《垂直于弦的直径(第二课时)》教案

《垂直于弦的直径（第二课时）》教案教学目标教学目标：探究垂径定理的推论及简单应用.教学重点：垂径定理推论及应用.教学难点：垂径定理推论的探究.教学过程时间教学环节主要师生活动回顾引入复习旧知：1．弦和直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.符号语言：提出问题：图7垂径定理相当于已知①②推出③④⑤.那在这五个条件中改变两个条件是否能推出其它三个结论呢？图7⌒⌒⌒⌒⌒探究新知探究1．如果条件改为①过圆心，③平分弦,可以推出②垂直于弦，④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧吗？猜想1如果有一条直径平分弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.画图：题设结论同学们自己动手画出符合题意的图形.我们不妨按照被平分的弦AB是不是直径来分分类。分为两类：第一类说明当被平分的弦AB为直径时，猜想1不一定成立。所以我们将猜想1被平分的弦改为不是直径的弦.如第二类图形所示.猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，几何语言如下：∵CD是⊙O的直径，AE=BE，∴CD⊥AB，练习：判断垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.（×）2.平分弦的直径垂直于弦.（×）3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.（×）例1如图，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4cm,EM=6cm,求⊙O的半径.分析：根据垂径定理的推论，得EM⊥CD,连接OC,构造直角三角形OCM，应用勾股定理解决问题.例2.已知:如图，⊙O中，半径OE、OF分别平分弦AB、AC，交AB、AC于点D、G，交于点E、F，并且弦EF分别交AB、AC于点M、N.求证:△AMN是等腰三角形.新知应用拓展探究我们再来看这五个条件，我们发现垂径定理是已知①②推出③④⑤，推论是已知①③推出②④⑤，接下来我们不妨拓展探究一下，看看①⑤能推出②③④吗？也就是说如果一条直线经过圆心，并且平分了弦所对的劣弧，那么它能否垂直平分弦，并且平分弦所对的优弧呢？猜想3：平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分这条弦,并且平分弦所对的另一条弧.如果CD是圆O的直径，并且弧AD=弧BD，就可以推出CD垂直平分AB，并且还能得到弧AC=弧BC.思考：五个条件中任意选取2个条件作为已知条件，其他剩余条件作为结论，一共有多少种组合呢？一共有10种组合，由①②推出了③④⑤是垂径定理，由①③推出了②④⑤是垂径定理推论，①⑤推出②③④也是成立的，那其他组合也都能力吗？其他组合也都成立，请同学们课后自己探究给出证明.思考：为什么在这五个条件中可以已知二个条件推出其他三个结论呢？将直线CD满足的五个条件转化为直线CD经过不同的五个点，因为两点确定一条直线，所以只要知道两个条件成立就能推出其他三个结论成立.即“知二推三”.以上为我们的拓展探究内容.课堂小结本节课我们一同学习了垂径定理的推论及简单应用.布置作业1．下列命题错误的是（）A．垂直于弦的直径平分这条弦．B．弦的垂直平分线经过圆心．C．平分弧的直径平分这条弧所对的弦．D．平分弦的直径垂直于这条弦．2.如图，在⊙O中，若弦AB的长为8，半径OC平分弦AB，交AB于点D，CD=2，求⊙O的半径.3.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，OE平分弦BC，AD⊥BC于D，则∠EAD与∠EAO相等吗？为什么？知能演练提升一、能力提升1.如图,AB是☉O的弦,半径OA=2,∠AOB=120°,则弦AB的长为()A.22 B.23 C.5 D.322.如图,☉O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交☉O于B,C点,则BC等于()A.63 B.62 C.33 D.323.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(注:尺、寸是我国古代计量单位,1米=3尺,1尺=10寸).问这根圆形木材的直径是寸.

4.已知AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足为M,连接OA.若△AOM中有一个角是30°,OM=23,则弦AB的长为.

★5.小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,它的截面图如图所示,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB=40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,则该脸盆的半径为cm.6.如图,在☉O中,OD平分弦AB,OE平分弦AC,求证:AM=AN.7.如图,将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点D,E,量出半径OC=5cm,弦DE=8cm.求直尺的宽.二、创新应用★8.如图,铁路MN和公路PQ在点O处交会,∠QON=30°.在点A处有一栋居民楼,AO=200m,如果火车行驶时,周围200m以内会受噪音影响,那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时,居民楼会受到影响.如果火车行驶的速度是72km/h,那么居民楼受噪音影响的时间约为多少秒?(参考数据:3≈1.732,结果精确到0.1s)知能演练·提升一、能力提升1.B2.A3.264.12或45.25如图,设圆心为O,连接OB,OC,则OC⊥AB,设垂足为点D,圆的半径为r.由垂径定理,得BD=20,OD=r-10,根据勾股定理,得(r-10)2+202=r2,解得r=25.6.证明∵OD平分弦AB,OE平分弦AC,∴OD⊥AB,OE⊥AC.∴∠D+∠DMB=90°,∠E+∠ENC=90°.∵OD=OE,∴∠D=∠E.∴∠DMB=∠ENC,即∠AMN=∠ANM.∴AM=AN.7.解如图,过点O作OM⊥DE,垂足为M,连接OD.则DM=12DE∵DE=8cm,∴DM=4cm.在Rt△ODM中,∵OD=OC=5cm,∴OM=OD2-DM∴直尺的宽度为3cm.二、创新应用8.分析要求居民楼受噪音影响的时间,首先要求出受噪音影响的路段.以A为圆心,200m为半径的圆形区域内受噪音的影响,☉A与MN的交点之间的线段即为受影响的路段,利用垂径定理与勾股定理即可求出此线段的长度.解如图,过点A作AD⊥MN,垂足为D,∠AOD=30°,则AD=12OA=100m以A为圆心,