《再探三角形全等的条件》教案

《再探三角形全等的条件》教案教学目标教学目标：梳理全等三角形判定方法的探究过程，能提出关于“SSA能否成为全等判定方法”的问题，并分类进行证明或证伪.经历提出问题、证明猜想、构造反例的过程，体会数学结论的生成过程，培养学生提出问题、解决问题的能力.教学重点：分类讨论两边一对角（SSA）分别相等的两个三角形是否全等.教学难点：构造反例、归纳结论.教学过程时间教学环节主要师生活动2min引入通过前面的学习，我们一起，经历了一次数学家探索三角形全等条件的过程——首先，由全等三角形的定义可知，满足三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等.但同时满足6个条件，似乎过于苛刻和繁琐.于是提出探究的方向：如果能用较少的条件，就能简洁地判断两个三角形全等，那会是几组条件呢？通过实验，我们得到三组条件就能保证两个三角形全等.那么，从边、角出发，满足三组条件的所有情况，我们是否在之前的学习中都讨论完全了呢？并没有下面，我们就一起再探三角形全等的条件，或许会有新的发现！6min新课提出问题问题1：从边、角出发的三组条件，应该有几种不同的组合？由单一条件构成：SSS或AAA由边、角的复合条件构成：=1\*GB3①两角一边AAS或ASA=2\*GB3②两边一角SAS或SSA理论上，共有6种不同的组合.问题2：其中哪种组合是最容易被同学否定的呢？AAA是最容易被否定的.例如，任作两个等腰直角三角形，满足三组角均相等.形状能被确定，但由于缺少边的条件，大小不定，故不能保证二者全等.这样，剩下的组合中，无论成立与否，我们发现，要想成为全等三角形的判定，都至少要有一组边的条件.和我们已经探究得到的5种判定方法相比，对于任意三角形，有4种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS；对直角三角形，还多了一种特殊的HL.HL表面上只需要斜边、直角边两组条件，但由于多了直角的前提，实则也是3个条件，可以并入“两边一对角分别相等”的情况.提出问题分析到这里，我们会有这样的疑问：SSA能否在非直角三角形判定全等时也成立呢？进行探究要想解决这个问题，按照我们对于几何学习的经验，首先要提出猜想：两组边及一边的对角分别相等的两个三角形全等.下面，我们对这个猜想进行证明或证伪.前面的学习中，我们积累了这样的经验：三角形的全等条件就是确定三角形的形状和大小的条件，根据这一思路，两边一对角分别相等的两个三角形是否全等的问题，可以转化为两边一对角是否能确定三角形的形状和大小的问题.从这个角度出发，可进行讨论如下：我们要先将问题进行数学化地叙述，以便研究.已知：在三角形中，两边为a，b，边a的对角为α我们已经探究过直角三角形的情况，现在，可以从它出发展开研究.当α=90°时先作射线AP、AQ使其夹角为90°（如图1-1）再任作线段a，b（a>b）图1-图1-2图1-1图图1-1图1-3图1-4在射线AP上截取AB=b（如图1-3），以B为圆心，a为半径作弧，交射线AQ于点C，即BC=a（如图1-4），可确定三角形的形状和大小.同学们一定有这样的经验：α作为三角形中最大的角，所对的边，也一定是最长边.所以，我们只需让a边与α角相对即可.下面，我们可以接着从角α出发，分类讨论其为钝角、锐角的情况。同学们可以先试着设计一下作图流程，并尝试自己作图.当α>90°时先构造射线AP、AQ使其夹角为钝角，仍用α表示，同（1），任作线段a，b（a>b）也可唯一确定三角形的形状和大小（如图2-1）；图2图2-1当α<90°时图3-图3-1图3-2沿用上面的作图经验，我们容易得到图3-1，且也是唯一的.到目前为止，我们的猜想“似乎”都是成立的.我们可以将图1-4、2-1、3-1的情况加以综合，发现下面的结论：两边分别相等且两边中大边的对角也分别相等的两个三角形全等（简记为“SSA(1)”）我们已经探究的HL，就属于这种判定SSA(1)的特殊情况.注意，这里是假设a>b的情况。如果a不变，b变长，当a=b时，如图3-2所示，以B为圆心，a为半径作弧，与射线AQ存在两个交点，其中一个交点与点A重合，不能构成三角形，另一个交点为C，得到三角形的形状，也是确定的.当a<b时我们发现，三角形由不能唯一确定（图3-3）到唯一确定（图3-4），最后，由于b变得太大，以B为圆心a为半径作弧时，无法与射线AQ相交，三角形不存在了（图3-5）.图3-3图3-3图3-4图3-5至此，回顾一下，我们的讨论是否完全？我们以“两边一对角”中的“一对角”α作为分类的第一层标准，按照α为钝角、直角和锐角三种情况展开讨论；每一种讨论中，又对“两边一对角”中的“两边”a、b谁为α所对的较长边，展开第二个层次的讨论，故讨论是完全的.我们发现：其实，两边一对角分别相等的两个三角形，在多数情形下是全等的，只有一种情况不能确定三角形的形状，就是图3-3的情况.此时，a<b，但a又不能小太多，否则会继续变化到图3-4、3-5的情况.随着学习的深入，我们会知道，当a<b且a大于点B到AQ的距离，也就是△ABC，AC边上的高时，正好是图3-3的情况.归纳小结下面，我们梳理一下今天的探究的过程，结合图形归纳我们的结论.已知：在三角形中，两边为a，b，边a的对角为αSSA成立的情况：α>90°α=90°当α≥90°时由a，b，α可确定三角形的形状和大小，其中α=90°时，就是我们熟悉的HL.（2）当α＜90°时=1\*GB3①若a>b或a=b，由a，b，α可确定三角形的形状和大小a>ba=b=2\*GB3②若a＜b且a等于点B到AQ的距离时，由a，b，α可确定三角形的形状和大小.SSA不成立的情况：当α＜90°，a＜b且a大于点B到AQ的距离时，从图中我们能直观地看出，长边b的对角一个是钝角，一个是锐角，两个三角形显然是不全等的.同学们在心里，一定为“SSA”鸣不平吧：差一点儿就能升级成世界公认的判定定理了！但因为这一点瑕疵，该结论就不具有普适性了.这也正体现了数学的严谨和科学，不是吗？补充思考三组条件的情况，我们已经进行了较为深入地研究，至此，同学们可能会有这样的想法：如果条件多于三组，应该会更保险些吧？曾经有一位中学的数学教师向数学家赵访熊教授请教：如果一个三角形，有五个元素与另一个三角形的五个元素两两相等，这两个三角形是否全等？同学们，你们认为全等吗？赵教授的答案是：不一定我们来看举出的反例：如图，在△ABC与△DEF中，AC=DE，BC=DF,∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F,两个三角形有5个元素两两相等，但这两个三角形显然不全等.从反例的构造中我们发现，三角形的形状不难任意给出，但要保证还有两条边分别相等，边的长度就要有限制了，至于为什么是8、12、18、27这组数，或者还有哪些符合条件的数可以构成这样的两个三角形，就需要更多的数学知识了.感兴趣的同学，可以查阅相关资料，继续探讨.由此看来，如果三角形的角或边不是对应相等的关系，即使两两相等的元素再多，也不一定有全等关系.小结同学们，今天，我们虽然没有探究出新的方法来判定两个三角形全等，但我们发现两边一对角分别相等的两个三角形，在哪些情形下是可以判定全等的.虽然我们发现的结论不能称为定理，也不能在解题中直接使用，但探究的过程、分类的依据、讨论的完备，都非常有意义.我们可以沿用今天的思路，去发现、验证我们在几何学习中的其他猜想.记住，珍视自己的每一个质疑，它们都承载着人类的智慧哦.作业阅读教材P46-47借助几何画板，或通过尺规作图，试着复盘今天探究的过程吧，把你的发现，整理在作业本上.综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有 ()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于 ()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根据“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根据“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.又OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF(SSS).∴∠BAD=∠CAD.12.5或10三、解答题13.证明∵AD∥BE,∴∠A=∠B.在△ACD和△BEC中,∵AC∴△ACD≌△BEC.14.解∵BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵S△ABC=28,AB=6,BC=8,∴12×6×DE+12×8×∴DE=DF=4.15.证明(1)在△ABD和△ACE中,AB∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,即∠BAN=∠CAM.由(1),得△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.在△ACM和△ABN中,∠∴△ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.16.(1)解2对,分别为△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF.