《因式分解-提公因式法》教案

《因式分解——提公因式法》教案教学目标教学目标：1.了解因式分解的概念，理解因式分解和整式乘法之间的互逆关系；2.掌握提公因式法因式分解；3.经历探索提公因式法分解因式的过程，学会逆向思维，渗透化归的思想方法．教学重点：提公因式法分解因式.教学难点：公因式的确定及灵活运用提公因式法分解因式.教学过程时间教学环节主要师生活动2min10min10min1min0.5min1min0.5min复习引入探究新知例题讲解归纳总结课后作业拓展提升课后作业一．复习引入复习旧知：请计算下列各式：x(x+1)=；(x+1)(x–1)=．思考：420能被哪些数整除？你是怎么得到的？（在小学我们知道，要解决这个问题需要把630分解成质数乘积的形式：420=22×3×5×7，所以420能被2、3、5、7整除）类似的，在式子的变形中，有时也需要将它们写成几个整式的乘积的形式。二．探究新知问题：把下列多项式写成两个整式的乘积的形式：＝______________；（2）＝___________．（1）＝x(1＋x)；（2）＝(x－1)(x＋1)．像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解，也叫做分解因式．问题：因式分解和我们学过的整式乘法有什么关系呢？因式分解因式分解是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式；而整式乘法是把几个整式乘积的形式化为多项式，所以因式分解与整式乘法是相反的变形．因式分解整式乘法即：整式乘法练习：下列变形中，属于因式分解的是_________(填序号）问题:pa＋pb＋pc这个多项式有什么特点吗？．（一共有三项，各项都有公共的因式p）若各项都有公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式.练习：说出下列多项式各项的公因式：（1）ma+mb；（公因式：m）（2）-4x－8y；（公因式：-4）（3）5y3+20y2；（公因式：5y2）（4）a2b－2ab2+ab．（公因式：ab）找公因式的方法：（1）系数的最大公约数作为公因式的系数；（2）相同字母的最低次数作为公因式中的字母次数部分．问题：你能将这个多项式因式分解吗？分解的依据是什么？（由，可得：，这样就把原式分解成两个因式的乘积，分解的中逆用了分配律.）问题：分解后的各因式与原多项式有什么关系？（其中一个因式是各项公因式p，另一个因式是a+b+c，是pa＋pb＋pc除以p所得的商.一般地，如果多项式中的各项有公因式，可以把公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解的方法叫做提公因式法.三．例题讲解例把下列各式分解因式分解因式:分析：（1）中这个多项式为两项，分别是，先找出公因式再提取公因式。先从系数入手，系数分别为8和12，它们的最大公因数为4；两项字母部分都含有字母a,b，其中a最低次数为1，b最低次数为2，因此我们选定4ab2作为要提出的公因式。提出4ab2，也就是每项都除以4ab2，剩余2a2+3bc就不再有公因式了.（2）中共有三项，同样先从系数入手，我们发现首项系数为-6，-10和-2.当首项系数为负数时，我们通常要提出一个负号，注意提出负号后里面各项负号都改变，这里我们提取的系数为-2，对于字母，这三项均有a，且最低次数为1，所以公因式为-2a，提出-2a后，另一个因式3a2+5a+1就不再有公因式了，注意这里的+1不要丢掉.解：练习：分析：(1)中相同字母为a，相同字母的最小指数为2，所以公因式为a2，提取公因式即用原式除以公因式，得到剩余因式为a-b，故分解结果为a2(a-b)；(2)中首项系数为负，可以先提取一个负号，再提取括号内的公因式为6b，得到分解因式的结果为，当然也可以直接提取公因式；(3)中有三项，其中数字最大公因数为5，相同字母为x，y且最低次数均为1，所以公因式为5xy，提出公因式后得；(4)中公因式为ab，提出公因式后得，提取公因式后，最后一项+1不要忘记写.解：例2:把下列各式分解因式分析：（1）中我们先来观察数字系数和字母，显然这里没有公因式。然而我们发现这两项中均有(b+c)，那么(b+c)可以看成一个整体，即为两项中的公因式，可以直接提出.同样，（2）中有两项，数字和字母都没有公因式，而我们观察到这两项中都含有多项式，其中b-3a和3a-b是互为相反数的关系。这二者有特殊的关系，我们可以将其中一者稍加变形，即可提出公因式。不妨我们可以调整第一项，我们知道若两个数互为相反数，则他们的平方是相等的。所以我们把(b-3a)2替换成(3a-b)2，这样原始就变为(3a-b)2-2(3a-b)，即可提出公因式3a-b，另一个因式为3a-b-2.当然，将第二项变形也可以，可将-2(3a-b)提出一个负号，变为2(b-3a)，这样即可提出公因式b-3a，另一个因式为b-3a+2.解：小结：1.提公因式方法：一找，找公因式，即依次找系数的最大公约数、相同字母及相同字母最小指数；二提，提出公因式，用原式除以公因式得剩余因式，分解后得公因式和剩余因式相乘.2.提公因式需注意：（1）首项系数为负数，要提出“-”号（2）某一项被整体提出后，剩余的项为1（3）各项有互为相反数的多项式，可把原式适当变形后提出公因式练习：下列因式分解正确的是（C）分析：A选项中的公因式为a-b，提出公因式后应剩下m+n，结果应为(a+b)(m+n)，故A错；B选项中的x-y和y-x是互为相反数，可将原式的第二项-n(y-x)提出一个负号，转化成n(x-y)，则原式可提出公因式x-y，结果应为(x-y)(m+n)故B错；C选项中的公因式为mn，提出后结果应为mn(x+y+1)，故C正确；D选项中的公因式为x-y，注意第一项提出x-y后，剩下3(x-y)所以提出后结果应为(x-y)[3(x-y)+2]，化简为(x-y)(3x-3y+2).例3:用简便方法计算分析：利用提取公因式的想法，可提出次数最低的28，后剩余的因式为22-21-20，这项可以算出，从而得到结果.解：练习：分解因式分析：多项式中共有三项，字母次数最低的为an作为公因式，提走an后，第一项剩余1，第二项根据幂的乘方运算，提走an相当于除以an，剩余的是-a2n；第三项根据同底数幂的运算，剩余的是a2，故分解因式为an(1-a2n+a2).解：四．归纳总结1.因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫把这个多项式分解因式.注：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.2.公因式：多项式中各项都有的公共因式，叫做多项式各项的公因式.3.因式分解的方法--提公因式法如果多项式的各项中有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式和另外一个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.五．拓展提升计算：解：六．课后作业1.把下列各式分解因式：2.先分解因式，再求值3.计算知能演练提升一、能力提升1.把多项式-8a2b3c+16a2b2c2-24a3bc3分解因式,应提的公因式是()A.-8a2bc B.2a2b2c3C.-4abc D.24a3b3c32.多项式(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)·(z-x-y)的公因式可以是()A.x+y-z B.x-y+zC.y+z-x D.不存在3.下列因式分解正确的是()A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)·(n+1)B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1)C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2)D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y)4.如图,长为a,宽为b的长方形的周长为16,面积为15,则a2b+ab2的值为()A.100 B.120 C.48 D.1405.若a,b互为相反数,则a(x-2y)-b(2y-x)的值为.

6.若(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=0,则x2+y2=.

7.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b的值是.

8.分解因式:(1)3x2-6xy+x;(2)x(x-y)2-2x2(y-x).9.利用因式分解计算:(1)(-3)201+(-3)200+6×3199;(2)-2122-21222+21232.10.利用因式分解说明3200-4×3199+10×3198能被7整除.11.不解方程组2x+y=3,5x-3y=-2,二、创新应用12.已知(1+a)+a(1+a)=(1+a)2,(1+a)+a(1+a)+a(1+a)2=(1+a)3.分解因式:(1+a)+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3.根据你发现的规律,直接写出多项式(1+a)+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n分解因式的结果(n为正整数).★13.观察下列因式分解的过程:①x2+9x+8=(x2+8x)+(x+8)=x(x+8)+(x+8)=(x+1)(x+8);②x2-3x-4=(x2-4x)+(x-4)=x(x-4)+(x-4)=(x-4)(x+1);③x2-5x+6=x2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3);……根据上述因式分解的方法,尝试将下列各式进行因式分解:(1)x2-2x-3;(2)t2-8t+7.知能演练·提升一、能力提升1.A2.A3.A4.B由题意知,ab=15,2(a+b)=16.∴a+b=8,∴a2b+ab2=ab(a+b)=15×8=120.故选B.5.06.6(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=(x2+y2)2-6(x2+y2)+(x2+y2)-6=(x2+y2)[(x2+y2)-6]+(x2+y2)-6=(x2+y2-6)(x2+y2+1)=0.∵x2+y2+1>0,∴x2+y2-6=0,∴x2+y2=6.7.-31∵(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)=(3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)(x-8),又由题意知,这个多项式可分解因式为(3x+a)(x+b),∴(3x-7)(x-8)=(3x+a)(x+b).∴a=-7,b=-8.∴a+3b=-7+3×(-8)=-7-24=-31.8.解(1)原式=x(3x-6y+1).(2)原式=x(x-y)2+2x2(x-y)=x(x-y)[(x-y)+2x]=x(x-y)(3x-y).9.解(1)(-3)201+(-3)200+6×3199=(-3)199×[(-3)2-3-6]=(-3)199×0=0.(2)-2122-21222+21232=-2122×(1+2122)+21232=-2122×2123+21232=2123×(-2122+2123)=2123.10.分析要说明能被7整除,需将式子分解为含7的倍数的式子.解3200-4×3199+10×3198=3198×(32-4×3+10)=3198×7,故原式能被7整除.11.解因为(2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)=(2x+y)(2x-3y+3x)=(2x+y)(5x-3y),且2x+y=3,5x-3y=-2,所以原式=3×(-2)=-6.二、创新