的对称性将要研究的点转化到对称轴的同一侧，再利用二次函数的增减性进行比较．也可以比较要研究的点到对称轴的距离．当

a>0

设计思路：引导学生灵活运用二次函数的对称性与增减性解决问题，数形结合思想的应用．教师带领学生回顾本节课所学知识点，加深印象.1．二次函数

y2.求解二次函数y3.比较二次函数y=布置作业：1．抛物线y=a(x−ℎ)2+k先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线y=2．二次函数的图象的顶点坐标为(3,

4)，且图象通过原点，求二次函数的表达式．3．设A(−2,

a)，B(1,b)，C(3,

c)是抛物线y=(x+1)2+k知能演练提升一、能力提升1.二次函数y=-14(x-2)2的图象与y轴(A.没有交点 B.有交点C.交点为(1,0) D.交点为02.如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位长度后,其顶点在直线上的点A处,则平移后抛物线的解析式是()A.y=(x+1)2-1 B.y=(x+1)2+1C.y=(x-1)2+1 D.y=(x-1)2-13.已知二次函数y=a(x+1)2-b有最小值1,则a,b的大小关系为()A.a>b B.a<bC.a=b D.不能确定4.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象大致为()5.已知二次函数y=(x-m)2-1,若当x≤1时,y随x的增大而减小,则实数m的取值范围是()A.m=1 B.m>1 C.m≥1 D.m≤16.若二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)的图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是()A.6 B.5 C.4 D.37.关于二次函数y=(x-1)2+5,下列说法正确的是()A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是(-1,5)C.该函数有最大值,最大值是5D.当x>1时,y随x的增大而增大8.如图,把抛物线y=12x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为9.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,若x1>x2>1,则y1y2.

10.下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是.

11.已知y=a(x-t-1)2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的图象的顶点是A,y=(x-1)2的图象的顶点是B.(1)判断点A是否在y=(x-1)2的图象上,并说明理由.(2)若y=a(x-t-1)2+t2(a≠0,t≠0)的图象经过点B,求a的值.二、创新应用★12.阅读理解题.已知抛物线y=-(x-t)2+2t,试探求不论t为何值,其顶点都在某一条直线上.解:因为y=-(x-t)2+2t的图象的顶点坐标为(t,2t),即x所以不论t取何值,始终有y=2x.因此可得到,不论t为何值,其顶点总在直线y=2x上移动.利用以上的解法,试探求解决下列题目:已知抛物线y=-(x-m)2+2m2,试探求不论m为何值时,其顶点总在某一个图象上移动.知能演练·提升一、能力提升1.B2.C把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位长度,即是将此抛物线向上平移1个单位长度后,再向右平移1个单位长度,故平移后的抛物线的解析式为y=(x-1)2+1.3.A因为二次函数有最小值,所以抛物线开口向上,则a>0;因为最小值为1,即-b=1,所以b=-1<0,a>b.4.B5.C6.D(方法一)开口向上且过点A(0,2),B(8,3)的抛物线大致如下图所示,作出点A的对称点P,显然点P的横坐标一定小于8,故对称轴一定小于4.(方法二)把A(0,2),B(8,3)代入y=a(x-h)2+k(a>0),得ah2+k=2,64a-16ah+ah2+k=3,∴64a-16ah=1,即16a(4-h)=1.又a>0,∴4-h>0,h<4,因此,只有选项D符合要求,故选D.7.Dy=(x-1)2+5中,x2的系数为1,1>0,函数图象开口向上,A错误;函数图象的顶点坐标是(1,5),B错误;函数图象开口向上,有最小值5,C错误;函数图象的对称轴为直线x=1,当x<1时,y随x的增大而减小.当x>1时,y随x的增大而增大,故D正确.8.272过点P作PM⊥y轴于点M,设PQ与x轴的交点为N(如图因为抛物线平移后经过原点O和点A(-6,0),所以平移后的抛物线的对称轴为x=-3.所以平移后的抛物线的解析式为y=12(x+3)2+h将点A(-6,0)的坐标代入,得0=12(-6+3)2+h,解得h=-9所以点P的坐标是-3根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积,则S=|-3|×-99.>由二次函数y=(x-1)2+1可知,其图象的对称轴为直线x=1.因为x1>x2>1,所以两点均在对称轴的右侧.因为此函数图象开口向上,所以在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.故y1>y2.10.①②④11.解(1)点A在y=(x-1)2的图象上.理由:因为y=a(x-t-1)2+t2的图象的顶点是A(t+1,t2),且当x=t+1时,y=(x-1)2=(t+1-1)2=t2,所以点A在y=