《完全平方公式(第一课时)》教案

《完全平方公式(第一课时)》教案教学目标教学目标：1、理解完全平方公式，掌握公式的结构特征，了解公式的几何意义，并能熟练运用公式进行简单计算；2、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；3、了解“特殊——一般”的认识规律，体会数形结合、类比、转化的数学思想.教学重点：完全平方公式的理解与运用教学难点：掌握公式的结构特征，正确运用公式进行计算教学过程时间教学环节主要师生活动3min一、复习引入【问题1】回顾以下知识：(1)a2可以表示成什么？(2)多项式与多项式相乘的法则是什么？(3)乘法公式中的平方差公式是什么？【答案】(1)a2=a·a；(2)多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号语言表示为：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.(3)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.符号语言表示为：(a+b)(a−b)=a2−b2.这节课，我们就在研究完平方差公式的基础上，继续学习乘法公式.10min二、新课教学【问题2】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)(p+1)2=_______；

(2)(m+2)2=_______；【分析】(1)(p+1)2可以看成(p+1)(p+1)，应用多项式与多项式相乘的法则，计算得到(p+1)2=p2+2p+1；

(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4；通过运算，我们可以发现这两个式子都具备如下规律：等号左边为两个数的和的平方；等号右边是一个二次三项式，三项分别是两个数的平方和再加上一个式子，而这个式子正好是这两个数乘积的2倍．【答案】(1)(p+1)2=p2+2p+1(2)(m+2)2=m2+4m+4【问题3】通过上面两个具体实例我们发现：两数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.那么，对任意的a、b，上述发现的规律都成立吗？如何证明？【分析】利用多项式与多项式相乘的法则进行计算：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2．所以，(a+b)2=a2+2ab+b2．【归纳新知】于是我们得到了求两个数和的平方的公式，这个公式叫做两数和的完全平方公式.符号语言为：(a+b)2=a2+2ab+b2.你能试着用文字语言将上述公式叙述表达出来吗？文字叙述：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.【问题4】通过上一节课的学习，我们知道可以用图形面积来解释一些代数恒等式．你能用下面图形的面积说明两数和的完全平方公式吗？如图，大正方形面积=(a+b)2四个小四边形面积和=a2+ab+ab+b2则，(a+b)2=a2+2ab+b2【问题5】能类比两数和的完全平方公式的学习过程，表示两数差的完全平方吗？即：(a−b)2=？【推导过程】法一：(a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ab+b2=a2−2ab+b2．法二：(a−b)2=[a+(−b)]2=a2+2a(−b)+(−b)2=a2−2ab+b2．所以，(a−b)2=a2−2ab+b2．【结构特征】(1)左边为两个数差的平方；(2)右边为两个数的平方和再减去这两个数的积的2倍．【几何意义】如图，深粉色正方形面积=(a−b)2深粉色正方形面积还可以表示为：大正方形面积−两个浅粉色长方形面积−小深粉色正方形面积=a2−(a−b)b−(a−b)b−b2则，(a−b)2=a2−2ab+b2．【符号语言】(a−b)2=a2−2ab+b2【文字叙述】两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.【归纳总结】通过上面的学习，我们得到了两个新的公式，一个是两数和的完全平方公式，一个是两数差的完全平方公式，这两个公式我们统称为完全平方公式，符号语言可以统一写成(a±b)2＝a2±2ab＋b2的形式.所以，以后遇到两个相同的多项式相乘的时候，我们可以直接使用完全平方公式进行运算.10min三、例题讲解【例1】运用完全平方公式计算：(1)(x+6)2(2)(4m+n)2(3)y-122【分析】(1)首先，判断是否具备公式的结构特征：——两数和的平方之后，找准哪个数或式子相当于公式中的a和b：最后，运用完全平方公式运算：（2）(4m+n)2(a+b)2aba2+2ab+b2(4m+n)24mn(4m)2+2·(4m)·n+n2注意：4m相当于公式中的a，运用两数和的完全平方公式进行运算时，需要利用积的乘方法则进行(4m)2的运算，其中系数4也需要进行平方运算(3)(y−12)2(a−b)2aba2−2ab+b2(y−12)2y1y2−2·y·12+(12（4）1.5x(a−b)2aba2−2ab+b21.5323注意：遇到系数为小数时要先把小数转化成分数【小结】1、运用完全平方公式的运算步骤：(1)判断：判断是否具备公式的结构特征；(2)对应：找准哪个数或式子相当于公式中的a和b(3)计算：运用完全平方公式运算出结果2、为了更方便的记住完全平方公式的结构和结果，我们可以用这样的口诀来记忆：“首”平方，“尾”平方，“首尾”2倍放中央.3、公式中的a、b可以表示任何的数或式子.【答案】解：(1)(x+6)2=x2+2·x·6+62=x2+12x+36(2)(4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2(3)(y−12)2=y2−2·y·12+(12=y2−y+1(4)1.5=9巩固练习：（1）y（2）1（3）(ab−1)2【答案】（1）y=y（2）1=（3）(ab−1)2=(ab)2−2·(ab)·1+12=a2b2−2ab+1【例2】判断下列运算是否正确，若不正确，给予改正.（1）（2）（3）（4）【分析】（1）×，结果应该是二次三项式，这里是二项式，应改为：（2）√（3）×，的形式为两数差的完全平方公式的形式，运算结果应为这两个数的平方和，减去它们的积的2倍，应改为：（4）×，完全平方公式的运算口诀是“首”平方，“尾”平方，“首尾”2倍放中央，这里没有将“首尾”的积乘以2，应改为：【归纳总结】运用完全平方公式时需要注意一下几点：1、明确原式是两数和的平方运算还是两数差的平方运算，找准对应的a和b；2、完全平方公式的结果为两个数的平方和再加上（或减去）这两个数的积的2倍，不能忘记2倍乘积项．【例3】运用完全平方公式计算：(1)1022(2)992【分析】（1）1022除了直接利用乘方的定义进行运算，1022能否通过完全平方公式进行简便运算？由于102比较接近100，所以102可以写成100+2，从而转化成两个数的和的平方的运算，再用公式：(a+b)2=a2+2ab+b2计算【答案】解：(1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404(2)992=(100−1)2=1002−2×100×1+12=10000−200+1=98011min四、课堂小结完全平方公式符号语言结构特征(a±b)2=a2±2ab+b2．(1)左边为两个数的和（或差）的平方；(2)右边为两个数的平方和再加上（或减去）这两个数的积的2倍．文字叙述几何意义两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.本节课的知识梳理：1min五、课后练习1、下面格式的计算错在哪里？应当怎样改正？（1）；（2）.2、运用完全平方公式计算：（1）；（2）；（3）；（4）1012.知能演练提升一、能力提升1.计算(2a+1)2(2a-1)2的结果是()A.4a2-1 B.4a4-1C.16a4-8a2+1 D.4a4+12.已知(a-2b)2=(a+2b)2+N,则N=()A.4ab B.-4ab C.8ab D.-8ab3.将多项式x2+4加上一个整式,使它成为完全平方式,则下列不满足条件的整式是()A.-4x B.4xC.116x4 D.1164.若ax2+2x+12=2x+122A.2,0 B.4,0 C.2,14 D.4,★5.如图,长方形ABCD的周长是20cm,以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH.若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68cm2,则长方形ABCD的面积是()A.21cm2 B.16cm2 C.24cm2 D.9cm26.计算:(x-2y)2+(x+y)(-x-y)=.

7.计算:(m-n)(m+n)(m2-n2)=.

8.等式(a-b)2+□=(a+b)2中的“□”表示的单项式是.

9.已知a2+b2=5,ab=-2,则(a-b)2的值是.

10.计算:(1)(x+3)2-(x+2)(x-1);(2)(a+b+3)(a-b-3).11.解方程:x+二、创新应用★12.如图,已知直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c.用四个这样的直角三角形拼成一个正方形,但中间却留有一个小正方形.你能利用它们之间的面积关系得到关于a,b,c的等式吗?知能演练·提升一、能力提升1.C(2a+1)2(2a-1)2=[(2a+1)(2a-1)]2=(4a2-1)2=16a4-8a2+1.2.D3.D4.D5.B6.-6xy+3y27.m4-2m2n2+n48.4ab9.9(a-b)2=a2+b2-2ab=5-2×(-2)=9.10.解(1)原式=x2+6x+9-x2-x+2=5x+11