高一数学（人教A版）教案 必修一 第三章 函数的概念与性质

函数的概念与性质3．1.1函数的概念第1课时函数的概念——(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)[课时目标]1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．2．了解构成函数的要素，能够正确使用“区间”的符号来表示某些集合．逐点清(一)函数的概念[多维理解]函数的定义及相关概念前提条件给定两个集合A，B为非空数集对应关系如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应结论称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围A值域函数值的集合{f(x)|x∈A}|微|点|助|解|对函数概念的理解(1)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集；(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应；(3)从对应的角度看，函数只有两种：一对一，多对一．一对多不是函数；(4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系；(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数．[微点练明]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了．()(2)函数的定义域是无限集，则值域也是无限集．()(3)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素．()(4)对于f(x)＝5，x∈R，f(x)不随着x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值解析：选AD按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．3．(多选)如图不能作为函数y＝f(x)的图象的是()解析：选ABC观察图象可知，A、B、C中任取一个x的值，y有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象．D中图象是函数图象．4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是()xx<22≤x≤3x>3y－101A．{y|－1≤y≤1} B．RC．{y|2≤y≤3} D．{－1,0,1}解析：选D函数值只有－1,0,1，故值域为{－1,0,1}．5．(多选)下列函数的定义域是R的是()A．y＝x＋1 B．y＝x2C．y＝eq\f(1,x) D．y＝2x解析：选ABDA中为一次函数，B中为二次函数，D中为正比例函数，定义域都为R；C中为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是R.逐点清(二)同一个函数[多维理解]同一个函数的概念前提条件(1)定义域相同；(2)对应关系完全一致结论这两个函数是同一个函数|微|点|助|解|判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都分别对应相同，也不一定是同一函数．(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．[微点练明]1．(多选)下列各组函数是同一个函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝x，g(x)＝eq\r(3,x3)C．f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)D．f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1解析：选BD对于A，定义域不同；对于C，定义域、对应关系都不同；对于B、D，定义域与对应关系都相同．2．判断下列各组中的两个函数是否为同一个函数：(1)f(x)＝eq\f(x＋3x－5,x＋3)，g(x)＝x－5；(2)y＝eq\r(1＋x)·eq\r(1－x)，y＝eq\r(1－x2).解：(1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数．(2)y＝eq\r(1＋x)·eq\r(1－x)的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝eq\r(1－x2)的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又因为y＝eq\r(1＋x)·eq\r(1－x)＝eq\r(1－x2)，所以两函数的对应关系也相同．故y＝eq\r(1＋x)·eq\r(1－x)与y＝eq\r(1－x2)是同一个函数．逐点清(三)区间的概念[多维理解]1．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.特殊区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)|微|点|助|解|对区间概念的理解(1)区间的左端点必小于右端点；(2)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；(3)用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示；(4)无穷大(∞)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则；(5)包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“＋∞”或“－∞”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号．[微点练明]1．集合{x|x＜0或x≥1}用区间表示为()A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪[1，＋∞)C．(－∞，0)∩[1，＋∞) D．(0,1]答案：B2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为()①A＝{0,1,5,10}；②{x|2<x<10，x∈N}；③∅；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x>1，x∈Q}．A．2 B．3C．4 D．5解析：选D区间形式可以表示连续数集，是无限集．①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示；④是等边三角形组成的集合，是图形的集合，不是数集；⑥Q是有理数集，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为(－∞，0]∪[3，＋∞)．故选D.3．已知[a,2－a2]为一确定区间，则实数a的取值范围是()A．(－2,1) B．(－1,2)C．[－2,1] D．[－1,2]解析：选A因为[a,2－a2]为一确定区间，所以a<2－a2⇒a2＋a－2<0⇒－2<a<1.4．已知函数f(x)与函数g(x)＝eq\f(2,1－\r(1－x))是同一个函数，则函数f(x)的定义域用区间表示为__________．解析：因为f(x)与g(x)为同一个函数，则f(x)与g(x)的定义域相同，所以f(x)的定义域需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(1－x)≠0，,1－x≥0，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠0，,x≤1，))即x≤1且x≠0.答案：(－∞，0)∪(0,1]逐点清(四)构建函数模型[典例]已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系．(1)f(x)＝eq\f(10,x)；(2)f(x)＝2x＋eq\f(20,x)；(3)f(x)＝eq\f(\r(x4＋100),x).解：(1)设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)＝eq\f(10,x).其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽eq\f(10,x).(2)设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋eq\f(20,x).其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥4eq\r(10)}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋eq\f(20,x).(3)设矩形的长为x，对角线长为f(x)，那么f(x)＝eq\f(\r(x4＋100),x).其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥2eq\r(5)}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长eq\f(\r(x4＋100),x).|思|维|建|模|构建问题情境的步骤(1)综合考虑构建具体的实际问题．(2)赋予每个变量具体的实际意义．(3)根据变量关系，设计出所求的实际问题．[针对训练]构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝2eq\r(x)来描述．解：某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的2倍．设投资额为x，利润为y，那么y＝2eq\r(x).其中x的取值范围A＝{x|x≥0}，y的取值范围B＝{y|y≥0}，对应关系f把每一笔投资额x对应到唯一确定的利润2eq\r(x).[课时跟踪检测](满分80分，选填小题每题5分)1．下列说法正确的是()A．函数的定义域可以是空集B．函数的定义域和值域确定后，对应关系也就确定了C．函数的定义域、值域都是非空的数集D．函数值域中的每一个值在定义域中都有唯一确定的数与之对应解析：选C由函数定义知，定义域和值域都是非空的数集，故A错误，C正确；函数的定义域和值域确定后，可以有不同的对应关系，如y＝|x|，y＝x2，故B错误；函数值域中的每一个值在定义域中有一个或多个确定的数与之对应，故D错误．2．(多选)下列图形是函数图象的是()解析：选BCDA中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B、C、D均符合函数定义．3．区间(－3,2]用集合可表示为()A．{－2，－1,0,1,2} B．{x|－3<x<2}C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2}答案：C4．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是()解析：选BA中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C、D中值域为{1,2}，故错误，故选B.5．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2023的交点()A．至少有1个 B．至多有1个C．仅有1个 D．可能有无数多个解析：选B当x在定义域内时，因为在定义域内任意取一个值，都有唯一的一个函数值f(x)与之对应，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝2023有唯一交点；当x不在定义域内时，函数值f(x)不存在，函数y＝f(x)的图象与直线x＝2023没有交点．故函数y＝f(x)的图象与直线x＝2023至多有一个交点．6．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是()A．f：x→y＝eq\f(1,8)x B．f：x→y＝eq\f(1,4)xC．f：x→y＝eq\f(1,2)x D．f：x→y＝x解析：选ABC根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确．7．已知集合U＝R，集合A＝{x|eq\r(x＋3)>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁UB)等于()A．R B．(1,2]C．(1,2) D．[2，＋∞)解析：选C解不等式eq\r(x＋3)>2，得x>1，即A＝(1，＋∞)，y＝x2＋2≥2，即B＝[2，＋∞)，于是得∁UB＝(－∞，2)．所以A∩(∁UB)＝(1,2)．8．下列各组函数是同一个函数的是()A．y＝x＋1与y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2解析：选B对于A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一函数；对于B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一函数；对于C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一函数；对于D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数．9．已知集合A＝{1,2，k}，B＝{4,7,10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y＝3x＋1，则k的值为()A．5 B．4C．3 D．2解析：选C根据对应关系为y＝3x＋1，知3×1＋1＝4,3×2＋1＝7，可得3×k＋1＝10.所以k＝3.10．(多选)记无理数π＝3.1415926…小数点后第a位上的数字是b，则b是a的函数，记作b＝f(a)，定义域为A，值域为B，则下列说法正确的是()A．值域B是定义域A的子集B．函数图象f(a)是一群孤立的点C．f(6)＝2D．a也是b的函数，记作a＝f(b)解析：选BC对于A，根据题意可知定义域为A＝{a∈N*|a≥1}，B＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，因为0∈B,0∉A，所以值域B不是定义域A的子集，所以A错误．对于B、C，由题意可知数位a对应的数字依次为1,4,1,5,9,2,6，…，函数图象f(a)是一群孤立的点，f(6)＝2，所以B、C正确．对于D，因为b＝1时，a＝1和3，不符合函数的定义，所以D错误．11．已知集合A＝{x|5－x≥0}，集合B＝{x||x|－3≠0}，用区间表示集合A∩B＝__________.解析：∵A＝{x|5－x≥0}，∴A＝{x|x≤5}．∵B＝{x||x|－3≠0}，∴B＝{x|x≠±3}．∴A∩B＝{x|x<－3或－3<x<3或3<x≤5}，即A∩B＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．答案：(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]12．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围为________．解析：由区间的定义知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1<a＋1，,a＋3<4a))⇒1<a<2.答案：(1,2)13．试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数，其函数可以为________．解析：函数y＝x2与y＝(x＋1)2的定义域和值域都相同．答案：y＝(x＋1)2(答案不唯一)14．(17分)已知A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，以A为定义域，以B为值域可以建立多少个不同的函数．解：∵A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，且集合A为定义域，集合B为值域，∴根据函数的定义可得集合B中的4或5在集合A中就一定有两个元素与之对应．若4在集合A中有两个元素与之对应，那就会有{1,2}，{2,3}，{1,3}这三种情况．同理，若5在集合A中有两个元素与之对应，也就会有{1,2}，{2,3}，{1,3}这三种情况．∴函数可以建立的个数为3＋3＝6.15．(18分)对于三角形，你可能想到哪些量？如果一个三角形的周长不变，那么它的内切圆半径与面积之间是不是函数关系？如果是函数关系，请写出函数关系式．你还能举出其他的函数例子吗？解：能想到三角形的边长和三个角的度数．内切圆半径与面积之间是函数关系，设三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，三角形面积为S，则S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r.设三角形周长为l，则l＝a＋b＋c，故S＝eq\f(1,2)lr.另外对于一个三角形，若它的面积为定值，则该三角形内切圆半径与三角形周长之间为反比例关系，关系式如下：l＝eq\f(2S,r)或r＝eq\f(2S,l).第2课时函数概念的应用——(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)[课时目标]进一步了解函数的概念，能求简单函数的值及定义域；能求一些简单的抽象函数值及定义域．题型(一)求函数的值[例1]已知f(x)＝eq\f(1,1＋x)(x≠－1)，g(x)＝x2＋2.(1)求f(2)和g(2)；(2)求g(f(2))，f(g(x))；(3)若eq\f(1,fgx)＝4，求x.解：(1)f(2)＝eq\f(1,1＋2)＝eq\f(1,3)，g(2)＝22＋2＝6.(2)g(f(2))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋2＝eq\f(19,9)，f(g(x))＝eq\f(1,1＋gx)＝eq\f(1,1＋x2＋2)＝eq\f(1,x2＋3).(3)eq\f(1,fgx)＝x2＋3＝4，即x2＝1，解得x＝±1.|思|维|建|模|求函数值的方法先要确定出函数的对应关系f的具体含义；然后将变量取值代入解析式计算，对于f(g(x))型函数的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f(g(x))与g(f(x))的区别．[针对训练]1．已知函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，则f(2)＝________；当a≠－1时，f(a＋1)＝________.解析：由题意，得f(2)＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).当a≠－1时，a＋1≠0，所以f(a＋1)＝a＋1＋eq\f(1,a＋1).答案：eq\f(5,2)a＋1＋eq\f(1,a＋1)2．已知f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1)，求：(1)f(0)及feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))的值；(2)f(1－x)及f(f(x))．解：(1)因为f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1)，所以f(0)＝eq\f(1－0,1＋0)＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1－\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,2).(2)因为f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1)，又1－x≠－1，故可得x≠2，所以f(1－x)＝eq\f(1－1－x,1＋1－x)＝eq\f(x,2－x)(x≠2)，f(f(x))＝eq\f(1－\f(1－x,1＋x),1＋\f(1－x,1＋x))＝x(x≠－1)．题型(二)已知解析式求函数的定义域[例2]函数y＝eq\f(\r(3x－x2),2x2－3x－2)的定义域为()A．(－∞，3] B．[0,3]C．(0,2)∪(2,3) D．[0,2)∪(2,3]解析：选D由题设可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－x2≥0，,2x2－3x－2≠0，))解得0≤x≤3，且x≠－eq\f(1,2)，x≠2，故x∈[0,2)∪(2,3]．[例3]函数f(x)＝eq\r(x＋1)－eq\f(1,x)的定义域是________．解析：由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x≠0，))解得x≥－1且x≠0.故x∈[－1,0)∪(0，＋∞)．答案：[－1,0)∪(0，＋∞)|思|维|建|模|已知解析式求函数的定义域的步骤[针对训练]3．求下列函数的定义域：(1)y＝3－eq\f(1,2)x；(2)y＝eq\f(x＋10,\r(x＋2))；(3)y＝eq\f(\r(5－x),|x|－3)；(4)y＝eq\f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4)).解：(1)函数y＝3－eq\f(1,2)x的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，所以函数y＝eq\f(x＋10,\r(x＋2))的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，所以函数y＝eq\f(\r(5－x),|x|－3)的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．(4)要使函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,－x2－3x＋4>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x＋4x－1<0，))解得－1≤x<1.所以函数y＝eq\f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4))的定义域为{x|－1≤x<1}．题型(三)抽象函数的定义域[例4]已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,3]，则f(2x＋1)的定义域为________．解析：令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1.所以f(2x＋1)的定义域为[－1,1]．答案：[－1,1][例5]若函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2,4]，则y＝f(x)的定义域是________．解析：由题意知，－2≤x≤4.所以－5≤3x＋1≤13.所以y＝f(x)的定义域是[－5,13]．答案：[－5,13]|思|维|建|模|抽象函数的定义域的类型及解题策略(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域．(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域．[针对训练]4．若函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数g(x)＝eq\f(f3x,x－1)的定义域是()A．[0,1) B．(0,1)C．[0,1] D．[0,1)∪(1,9]解析：选A因为函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤3x≤3，,x≠1，))解得0≤x<1.所以函数g(x)＝eq\f(f3x,x－1)的定义域是[0,1)．5．已知f(x2－1)的定义域为[1,3]，则f(2x－1)的定义域为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))解析：选B由f(x2－1)的定义域为[1,3]，得x∈[1,3]．所以x2∈[1,9]，即x2－1∈[0,8]．所以f(x)的定义域为[0,8]．令2x－1∈[0,8]，得2x∈[1,9]，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2))).所以f(2x－1)的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2))).[课时跟踪检测](满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)A级——达标评价1．已知函数f(x)＝eq\f(3,x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A．eq\f(1,a) B．eq\f(3,a)C．a D．3a解析：选Dfeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\f(3,\f(1,a))＝3a.故选D.2．设函数f(x)＝ax3＋bx＋1，f(1)＝1，则f(－1)＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：选C因为f(1)＝a＋b＋1＝1，所以a＋b＝0.所以f(－1)＝－(a＋b)＋1＝1.3．已知函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}解析：选A由题意，知当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，所以函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．4．(多选)下列函数中，定义域为{x|x>1}的是()A．y＝eq\f(\r(2x－2),x－1) B．y＝eq\r(x－1)C．y＝eq\r(x－1)＋(3x－3)0 D．y＝(2x－2)0解析：选ACA选项，依题可知x－1≠0，且2x－2≥0，所以x>1，故A正确；B选项，依题可知x－1≥0，所以x≥1，故B错误；C选项，依题可知x－1≥0，且3x－3≠0，所以x>1，故C正确；D选项，依题可知2x－2≠0，所以x≠1，故D错误．5．函数f(x)＝eq\f(\r(1－3x),x)的定义域为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,3))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,3))))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,3)且x≠0))))解析：选D要使f(x)有意义，只需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3x≥0，,x≠0，))即x≤eq\f(1,3)且x≠0.6．已知函数y＝f(x)的定义域为[－8,1]，则函数g(x)＝eq\f(f2x＋1,x＋2)的定义域是()A．(－∞，－2)∪(－2,3]B．[－8，－2)∪(－2,1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，－2))D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，－2))∪(－2,0]解析：选D因为函数y＝f(x)的定义域为[－8,1]，对于函数g(x)＝eq\f(f2x＋1,x＋2)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－8≤2x＋1≤1，,x＋2≠0，))解得－eq\f(9,2)≤x<－2或－2<x≤0.所以函数g(x)的定义域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，－2))∪(－2,0]．7．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(1)＝________.解析：因为f(x)＝x2＋|x－2|，所以f(1)＝12＋|1－2|＝2.答案：28．函数y＝eq\r(ax2＋ax＋1)的定义域为R，则a的取值范围为________．解析：当a＝0时，1≥0恒成立，所以a＝0符合题意；当a≠0时，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－4a≤0))⇒0<a≤4.综上，a的取值范围为[0,4]．答案：[0,4]9．(8分)求下列函数的定义域：(1)f(x)＝(x＋2)0＋eq\r(1－x)；(2)g(x)＝eq\f(\r(x),x－3).解：(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－2.所以函数f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2,1]．(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3≠0，,x≥0，))解得x≥0且x≠3.所以函数g(x)的定义域是[0,3)∪(3，＋∞)．10．(10分)已知函数f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(3)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))有什么关系吗？证明你的发现；(3)求f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋f(2024)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))的值．解：(1)由f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)＝1－eq\f(1,x2＋1)，得f(2)＝1－eq\f(1,22＋1)＝eq\f(4,5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1－eq\f(1,\f(1,4)＋1)＝eq\f(1,5)，f(3)＝1－eq\f(1,32＋1)＝eq\f(9,10)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1－eq\f(1,\f(1,9)＋1)＝eq\f(1,10).(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝1.证明如下：f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(\f(1,x2),1＋\f(1,x2))＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(1,x2＋1)＝1.(3)由(2)知f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝1，∴f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1，f(4)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1，…，f(2024)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))＝1.∴f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋f(2024)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))＝2023.B级——重点培优11．函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)的值域是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：选C∵f(x)＝eq\f(x＋1－2,x＋1)＝1－eq\f(2,x＋1)，又x＋1≠0，即eq\f(2,x＋1)≠0，∴f(x)≠1.12．已知函数f(2x－1)的定义域为(0,1)，则函数f(1－3x)的定义域是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．(－1,1) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))解析：选D因为函数f(2x－1)的定义域为(0,1)，即x∈(0,1)，所以－1<2x－1<1.所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．由－1<1－3x<1，得0<x<eq\f(2,3).所以函数f(1－3x)的定义域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))).故选D.13．已知g(x)＝1－2x，f(g(x))＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.解析：令g(x)＝eq\f(1,2)，即1－2x＝eq\f(1,2)，则x＝eq\f(1,4)，代入f(g(x))＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1－\f(1,16),\f(1,16))＝15.答案：1514．(12分)已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立．(1)求f(0)和f(1)的值；(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值．解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，令x＝y＝1则f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x＝2，y＝3，则f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b，令x＝y＝6，则f(36)＝2f(6)＝2(a＋b)，∴f(36)＝2a＋2b.15．(12分)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：存在．理由如下：f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1的对称轴为x＝1，顶点(1,1)且开口向上．∵m>1，∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1，,fm＝m，))∴eq\f(1,2)m2－m＋eq\f(3,2)＝m，即m2－4m＋3＝0，∴m＝3或m＝1(舍去)，∴存在实数m＝3满足条件．3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法——(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)[课时目标]1．掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．逐点清(一)函数的三种表示法[多维理解]三种常用的函数表示方法|微|点|助|解|对三种表示法的说明解析法利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域列表法采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性图象法图象既可以是光滑的曲线，也可以是直线、折线、离散的点[微点练明]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)所有函数都能用三种表示法表示．()(2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示．()(3)若函数f(x)是反比例函数，则f(1)＝1.()(4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．已知函数y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝－eq\f(1,x)C．y＝eq\f(2,x) D．y＝－eq\f(2,x)解析：选C设y＝eq\f(k,x)，由题意知1＝eq\f(k,2)，即k＝2.∴y＝eq\f(2,x).3．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝________.x1≤x<222<x≤4f(x)123解析：∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.答案：34．中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)吗？解：因为函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6}，所以用解析法可将函数表示为f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}．用列表法可将函数表示为月饼数x123456钱数y61218243036用图象法可将函数表示为逐点清(二)函数的图象[多维理解]作函数y＝f(x)图象的方法(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．[微点练明]1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是__________，值域是________．解析：结合题图，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2，2]．答案：[－3,3][－2,2]2．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域：(1)y＝3x；(2)y＝－4x＋5；(3)y＝x2－6x＋7.(4)y＝－eq\f(4,x)，x∈[－3,0)∪(0,1]．解：(1)一次函数y＝3x的图象如图1所示，定义域为R，值域为R.(2)一次函数y＝－4x＋5的图象如图2所示，定义域为R，值域为R.(3)二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图3所示，定义域为R，值域为[－2，＋∞)．(4)作出函数y＝－eq\f(4,x)，x∈[－3,0)∪(0,1]的图象，如图4所示，由图象可知值域为(－∞，－4]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)).逐点清(三)函数的解析式[典例]求下列函数的解析式：(1)(换元法或配凑法)已知f(eq\r(x)＋1)＝x－2eq\r(x)，求f(x)；(2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)；(3)(方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)．解：(1)法一：换元法令t＝eq\r(x)＋1，则t≥1，x＝(t－1)2.代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．法二：配凑法由已知得f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＋1－4eq\r(x)－4＋3＝(eq\r(x)＋1)2－4(eq\r(x)＋1)＋3.因为eq\r(x)＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.因为f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8.))所以f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－2f－x＝1＋2x，,f－x－2fx＝1－2x，))解得f(x)＝eq\f(2,3)x－1.|思|维|建|模|求函数解析式的4种常用方法换元法已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围配凑法由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得到f(x)的表达式待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法方程组法已知关于f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)[针对训练]根据下列条件，求f(x)的解析式．(1)已知f(x)满足f(x＋1)＝x2＋4x＋1；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；(3)已知f(x)满足2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝x(x≠0)．解：(1)令t＝x＋1，则x＝t－1.故f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2.所以f(x)＝x2＋2x－2.(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，所以3k(x＋1)＋3b－kx－b＝2x＋9.即2kx＋3k＋2b＝2x＋9.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＝2，,3k＋2b＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝3.))所以f(x)＝x＋3.(3)因为2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝x(x≠0)①，所以2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)②.2×②－①，得3f(x)＝eq\f(2,x)－x，所以f(x)＝eq\f(2,3x)－eq\f(x,3)(x≠0)．[课时跟踪检测](满分90分，选填小题每题5分)1.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)解析：选C由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．2.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则f(g(2))的值为()x123f(x)230A．3 B．0C．1 D．2解析：选D由题图可知g(2)＝1，由题表可知f(1)＝2，故f(g(2))＝2.3．已知函数f(x)是一次函数，且f(x－1)＝4x＋3，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝4x＋7C．f(x)＝4x＋1 D．f(x)＝4x＋3解析：选B设一次函数的解析式为f(x)＝ax＋b(a≠0)，由f(x－1)＝4x＋3，可得f(x－1)＝a(x－1)＋b＝ax－a＋b＝4x＋3.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,－a＋b＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝7.))所以函数的解析式为f(x)＝4x＋7.4．已知f(eq\r(x)－1)＝－x，则函数f(x)的表达式为()A．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥0)B．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥－1)C．f(x)＝－x2－2x－1(x≥0)D．f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1)解析：选D令t＝eq\r(x)－1(t≥－1)，则x＝(t＋1)2.所以f(t)＝－(t＋1)2＝－t2－2t－1(t≥－1)．所以f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1)．故选D.5．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()解析：选D由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.6．(多选)若函数f(1－2x)＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，则()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝15B．f(2)＝－eq\f(3,4)C．f(x)＝eq\f(4,x－12)－1(x≠0)D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(4x2,x－12)－1(x≠0且x≠1)解析：选AD令1－2x＝t(t≠1)，则x＝eq\f(1－t,2).所以f(t)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,2)))2)＝eq\f(4,t－12)－1.则f(x)＝eq\f(4,x－12)－1(x≠1)，故C错误；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝15，故A正确；f(2)＝3，故B错误；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2)－1＝eq\f(4x2,x－12)－1(x≠0且x≠1)，故D正确．7．函数y＝eq\f(x,1＋x)的大致图象是()解析：选A法一y＝eq\f(x,1＋x)的定义域为{x|x≠－1}，排除C、D；当x＝0时，y＝0，排除B.法二y＝eq\f(x,1＋x)＝1－eq\f(1,x＋1)，由函数的平移性质可知A正确．8.已知函数y＝f(x)的图象如图所示．则(1)f(－2)＝________；(2)若f(x)＝0，则x＝________.解析：(1)由题图，知f(x)过点(－2，3)，故可得f(－2)＝3.(2)由题图可知，f(x)过点(－3,0)，故可得x＝－3.答案：(1)3(2)－39.某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.解析：设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(330＝30a＋b，,630＝40a＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝30，,b＝－570.))即y＝30x－570，若要免费，则y≤0，所以x≤19.答案：1910．下表表示函数y＝f(x)，则f(x)>x的整数解的集合是____________.x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x<20y＝f(x)46810解析：当0<x<5时，f(x)>x的整数解为{1,2,3}；当5≤x<10时，f(x)>x的整数解为{5}．当10≤x<15时，f(x)>x的整数解为∅.当15≤x<20时，f(x)>x的整数解为∅.综上所述，f(x)>x的整数解的集合是{1,2,3,5}．答案：{1,2,3,5}11．已知函数f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域为[－4，0]，则实数m的取值范围是________．解析：函数f(x)＝x2－4x的部分图象及在[0，m]上的图象如图所示．f(0)＝0，f(2)＝－4，f(4)＝0，当x>4时，f(x)>0；当0<x<4时，－4≤f(x)<0，所以为使函数f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域为[－4,0]，实数m的取值范围是[2,4]．答案：[2,4]12．(10分)已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：(1)函数p＝f(m)的定义域；(2)函数p＝f(m)的值域；(3)p取何值时，有唯一的m值与之对应．解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是[－3,0]或[1,4]，由题图知定义域为[－3,0]∪[1,4]．(2)由题图知值域为[－2,2]．(3)由题图知，当p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．13．(12分)(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式．解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21.所以a＝2，b＝5.所以f(x)＝2x＋5.(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理得－2ax＋a－b＝4x，即a＝－2，b＝－2.所以f(x)＝－2x2－2x＋1.14．(13分)画出下列函数的大致图象：(1)y＝eq\f(2x－3,x＋1)；(2)y＝|x2－1|.解：(1)因为y＝eq\f(2x－3,x＋1)＝2－eq\f(5,x＋1)，所以可先作出函数y＝－eq\f(5,x)的大致图象，把所得图象向左平移1个单位长度，得到y＝－eq\f(5,x＋1)的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度，就得到了函数y＝eq\f(2x－3,x＋1)的图象，如图①所示．(2)先作出函数y＝x2－1的大致图象，保留它在x轴上及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分翻折到x轴上方，所得到的图象就是函数y＝|x2－1|的图象，如图②所示．第2课时分段函数——(教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)[课时目标]1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画分段函数的图象．2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．分段函数的概念和特点在函数的定义域内，在自变量x的不同取值范围内，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象题型(一)分段函数求值问题[例1]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,3x＋5，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))(1)求f(－5)，f(1)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))；(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．解：(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋5＝eq\f(1,2).(2)因为a2＋2≥2，所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，解得a≥1或a≤－eq\f(1,2)，即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)．[变式拓展]1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．解：当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合题意，舍去；当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3，即a＝－eq\f(2,3)∈(－2,2)，符合题意；当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，实数a的值为－eq\f(2,3)或2.2．本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围．解：当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2<x<2；当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅.综上可得，x的取值范围是(－∞，2)．|思|维|建|模|1．分段函数求值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．求自变量的值的方法已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．3．求参数值的方法若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，转化为方程或不等式问题．[针对训练]1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：选A由题易知f(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：当a>0时，f(a)＝2a，由f(a)＋f(1)＝0，得2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；当a≤0时，f(a)＝a＋1，由f(a)＋f(1)＝0，得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足题意．2．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ffx＋5，x<10，,x－3，x≥10，))则f(7)＝______.解析：∵函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ffx＋5，x<10，,x－3，x≥10，))∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.答案：8题型(二)分段函数的图象及应用[例2]已知函数f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．(1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域．解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1.当－2<x<0时，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x，－2<x<0，,1，0≤x≤2.))(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．[变式拓展]把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，如何求解．解：(1)f(x)＝|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－2，x<0，,x－2，x≥0.))(2)函数的图象如图所示．(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．|思|维|建|模|分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象．在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．[针对训练]3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x<－1，,x2，－1≤x≤1，,1，x>1.))(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)＝eq\f(1,4)，求x的值；(3)若f(x)≥eq\f(1,4)，求x的取值范围．解：(1)函数y＝x2的对称轴为x＝0，当x＝0时，y＝0；当x＝－1时，y＝1；当x＝1时，y＝1，故f(x)的图象如图所示．(2)f(x)＝eq\f(1,4)等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x2＝\f(1,4)))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,1＝\f(1,4)))②或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1，,1＝\f(1,4)，))③解①得x＝±eq\f(1,2)，②③的解集都为∅.所以当f(x)＝eq\f(1,4)时，x＝±eq\f(1,2).(3)由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，结合此函数图象可知，f(x)≥eq\f(1,4)的x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).题型(三)分段函数的实际应用问题[例3]某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：可享受的折扣优惠金额折扣率不超过400元的部分10%超过400元的部分20%若某顾客在此超市获得的折扣金为60元，求此人购物实际所付金额.解：设此人购物总金额为x元，可获得购物折扣金额为y元，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤500，,0.1x－500，500<x≤900，,0.2x－900＋40，x>900.))当x＝900时，y＝0.1×(900－500)＝40.∵60>40，∴x>900.∴0.2(x－900)＋40＝60.解得x＝1000.∴1000－60＝940.故此人购物实际所付金额为940元．|思|维|建|模|利用分段函数求解实际应用题的策略(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．[针对训练]4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为()A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米解析：选A该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.[课时跟踪检测](满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)A级——达标评价1．函数f(x)＝eq\f(x,|x|)的图象是()解析：选C函数f(x)＝eq\f(x,|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x<0，,1，x>0，))故选C.2．已知著名的狄利克雷函数D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则D(D(x))等于()A．0 B．1C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为无理数，,0，x为有理数)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数))解析：选B∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数．∴D(D(x))＝1.3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))的值域是()A．R B．[0,2]∪{3}C．[0，＋∞) D．[0,3]解析：选B当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}．4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≥0，,\r(－x)，x<0，))若f(a)＝1，则实数a的值为()A．－1 B．±1C．0 D．1解析：选B当a≥0时，f(a)＝a3＝1，则a＝1，当a<0时，f(a)＝eq\r(－a)＝1，解得a＝－1.综上a＝±1.5.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则()A．f(f(－3))＝1B．f(－1)＝3.5C．函数的定义域是(－∞，0]∪[2,3]D．函数的值域是[1,5]解析：选AD由图象可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，A正确；图象法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(－1)的确定值，B错误；由图象可得函数的定义域为[－3,0]∪[2,3]，C错误；由题图可得函数的值域为[1,5]，D正确．6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x<1，,－2x＋3，x≥1，))则f(3)＝________.解析：f(3)＝－2×3＋3＝－3.答案：－37．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x<0，,1，x≥0，))则不等式xf(x－1)≤1的解集为________．解析：原不等式转化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1<0，,x×－1≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x×1≤1，))解得－1≤x≤1.答案：[－1,1]8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1，x<2，,x2＋ax，x≥2，))若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))))＝－6，则f(4)＝________.解析：由题意，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝3.所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))))＝f(3)＝9＋3a＝－6，解得a＝－5.故f(4)＝42－5×4＝－4.答案：－49．(8分)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0<x≤4，,－x＋2，x>4.))(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数f(x)的图象．解：(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.(2)f(x)的图象如图所示．10．(8分)如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．解：当点P在BC上运动，即0≤x≤4时，y＝eq\f(1,2)×4×x＝2x；当点P在CD上运动，即4<x≤8时，y＝eq\f(1,2)×4×4＝8；当点P在DA上运动，即8<x≤12时，y＝eq\f(1,2)×4×(12－x)＝24－2x.综上可知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤4，,8，4<x≤8，,24－2x，8<x≤12.))B级——重点培优11．(多选)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,x2，－1<x<2，))关于函数f(x)的结论正确的是()A．f(x)的定义域为RB．f(x)的值域为(－∞，4)C．若f(x)＝3，则x的值是eq\r(3)D．f(x)<1的解集为(－1,1)解析：选BC由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1<x<2时，x2＝3，解得x＝eq\r(3)或x＝－eq\r(3)(舍去)，故C正确；当x≤－1时，x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2