上海市2024-2025学年高三下学期四区统考数学调研试卷+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页上海市2024-2025学年高三下学期四区统考数学调研试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合A={x∣2．函数y=2sin3．(1−ax)6的二项展开式中4．已知幂函数y=fx的图像过点35．如下是一个2×2列联表，则sy1y2总计x1a3545x27bn总计m73s6．已知cosθ=−357．已知ΔABC，“A、B、C成等差数列且sinA、sinB、sin8．抛物线x2=4y的准线与圆9．通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示:价格（百元）xxxxxxxxxx444.655.25.666.6710需求量（千克）yyyyyyyyyy3.532.72.42.521.51.21.21那么线性相关系数r=．（精确到0.001）线性相关系数公式10．已知某次数学的测试成绩X服从μ=75、σ211．某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足23≤l12．在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点P1，第二次从点P1移动到点P2，…，第k次从点Pk−1（规定P0=O）移动到点Pk.记向量vk=Pk−1Pk，其模长为二、单选题13．“函数y=sin(x＋φ)为偶函数”是“φ＝”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．在研究线性回归模型时，若样本数据(xi,yi)(i=A．−1 B．1 C．−115．函数y=fx的导函数为y=gx，若存在实数x0，使得gx0f−A．y=e−x B．y=sin16．设数列an满足an=sinnπ3+−1nA．数列Sn和数列TB．数列Sn是周期数列，数列TC．数列Sn不是周期数列，数列TD．数列Sn和数列T三、解答题17．如图，已知四棱锥S−AB(1)求证：AC⊥平面(2)若AB=218．已知函数y=f((1)解关于x的不等式f((2)若存在唯一的实数x0，使得f(x19．为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：数学成绩总评优秀人数数学成绩总评非优秀人数合计每天都整理数学错题人数14不是每天都整理数学错题人数1520合计40(1)完成上述样本数据的2×(2)是否有99%附：χ2α0.100.010.001P2.7066.63510.828(3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望.20．如图1，曲线Γ是x24+(1)x24+y2(2)b=2，设T0,t，t∈−(3)若b=1，如图2，存在过点P(0,1)的两条直线l1，l2与曲线Γ的交点分别是点A、点M、点B、点N21．已知函数y=fx，其中fx=x2+ax+b,(1)当a=b=(2)当a=0时，求实数b的取值范围，使得点(3)求所有实数a和b，使得点P0答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《上海市2024-2025学年高三下学期四区统考数学调研试卷》参考答案题号13141516答案BACB1．{【分析】解不等式求出集合A，即可求集合的交集.【详解】解集合A中的不等式2x≤1A∩B就是求既属于A又属于B的元素，所以故答案为：{2．−【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数求值域即可.【详解】y=其中tanφ则其值域为−故答案为：−133．−【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求解即可.【详解】根据二项式展开式的通项公式T则(1−ax又C63=已知x3项的系数是20，则20×(解得a=故答案为：−4．0【分析】根据幂函数定义代入点可得fx【详解】设幂函数fx代入点3,33可得3可得fx因为x>0，可得fx故答案为：0,5．90【分析】完善列联表即可求解.【详解】由表格有a=故答案为：90.6．7【分析】先根据同角三角函数关系得出tanθ【详解】cosθ所以sinθ则tan(故答案为：7.7．充要【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】在ΔABC中，由A、B、C成等差数列，得2B=由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin由余弦定理得b2=a2+c2若ΔABC是正三角形，则A因此A、B、C成等差数列且sinA、sinB、所以“A、B、C成等差数列且sinA、sinB、sinC故答案为：充要.8．4【分析】利用抛物线的性质求准线，利用相切求半径，即可用球的表面积求解.【详解】因为抛物线方程为x2=4又由圆x2+y将圆绕直径旋转一周所成的球的表面积为：S=故答案为：49．−【分析】利用相关系数公式计算即可.【详解】由题意可得x=y=所以ii=110i=所以r=故答案为：−0.86310．97.7【分析】根据正态分布的2σ【详解】因为μ=所以PX故答案为：97.711．4.90【分析】由题设可得球的半径为r=3，结合正四棱锥的结构特征及其外接球半径与棱长、底面边长的关系得6h【详解】若球的半径为r，则43πr3=对于正四棱锥，设底面边长为a，高为h，则h2=l2−又(h−r)2+a纪念碑体积V=13对于y=t2−t当12≤t<24时y′当24<t≤27时y′所以ymax=242−故答案为：4.9012．13【分析】根据题意，求出向量vk的坐标，再求出向量Sn的坐标，根据模长求解【详解】根据题意可知vk=Pk−1Pk的模长为∴Sn∴S4=OS8=OS12=OS13=O故n=故答案为：13.13．B【详解】试题分析：φ=π2时，y=sin(考点：1三角函数的性质；2充分必要条件．14．A【分析】根据回归模型性质判断即可.【详解】若样本数据(xi,则两组数据xi和yi 故选：A.15．C【分析】先求出函数的导函数，然后逐个选项验证gx0f−x0=【详解】对于选项A：因为函数fx=e−x对于选项B：因为函数fx=sin所以gx而sin2所以gx0f对于选项C：因为函数fx=e所以gx令e2x0−1即存在实数x0=1所以函数y=fx对于选项D：因为函数fx=1所以gx令x02x02下面证明方程ln(当x<0时lnx当x>0时，2x令hx=ln则h'x=又因为h(0)=0，所以h综上，方程(*)无解.所以不存在实数x0，使得g故选：C.16．B【分析】令bn=sinnπ3，可得数列bn的周期为6，令cn=−1ncosnπ【详解】令bn=sin又b1则b1令cn=−又c1则c1所以数列an的一个周期为24，且S24=0，所以又a1=b所以T1=32−故选：B.17．(1)证明见解析(2)1【分析】（1）由菱形与等腰三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直判定，可得答案；（2）由菱形的性质与勾股定理，根据（1）可分割三棱锥的底与高，结合体积公式，可得答案.【详解】（1）设AC与BD相交于点O，因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且又因为AS=CS，所以所以AC⊥平面（2）因为底面ABCD是菱形，∠BAD=π在△BDS中，B根据勾股定理逆定理可知∠BSD由（1）知AC⊥平面BDS，所以S△则VS18．(1)x(2)a【分析】（1）由fx=log2x（2）原问题等价于关于x的方程log2x+1=2log2(x−【详解】（1）由函数fx=log所以0<3（2）原问题等价于关于x的方程log2x+即12log2等价于2x=x⇔a=x令2x=t(t画出关于t的二次函数在t∈(0∴a19．(1)列联表见解析，0.35；(2)有；(3)分布列见解析，期望为34【分析】（1）完善列联表，求出经验概率.（2）求出χ2（3）求出X的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望.【详解】（1）完善2×数学成绩总评优秀人数数学成绩总评非优秀人数合计每天都整理数学错题人数14620不是每天都整理数学错题人数51520合计192140每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为1440（2）由（1）得χ2所以有99%（3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，X的所有可能值为0，1，2，3，P(P(所以X的分布列为：X0123P913551期望E(20．(1)y(2)Q(3)答案见解析，理由见解析【分析】（1）将点−1,32代入x（2）分t∈−22，（3）设直线l1和直线l2的方程，联立方程组求四个点的坐标，再化简【详解】（1）将点−1,32代入x24所以y23−（2）因b=2，则x2①当t∈−22，2时，设点Qx,y则TQ当t=−22时，则y=0或2时，QT当−22<t≤2时，当y=②当t∈2，32时，Q设点Qx,y则TQ因2<t≤故当y=2时，QT取最小值t综上可知，曲线Γ上存在点Q0,2（3）设l1:y设A由y=k1x+由y=k2x+由y=k1x+由y=k2x+则k=k同理可得，kM若存在非零实数λ使得MN=λAB即k1k2k1若k1k2=0，则k1=0或k故当k1+k2=0且k121．(1)是，理由见解析；(2)b∈(3)答