【《数形结合在中学数学教学中的探讨》10000字】

II1绪论1.1研究背景我们都知道中学数学主要分代数与几何两个部分。所谓代数与几何，主要是对数与图形的分析与研究过程，代数与几何不仅具有相对的独立性，而且二者有着紧密的关系。我们经常要面对繁杂的代数这个繁杂的题目，若是直接去算，计算量就很大也不容易算出来，若是将要求解的题目变成直观的图形去看问题就可以十分直观地在图形上寻找到自己的答案。也有我们通常会碰到某些图形之类由于很多因素如不考虑辅助线之类的问题不能得出对应的解答，但如果换个角度，换一种方法如坐标轴之类的工具辅助，常常可以轻而易举地找到答案。这种图形与数学之间互相转化也互相帮助的思想方法，数学中称之为数形结合思想。数形结合思想就是可以很好地将数与形连接起来的一座桥梁，它对我们可以快手快脚、准确无误地解决数学问题起着十分重要的促进作用。数形结合教育思想教学方法在教学中的巨大应用价值和在教学解题中的指导功能已经得到了大多数高校数学学科的教育和研究工作者的普遍认可，对它的数学理论基础研究和教学实践亦逐步变深。但是数形结合思想并不能很好地贯彻到我国学校教育实际教育教学工作当中去，其未能贯彻到实处主要体现为教师在授课过程当中未能明确数形结合思想目标，教学过程中也未能做到合理安排和引导学生一步步理解它的意义及运用，未能由浅入深地进行，存在一个由简到繁的过程。教学课堂上盲目性和随意性比较大，即使有些教师认为单纯的数形结合思想是解决问题的工具，也只存在于教学过程之中。1.2研究意义数形结合思想在中学数学教育当中的有效运用，能够使学生在数学知识理解能力方面有一定的提升，进而为其更好地发展、更深层次的学习中学数学知识创造了有利条件。为了让多种教育思想的教学效果能够更有效地有效地发挥出来，教师应从强化学生数形结合的意识出发，改进学生数学知识的学习思维，和促使学生数形结合的方式对于知识的学习产生积极性的方式去开展教学工作，继而促使学生数学知识有效地发挥出各种与实践相结合的教学效果。1.3研究方法1.3.1文献法该文在阅读了大量有关数形结合的研究文献资料的基础上，分析、总结和了解了有关该选题的概念和研究情况，为全文提供了理论和实证依据，并借鉴当前已有的数形结合思想研究成果，发现上述研究中的不足，寻找本研究新的视角。1.3.2案例分析法从案例分析入手，推进对数学中数与形象融合思想方法的认识。本文选择中学数学教学内容和经典例题进行分析和研究，从问题中发现问题，并结合我国教育体系给出科学可行的建议和举措。2相关理论概述2.1数形结合思想观念《中国大百科·教育卷》将数学思想解读为：由词义来说明思想，即客观存在展现于人们意志之中，经大脑持续处理后所产生的产物[1]。很多学者有不同的认识，因此对“数形结合的思想”定义有不同的解释，正如第一章的背景所描述的那样，本文采用了如下解释：数形结合就是表征方式，解题方法和解题思想[2]。数形结合思想方法，直译过来是指将我们学过的代数与几何相结合的一种思想方法。通过这一方法，我们可以“以数助形”简化复杂问题，直观化抽象问题，同时还能够形成具象的思维。而通过以数辅形"的教学思想方将有助于全面地开发训练学生各种直觉数学思维、形象思维、抽象思维等，能够帮助学生更加深刻的把握应用数学的理论实质，加强总体上的理解，达到把应用数学在理论上的灵活性和数学在规律上的有机性，较好地结合在地结合在一起的一种整体的思维方法[3]。2.2近现代数学中的数形结合自解析几何建立以来，数和形已经没有这么明显的边界。对18世纪以后的数学来说，我们可能只会牵强附会地将“数”理解为代数学，并认为这一学科包含了数论知识、代数方程知识等，都是聚焦数的讨论。而“形”则被理解为几何，认为其包含了图形几何知识、解析几何知识等，主要是研究图形的问题。但是解析解不仅仅是简单的“形”来研究，所以解析几何自产生之日起就不能被认为是一门彻底的几何学[4]。从此，代数和几何近乎密切地关联起来，捆绑式地展开，而数与形更密切地关联到局部有关的领域，“数”的存在能够为数学知识的探讨提供方法思路，以及从什么角度去分析，而“形”则是对这种手段的一种辅助和简化，数与形的结合，不断优化完善，并最终形成一种解决各类数学问题的方式。受近现代数形结合观念的影响，“数”的应用使研究朝着更深入和更抽象的方向迈进，只是在其他方面如代数学内的研究对象离“形”的关系越来越遥远。由于在整个数学领域中数学分支不断增多和综合交叉学科不断崛起，使得现象已很难确切地解释“数”和“形”这两个概念的特定意义，与此同时，数学家们对“结合”和“联系”的重视也不仅仅是“数”和“形”等特定数学对象，他们认为注重不同数学方法和数学思想的相互结合更有意义。由于现代数学工具大多具有“数”与“形”的双重特点，因此“数形结合”已作为一种基本的数学思想，在数学发展过程中得到了充分而彻底的融合。在皮亚杰看来，人从生到成的认知发展并非单纯线性增长积累的过程，它总是与认知结构不断的重构与转换相伴而生。他把个体认知发展划分为4个时期，并认为中学生处在具体运算和形式运算的过渡时期。处在这一阶段的中学生，拥有了一定的思维逻辑基础，但这种逻辑思维必须要靠实物与直观形象来支撑，有了直观支持孩子才会去做逻辑运算、推理，到了这个阶段孩子就不能去做纯符号运算了。而数形结合能够迎合学生这一阶段的发展特征，具象化、直观化的表现能够帮助学生克服一些思维逻辑上的障碍，进一步拓展认知[5]。在布鲁纳看来，学习的本质就是参与学习的人，能够自主地通过学习这一方式和手段，在自己的头脑中心形成自我的认知结构。每一个人的学习实际上是一种连接的过程，将旧的知识与新学习的进行融合，并在头脑中搭建出新的理论框架，主动构建新认知结构。任何认知结构均可通过动作，图像，符号这3种表象表现出来。因此数学的学习也是如此，通过将已有的知识结构和新吸收的进行重新架构，实现新的突破，并将学科间的知识关联起来，也就是由单一知识所构成的概念，定理和法则互相渗透的统一整体知识网络。数形结合可以借助图形和其他表象强化数学知识间的关联，构建完整知识网络以优化学生认知构[6]。纵观数学史，人们会发现数和形分别分离已久，当笛卡尔确立坐标系并创建解析几何时，数和形达到完美融合，华罗庚主张我们应该领略到数学内在的美。而数形结合则把数对形的准确描绘和形对数的直观形象有机地统一在一起，以简明的图形来表达复杂数学问题，显示出数学上的简明之美和统一之美。运用线段图，示意图和实物图解题也都是统一在数形结合的方式中，运用数形结合可以增强学生审美情趣，带领他们感受数学之美，深化数学学习兴趣。3数形结合思想的渗透3.1中学数学教学中数形结合思想的渗透原则3.1.1目标性原则数学思想方法并不是简单的一种思想，对于初中生来说，是比较抽象与复杂的，他们在学习的过程中，往往只能够关注到数学课本上浅层的知识表象，难以挖掘到背后各种知识关联的思想方法，同时数学课程标准也要求在老师需要引导学生去关注和把握每一个知识点背后的思想方法的运用[7]。因此，在中学数学教学中就需要老师进行细致的引导，有目的、有针对性地将对性地将一些知识所体现出来的思想方法传授给学生，并在讲授时有意识地融入一些思想方法的锻炼，让学生能够更好地关注到这些知识，并学会运用。在设计教学时，注重把握学生的三维目标，突出培养学生的核心素养，紧抓教学目标和原则，对中学数学思想和方法进行提炼和优化总结，均匀地分配在每一个教学环节之中，让学生能够持续性、针对性地获取地获取到这些知识，达成教学目标。3.1.2反复渗透原则数学中所用数学方法高度概括，要求教师在授课时精心设计，循序渐进地引导学生理解其中含义[8]。所以老师在进行中学数学教学时，需采取反复渗透这一原则。一是问题的提出作为教师，我们应该深刻地理解并且善于发掘自己课堂教育教学中所蕴含的内涵，理解教学过程中所要求的教学方法，并且能精心设计教学过程与程序，从而为循序渐进地渗透数形融合思想做好铺垫。二是教师应自觉地将所设计的数学方法应用于课堂上，使学生尽可能地积累更多的数学思想方法。要想实现这一要求，教师就必须将数学方法重复地渗透到教学的过程之中。根据相关研究，中学生在学习的过程中，一般都会经历三个阶段，最开始就是单纯的模仿阶段，通过对老师讲解的知识，以及书本呈现出的简单的文字信息进行机械的记忆，达到浅层知识的掌握，然后就是在不断的知识学习和知识架构的建立之后，能够探查到部分知识之间的关联，并对思想方法有了初步认识。最后学生在学习过程中逐渐使用数学思想方法。这个阶段是不能代替和颠倒的，因此要想使学生尽快地步入第三阶段，需要耍老师有目的、有意识地把数学思想方法渗透到课堂教学中去。3.1.3学生参与原则教学过程中学生为学习主体，而教师则为学生提供学习指引者与引导者。中学数学过程不能以老师讲为中心，老师要引导学生参与教学过程，老师要给学生更多一点思考的余地和时间[9]。教师要善于营造良好氛围，让更多学生积极参与教学活动并能自主积极思考。从而培养积极思考、喜欢动手操作的良好习惯。又要重视学生能力发展。同学们在学习过程中要懂得基础知识掌握的牢固是必要的，并以此为基础，使知识得到升华，若学习时不注意，学完后再回来补救只会事倍功半。他们在学习过程中要经过知识的形成过程、探究和得出结论。3.2教学中渗透数形结合思想方法的途径3.2.1概念理论教学中渗透数形结合思想方法数学概念最重要的特征之一是高度抽象性，这一抽象性使数学概念难于理解和记忆。利用数形结合开展概念教学，能够促进学生对于概念的认知与记忆。每个概念都能寻找到与其相对应的模式，由概念相对应的模式入手对概念进行解释能使学生理解概念产生的缘由，继而掌握数学概念。数形结合有助于学生找到数学概念形成的规律，让学生对数学概念有一个实质的认识[10]。数形结合能将概念直观形象图形信息与抽象代数信息融合在一起，对同一概念进行理解。所以在运用数形结合的方法进行概念教学的时候，通过对概念给予图形信息的方式，有助于学生运用图形记忆的方式对数学概念进行理解和记忆。教师在进行数学概念知识教学时，应重视整个知识应用过程。教师要关注数学教学课堂上每个学生的学习情况，让学生形成良好的上课时间学习习惯，并能理解他们所学知识仅仅是如何产生的，又该如何应用于现实问题。学习概念知识是学生习得数学知识最为直接的表现，只有当学生亲身体验和参与了整个学习过程时，他们才能真正领会概念的内涵。运用数学思想和方法系统地开展数学概念化教学能够较好地辅助教学难点的突破，从而让中学生能够顺利正确地理解数学概念。用直观形象的图形向学生引入概念，以帮助他们能更深刻地理解其中的意义，并促使中学生有结构性地形成对某一概念的总体认识。因此，将数形结合思想贯穿于概念理论教学过程之中，正是学生学好数形结合数学思想和方法的大好时机。3.2.2在案例讲解中介绍数形结合思想方法数形结合可以从提高学生图形储备的角度来发展学生形象思维，数形结合可以将直观形象图形与抽象代数相结合来认识数学知识，在学习过程中，既要求识记数学知识中的代数表示也要求记住代数知识中相应的图形表示。所以利用数形结合的方式开展教学可以增加学生对函数等图形的储备，而函数的本质需要通过图形来直观地感受到，所以当我们考虑函数问题时会联想到函数图形，由图形中获得画数这一特征，使数学问题靠图形解决，以图形思维取代代数思维[11]。这种思维过程即为形象思维。所以将数形结合应用到教学中可以增加学生对于形象的储备，训练他们对于图形的直接思维，继而发展形象思维。教师要想讲解好典型教学案例，首先必须注意能特别擅长运用典型教学例子与题对，指导学生独立完成案例解题与教学示范，应特别关注怎样引导他们从这一问题入手进行深入思考以及怎样指导学生进行正确对待。尤其是当我们遇到几何与代数问题时，更应该发散思维，多方面着手，通过数与形之间的互相转化来突破数学问题中的思维定势，在不同层次上思考问题，生成特有的解题方案，达到一题多解的目的。题中见有关代数问题自觉地联想到其图形，若题中遇几何问题就往代数上想。应自觉地思考运用数形结合数学思想方法。这一思维过程既锻炼了的师生逻辑思维，又发展了师生对空间的想象力并启发其创造性意识。3.2.3在习题解决中巩固数形结合思想方法解题能力又是数学能力中的一个方面。同学们都会经历各种各样的考试选拔，解题能力的培养也就变得非常重要。数形结合可以将代数和图形两方面综合在一起思考数学问题，并通过数和形之间的互相转化达到运用代数法求解几何问题和几何法求解代数问题的目的。运用数形结合来解题，不仅能使数学题化繁为简、变难为易，而且能拓宽解题思路、寻求解题途径。教师在解答数学习题时，应重视对解题思路进行数学思想方法分析、加强对解题过程进行数学思想方法引导、倡导解题后进行数学思想方法思考[12]。通过对数形结合思想方法技巧手段与方法在习题求解中的切身体会与应用，让学生加深对数形结合思想方法的理解与认识并能真正学会数形结合思想方法并能独立地解决问题。对同学们能在实践中运用数形结合思想方法有较大帮助。同学们在运用数形结合思想方法来解决和分析现实问题时，还能体会到数形结合思想所带来的方便。它能使学生将复杂抽象的问题转化为解决问题中的简单具体问题，对学生能开阔眼界，打破思考定势有良好作用。4数形结合思想在数学教学中的应用4.1以数化形4.1.1利用代数法解决几何问题例题1：如图1，，则S∆AGC=_________图4.1例题1解析：延长AG，CG分别交AB，BC于点D，E，连接DE，所作图如下图2所示.在Rt∆ABC中，因为∠BAC=90º，AB=3，AC=2，所以因为G是∆ABC的重心，所以AG=2EG，CG=2DG又因为D，E分别是AB，BC的重点，所以DE∥AC，且设S∆DGE=m，则S∆ADG=S∆EGC=2m，S∆AGC=4m，所以S∆ADE=S∆BDE=3m，则S∆ABC=12m因为12m=3，所以，所以S∆AGC=1图4.2例题1解析本例涉及解三角形面积，在解题过程中，要求用两等高三角形面积比值等于两底线段长。尽管题中所给已知条件较少，但从题干中却能找到隐藏在题中的条件——重心的特征，只需把握住这一重要特征便可顺利运用代数方法求解，从而使本来几何问题变得简单。例1若直接解∆AGC中面积较难，且求解步骤较繁琐，此时需运用数形结合思想，试着选择利用代数来求解，从而使书写解题过程得以简化。4.1.2利用面积法解决几何问题例题2：Rt∆ABC中，∠ACB=90º，a，b为两直角边，斜边AB上的高为h，求证：图4.3例题2解析：在Rt∆ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB，所以从而得到ab=AB·h，则a²b²=AB²·h²=(a²+b²)·h²等式的两边同时除以a²+b²，得：面积法有一个显著优势，就是可以将抽象问题具体化，可视化。运用面积法求解数学问题，不仅能培养图形感，而且还能深刻认识各类问题之间的共同之处。另外面积法对培养学生数形结合意识也能起到一定的促进作用。这个例题要证明边长与高之间的数量关系式，单纯地从图形上来判断，很难知道他们之间的关系。用面积法很容易从面积表达式中发现数量关系，使结果得以顺利解决。本例需要证明线段乘积相等，而问题给出的条件较少，所以在解题时必须具有发散性思维。采用面积法证明，仅需两步即可证明，极大地提高了解题效率。运用面积法求解几何问题吗能锻炼数形结合意识，又能丰富数学解题方法。4.2以形解数4.2.1利用图形解决不等式问题例题5：解不等式组并写出它的所有负整数解解析：解不等式，得；解不等式，得所以原不等式组的解集是，图4.4不等式组解集上面这道例题既要求解不等式组，又要写全部负整数解。若没有用数轴来解题，则易漏掉负整数，导致解题结果的残缺。此时运用数形结合思想并借助于数轴进行求解，用数轴表达不等式组解集将变得简单明了，能明显而直接地看到负整数解的全部，既能提高解题速度又能提高正确率。不等式组解集可通过口诀辅助记忆，但口诀中“大”,“小”出现频率高，同学们记忆时易产生偏差，而仅仅是简单地背口诀并不能真正体会其中的含义。数轴以实数为基础，以函数间各点逐一对应为纽带，以数与形的交流沟通为纽带，从而使这一抽象的数量关系获得直观、形象的几何意义。将数形结合的思想运用于不等式组问题的解答中，既能深化不等式解集的概念，又能直观看到解集的全貌。4.2.2利用图形解决函数类问题例题6：已知一次函数(k为常数，k≠0）和（1）求x的取值范围；（2）请结合图像，直接写出k的取值范围.解析：（1）根据题意，得，解的（2）-4≤k≤1且k≠0如图7所示，直线恒过点D（0，2），与直线x=1交于点C（1，k+2）直线经过点A（3，0），B（1，-2）过点D作DF∥AB，则直线DF的函数表达式为所以直线DF交直线x=1于点F（1，3）。由图可知，当点C在线段BF上时，所以-2≤k+2≤3，即-4≤k≤1.又因为k≠0，所以-4≤k≤1且k≠0。图4.5一次函数的图像上面这道题目涉及一次函数，求解函数类题目时，必须先考虑绘制图像并借助于平面直角坐标系绘制函数图形来学习和分析。函数类题目通常综合性较强，常被用作试卷的压轴题而较难，以考查学生的综合解题能力为主。分析求解此题时，应用函数数形结合的思想可建立函数关系式及平面图形之间的对应关系，对分析题所给条件较为有利。题中给出两个一次函数表达式，解题时把这两个函数形象地画在坐标轴上，并借助于图形来学习函数y1和y2之间的尺寸关系。将数形结合思想运用到函数此类问题的学习与解答中，利用所绘制函数图像直观的特点，能迅速将结果解答出来，使学生解题能力得到提升。4.3数形结合将数形结合运用于现实中学数学教学非常具有现实意义，新课标还强调要发展学生数形结合思想。教师作为课堂主导者和学生引导员不仅需要掌握基本的教学技能，需要发掘数学教材所蕴涵的理念与方法，更需要帮助学生对理念与方法进行提炼，把握，并引导他们将理念与方法进行内化。如在一次函数，反比例函数，二次函数等的教学中借助图像以形解数把形象与抽象有机地结合起来，指导学生亲手绘制函数图象，观察图像特点，归纳和认识函数图象及函数图象的性质，切实提高教学效率。数形结合在解题中主要是运用到解题中去，解题教学的过程中，要充分地给学生考虑的时间，指导他们主动地去探究数形结合在哪些情景下适合解题以及怎样运用，另外面对一些复杂的题目，教学上通过数形结合将抽象的复杂变为简单的直观，教学上呈现给学生一个清晰，条理分明的解题思路，层层递进，灵活化地进行解题教学。现以初中数学为例，将数形结合思想运用于初中数学教学的几个基本函数列举如下。以若干表格罗列，更利于直观地判断、观察图像、函数之间的联系。4.3.1数形结合方法在一次函数中的应用表4-1一次函数(k≠0)“数”“形”kb数值的变化趋势函数的图像经过的象限图形的变化趋势k>0b>0y随x的增大而增大一、二、三从左往右呈上升趋势b<0一、三、四k<0b>0y随x的增大而减小一、二、四从左往右呈下降趋势b<0二、三、四4.3.2数形结合方法在反比例函数中的应用表4-2反比例函数(k≠0)“数”“形”k数值的变化趋势（在每一象限内）函数的图像经过的象限图形的变化趋势k>0y随x的增大而减小一、三从左往右呈上升趋势k<0y随x的增大而增大二、四从左往右呈下降趋势5总结与反思5.1总结将数形结合思想有效地应用到中学数学教育中，会让学生对数学知识的理解能力得到一定程度上的提高，从而为他们更好地、更深一步地学习中学数学知识营造良好的条件。为使各种教育思想教学效果得到更加有效地发挥，教师从增强学生数形结合意识入手来完善学生数学知识学习的思维方式，以及促进学生数形结合方法对知识学习热情的方法来进行教学工作，进而促进学生数学知识切实起到多种结合实际教学效果。人们常说：给学生一杯水，教师就应该拥有一桶。教师作为引导者要想更好地发挥数形结合思想在中学教学中的运用作用，首先最重要的就是教师首先要强化对数形结合思想理念以及思想理念的充分了解，并且能了解到学生学习数与形结合的思想，接受和掌握应用这个渐进过程，只有这样才能在课堂教学中有的放矢地帮助与指导学生积极探究数与形之间练联系。另外，还提出了如下四点建议：5.1.1概念教学，渗透数形结合数学概念可以说是数学的逻辑起点和学生认知学习中的一个重要基础。中学数学教材所给概念都是浓缩的，在进行概念教学时借助于图形直观形象的特点，诱导学生从感性认识向理性认识转变，能较好地帮助他们对以前觉得抽象的概念有一个完整而又系统的认识[13]。在进行概念教学时，切忌强记课本概念文本，而要借助画图和生活实例举例来表达概念数形特征如“数轴”、在讲授“函数”这样一个概念时，可合理地利用信息技术，演示一些与生活联系比较紧密的具体例子，用画图的方式来表现函数的定义域和单调性、值域这样一个基本属性，指导学生去观察，去分析，去归纳，从而激发他们的学习兴趣，继而有助于他们对概念的理解，增强他们对新知的接受程度。5.1.2解题教学，激活数形结合“授人以鱼，不如授人以渔”、解题教学是学生在学习过程中最重要的过程之一，该环节的主要目的就是教给学生解题的方法，更重要的是要健全学生思维和认知结构，增强运用数形结合来解决各种问题。为此，教师需恰当地选择具有典型性且高质量的练习题来控制题目的难度，充实题目的脉络，并在解剖题目的过程中注意引导学生把注意力集中于数形结合运用的场景，条件上、题目信息等等，然后总结解题过程中的想法，知道想面对题目，应该用什么样的想法，思路来解决问题，训练初中生以形助数、以殊死形、数形结合[14]。5.1.3练习教学，应用数形结合练习做题作为中学数学的一个重要学习途径，也应该能运用，同学们只有接受适量、适度的练习训练后，才能积极主动地探究数和形的关系，能够在课堂上运用数与形象结合的思想去学习，并进行多次实践，才能理解并掌握所学习的内容，熟练运用数与形的结合技巧，进而发展和促进思维能力的发展，使数与形象结合思想内化为个体思维的结果。练习题不可能完成，所以要求老师在授课过程中要研学总结中考数形结合思想能达到事半功倍效果的有关考查内容，类型及趋势，做到因材施教，根据学生个体的能力及思维认知水平有选择、有目的地选择练习题，使学生认知结构逐渐优化、发展，思维能力得到训练和提高[15]。5.1.4复习教学，巩固数形结合温故而知新是复习教学中必不可少的一个教学环节，复习教学对于帮助学生系统地掌握知识，培养学生的思维能力具有积极的意义，也有利于弥补教学过程中存在的不足。复习教学时，老师需帮助学生将知识系统、完整地归纳整理出来，但是更应注重指导学生反思总结，从深层次上理解把握数形结合思想，继而夯实数形结合的应用意识并内化数学方法与思想，最后进一步提升独立思考问题解决的能力与思维认知