高一数学（人教A版）教案 必修一 第一章 集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语1．1集合的概念第1课时集合的概念——(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)[课时目标]1．通过实例了解集合与元素的含义，能判断元素与集合的关系．2．能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单的问题．3．熟记常用数集的表示符号，通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系．逐点清(一)元素与集合的概念[多维理解]1．元素与集合的含义元素一般地，把研究对象统称为元素集合把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集符号表示元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示|微|点|助|解|(1)“集合”是数学中的一个基本概念，同“点”“线”“面”等概念一样都是描述性概念．(2)集合是一个“整体”，一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．(3)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．2．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．3．集合中元素的特征确定性一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的互异性一个集合中的任何两个元素都不相同．也就是说，集合中的元素没有重复无序性集合中的元素是没有顺序的[微点练明]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．()(2)好听的歌能组成一个集合．()(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．()(4)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(多选)考察下列每组对象，能组成集合的是()A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．不小于3的自然数D．唐宋散文八大家解析：选BCDA中“最美”标准不明确，不符合确定性，B、C、D中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD.3．集合中“元素”的英文单词“element”中的字母构成的集合中元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选D由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“e”“l”“m”“n”“t”5个元素．4．已知集合A中含有3个元素a,0，－1，集合B中含有3个元素c＋b，eq\f(1,a＋b)，1，且集合A和集合B是相等的，则a＝________，b＝________，c＝________.解析：∵集合A和集合B是相等的，又eq\f(1,a＋b)≠0，∴a＝1，c＋b＝0，eq\f(1,a＋b)＝－1，∴b＝－2，c＝2.答案：1－22逐点清(二)元素与集合的关系[多维理解]1．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合Aa∈A“a属于A”不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A“a不属于A”2．常用数集及其记法名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR|微|点|助|解|(1)元素和集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的．(2)由元素的确定性可知，对于任何a与A，a∈A或a∉A这两种情况必有一种且只有一种成立．(3)符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性(开口对着集合)，左右两边不能互换．(4)N是非负整数集(即自然数集)，而N*与N＋表示正整数集，N包括元素0，而N*与N＋不包括元素0.[微点练明]1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()A．3.14 B．－5C.eq\f(3,7) D．eq\r(7)解析：选D因为eq\r(7)是实数，但不是有理数，所以选D.2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是()A.eq\r(5)∈M B．0∉MC．1∈M D．－eq\f(π,2)∈M答案：D3．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，且2∈A，则()A．a>－4 B．a≤－2C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2解析：选D由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×1＋a≤0，,2×2＋a>0，))解得－4<a≤－2.4．(多选)下列说法正确的是()A．集合N与集合N*是同一个集合B．集合N中的元素都是集合Z中的元素C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素D．集合Q中的元素都是集合R中的元素解析：选BD因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确．5．用符号“∈”和“∉”填空：(1)设集合A为所有偶数组成的集合，则0______A，－2024________A；(2)设集合B是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则－1________B，(－1,1)________B.答案：(1)∈∈(2)∉∈逐点清(三)集合中元素特征的应用[典例]已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．解：由题意，可知a＝1或a2＝a，若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.[变式拓展]1．本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．解：由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.所以a的取值范围是a≠±1.2．本例条件中“若1和a互换位置”，求实数a的值．解：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，与集合中元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.|思|维|建|模|由集合中的元素特征求参数的步骤[针对训练]1．由a2，2－a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是()A．－1 B．1C.eq\r(3) D．2解析：选D由题意知a2,2－a,3组成一个集合A，A中元素个数不是2，因为a2＝2－a＝3无解，故由a2,2－a,3组成的集合A的元素个数为3，故a2≠2－a≠3，即a≠－2，a≠±1，a≠±eq\r(3)，即a可取2，故A、B、C错误，D正确．2．已知集合P有三个元素－1,2a＋1，a2－1.若0∈P，则实数a的值为()A．－eq\f(1,2) B．1C．－eq\f(1,2)或1 D．0或1解析：选C因为0∈P，所以2a＋1＝0或a2－1＝0.当2a＋1＝0，即a＝－eq\f(1,2)时，P中含有元素－1，0，－eq\f(3,4)，满足题意；当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则P中含有元素－1,3,0，满足题意；若a＝－1，则P中含有元素－1，0，不满足题意．综上，实数a的值为－eq\f(1,2)或1.[课时跟踪检测](满分100分，选填小题每题5分)1．(多选)下列各组对象能构成集合的是()A．倒数等于它本身的数 B．某班视力较好的同学C．所有锐角三角形 D．小于π的正整数解析：选ACD根据集合的概念，可知集合中元素具有确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“视力较好”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选ACD.2．(多选)下列元素与集合的关系正确的是()A．－1∈N B．0∉N*C.eq\r(3)∈Q D．eq\f(2,5)∈R答案：BD3．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系正确的是()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M解析：选B本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M.4．(多选)若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是()A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形解析：选BCD由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．5．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是()A．1 B．0C．－2 D．2解析：选C因为－1∈M，所以2×(－1)∈M，即－2∈M.6．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x∉B，则x等于()A．2 B．3C．4 D．6解析：选B集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意．7．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M解析：选C由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1，所以－1∈M.8．(多选)下列说法正确的是()A．N*中最小的数是1B．若－a∉N*，则a∈N*C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有两个元素解析：选AC因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；对于B，若a＝eq\f(1,2)，则满足－a∉N*，但a∉N*，B错误；对于D，x2＋4＝4x的实数解只有2，所以组成的集合中只有一个元素，D错误．9．已知a，b是非零实数，代数式eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|ab|,ab)的值组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．0∈M B．－1∈MC．3∉M D．1∈M解析：选B当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．10．由实数x，－x，|x|,eq\r(x2)，－eq\r(x2)所组成的集合中，含有元素的个数最多为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选A∵eq\r(x2)＝|x|，－eq\r(x2)＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x<0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．故选A.11．设集合D是满足方程y＝x2的有序数对(x，y)的集合，则－1______D，(－1,1)______D.解析：因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而－1是数，所以－1∉D，(－1,1)∈D.答案：∉∈12．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.解析：因为集合P中恰有三个不同元素，且元素x满足x∈N，且2<x<a，则满足条件的x的值为3,4,5，所以整数a的值是6.答案：613．已知集合M有2个元素x,2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是________．①2∈M；②1∈M；③x≠3.解析：依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－1，,2－x≠－1，,x≠2－x，))解得x≠－1，x≠1且x≠3.对于①，当x＝2或2－x＝2，即x＝2或x＝0时，M中的元素为0,2，故①可能正确；对于②，当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确．答案：②14．(16分)已知集合A含有两个元素m，m2－3m，其中m∈R.(1)实数m不能取哪些数？(2)若4∈A，求实数m的值．解：(1)根据题意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4，因此，实数m不能取0和4.(2)由(1)的结论，可知m≠4，若4∈A，则m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合题意)，因此，实数m的值是－1.15．(19分)设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件：①1∉S；②若a∈S，则eq\f(1,1－a)∈S.(1)求证：若a∈S，则1－eq\f(1,a)∈S；(2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．解：(1)证明：因为1∉S，a∈S，所以1－a≠0，且eq\f(1,1－a)∈S，可得eq\f(1,1－\f(1,1－a))＝eq\f(1－a,－a)＝1－eq\f(1,a)∈S，故若a∈S，则1－eq\f(1,a)∈S.(2)由2∈S，得eq\f(1,1－2)＝－1∈S；由－1∈S，得eq\f(1,1－－1)＝eq\f(1,2)∈S；而当eq\f(1,2)∈S时，eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈S，…，因此当2∈S时，集合S中必含有－1，eq\f(1,2)两个元素．

第2课时集合的表示方法——(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)[课时目标]1．掌握集合的表示方法——列举法和描述法，并能用这两种方法表示集合．2．能利用集合的表示法表示一些简单的集合并能进行自然语言与集合语言间的相互转换．3．会用集合中元素的共同特征描述一些集合，如数集、解集和一些基本图形构成的集合．逐点清(一)列举法[多维理解]列举法的定义及一般形式定义把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法一般形式{a1，a2，a3，…，an}|微|点|助|解|(1)a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由元素a构成，a是集合{a}的一个元素．(2)列举法表示集合的注意点：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④元素不能遗漏．[微点练明]1．(多选)下列命题正确的是()A．0与{0}表示同一个集合B．由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}C．方程(x－3)2＋(y＋4)2＝0的所有解组成的集合可表示为{(3，－4)}D．绝对值小于3的整数组成的集合可以用列举法表示解析：选BCD由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，所以A错误；根据集合中元素的无序性，知B正确；由方程可得x＝3，y＝－4，所以组成的集合为{(3，－4)}，故C正确；由于该集合中的元素可以一一列举出来，所以可以用列举法表示，所以D正确．2．若1∈{x＋2，x2}，则实数x的值为()A．－1 B．1C．1或－1 D．1或3解析：选B由题意得x＋2＝1或x2＝1.当x＋2＝1时，x＝－1，x2＝1，不满足集合元素的互异性，舍去；当x2＝1时，x＝1或x＝－1(舍去)，当x＝1时，x＋2＝3符合题意．综上，x＝1.3．用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；(4)由所有正整数构成的集合．解：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．(4)正整数有1,2,3，…，故所求集合为{1,2,3，…}．逐点清(二)描述法[多维理解]描述法的定义及一般形式定义设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法一般形式{x∈A|P(x)}，其中x是表示集合元素的一般符号，P(x)是这个集合中元素的共同特征，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}的形式具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征|微|点|助|解|描述法的几点说明(1)竖线前写代表元素的符号，竖线后用简明、准确的语言描述元素的共同特征．写清楚该集合代表元素的符号，例如，集合{x|x＜1}不能写成{x＜1}，且要分清是点集还是数集．(2)同一个集合可以有不同的表述形式，如{x|x≥0}，{y|y≥0}，{y|y＝x2，x∈R}表示同一个集合．(3)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号，即{x|x＝2k，k∈Z}．(4)不能出现未被说明的字母．[微点练明]1．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是()A．{x|－3<x<11，x∈Z}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}答案：D2．(多选)已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式成立的是()A．0∈A B．1.5∉AC．－1∉A D．6∈A解析：选ABC∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A，故D不成立，其余都成立．3．用描述法表示下列集合：(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；(3)3和4的所有正的公倍数构成的集合；(4)如图中阴影部分的点(含边界)的集合．解：(1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．(3)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．(4)题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(3,2)，0≤y≤1)))).逐点清(三)集合与方程的综合问题[典例]已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．若A中只有一个元素，求a的值．解：当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－eq\f(1,2)，符合题意；当a≠0时，由Δ＝0，得a＝1，此时x＝－1.所以若A中只有一个元素，则a的值为0或1.[变式拓展]1．将本例中“只有一个”改为“有两个”，a的取值情况是什么．解：若A中有两个元素，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以a≠0且Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0，故a的取值范围为{a|a<1且a≠0}．2．若将本例中“只有”改为“至多有”，求a的取值范围．解：当a≠0时，若A中至多含有一个元素，则方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实根或没有实根．由Δ＝4－4a≤0，得a≥1.当a＝0时，由例题解析可知方程有唯一解．所以若A中至多有一个元素，a的取值范围为{a|a≥1或a＝0}．3．把本例中“只有”改为“至少有”，求a的取值范围．解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．当a≠0时，由Δ≥0，得a≤1且a≠0；当a＝0时，由例题解析可知方程有唯一解．综上，a≤1.故a的取值范围为{a|a≤1}．4．在本例条件下，是否存在实数a，使集合A与集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.又当a＝－3时，由－3x2＋2x＋1＝0，得x＝－eq\f(1,3)或x＝1，即方程ax2＋2x＋1＝0有两个根－eq\f(1,3)和1，此时A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))，与A＝{1}矛盾．故不存在实数a，使A＝{1}．|思|维|建|模|集合与方程的综合问题的解题步骤(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根．(2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论．(3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性．[课时跟踪检测](满分100分，选填小题每题5分)1．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．－2∈A B．{0}∈AC．－3∈A D．0∈A解析：选D∵0>－1，∴0∈A，故选D.2．下列集合不同于另外三个集合的是()A．{0} B．{y|y2＝0}C．{x|x＝0} D．{x＝0}解析：选DA、B、C中的元素都是数，且只有一个元素0，D中的元素是式子x＝0.故D与A、B、C不同．3．把集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为()A．{x＝－1，x＝5} B．{x|x＝－1或x＝5}C．{x2－4x－5＝0} D．{－1,5}解析：选D根据题意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或x＝5，用列举法表示为{－1,5}．4．已知P＝{1,2}，Q＝{2,3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝()A．{1} B．{2}C．{3} D．{1,2,3}答案：A5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为()A．4 B．5C．6 D．无数个解析：选C由题意得A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，故集合A中含有6个元素．6．下列选项满足M＝N的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}解析：选BA中两个坐标不同，C、D中一个点集一个数集．7．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3 B．6C．9 D．12解析：选C易得集合B中的元素为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共9个元素．故选C.8．已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，－3∈A，则a＝()A．－1 B．－3或1C．3 D．－3解析：选D∵－3∈A，∴－3＝a2＋4a或－3＝a－2.若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3.当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝－3时，集合A＝{12，－3，－5}，满足题意，故a＝－3成立．若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，a＝－3.9．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝()A．{1} B．{1,2}C．{2,5} D．{1,5}解析：选D由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0，得p＝－3，q＝4.则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3，即(x－1)2－4(x－1)＝0，解得x＝1或x＝5.所以集合B＝{1,5}．10．设A是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈A，都有a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)∈A(除数b≠0)，则称A是一个数域，则下列集合为数域的是()A．N B．ZC．Q D．{x|x≠0，x∈R}解析：选C1,2∈N，eq\f(1,2)∉N，故N不是数域，A错误，同理B错误；任意a，b∈Q，都有a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)∈Q(除数b≠0)，故Q是一个数域，C正确；对于集合A＝{x|x≠0，x∈R},1∈A,1－1＝0∉A，故{x|x≠0，x∈R}不是数域，D错误．11．集合{x|x＝2m－3，m∈N*，m<5}，用列举法表示为______________．解析：因为集合中的元素满足x＝2m－3，m∈N*，m<5，所以m可取值为1,2,3,4，则满足条件的x的值为－1，1,3,5.故集合用列举法表示为{－1,1,3,5}．答案：{－1,1,3,5}12．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集为________．解析：由于2的倒数eq\f(1,2)不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则eq\f(1,a)∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝eq\f(1,a)，即a＝±1，故可取的集合有eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，3，\f(1,3)))等．答案：不是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)))(答案不唯一)13．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中有2个元素，则实数k的取值范围为________．解析：若集合A中有2个元素，则方程kx2＋4x＋4＝0有两个不同的根，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝16－16k>0，))∴k<1且k≠0.答案：{k|k<1且k≠0}14．含有三个实数的集合可表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，也可以表示为{a2，a＋b,0}，则a2013＋a2014的值为________．解析：因为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，且a≠0，所以b＝0，则有{a,0,1}＝{a2，a,0}，所以a2＝1，且a≠1，得a＝－1，所以a2013＋a2014＝(－1)2013＋(－1)2014＝－1＋1＝0.答案：015．(12分)用适当的方法表示下列集合．(1)不大于10的非负奇数集；(2)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈Z且\f(6,4－x)∈N))))；(3)A＝{x|x＝|x|，x∈Z且x<5}；(4)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．解：(1)由不大于10，即小于或等于10，非负是大于或等于0，所以不大于10的非负奇数集，用列举法可表示为{1,3,5,7,9}．(2)由集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈Z且\f(6,4－x)∈N))))，可得1≤4－x≤6，解得－2≤x≤3且x∈Z，当x＝－2时，可得eq\f(6,4－x)＝1∈N，满足题意；当x＝－1时，可得eq\f(6,4－x)＝eq\f(6,5)∉N，不满足题意；当x＝0时，可得eq\f(6,4－x)＝eq\f(3,2)∉N，不满足题意；当x＝1时，可得eq\f(6,4－x)＝2∈N，满足题意；当x＝2时，可得eq\f(6,4－x)＝3∈N，满足题意；当x＝3时，可得eq\f(6,4－x)＝6∈N，满足题意，所以集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈Z且\f(6,4－x)∈N))))可表示为{－2，1,2,3}．(3)由集合A＝{x|x＝|x|，x∈Z且x<5}，则满足x≥0且x∈Z且x<5，所以x＝0,1,2,3,4，所以集合A可表示为{0,1,2,3,4}．(4)由平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以与坐标轴的距离相等的点组成的集合可表示为{(x，y)||x|＝|y|}．16．(18分)已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？(2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.1.2集合间的基本关系——(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)[课时目标]1．理解集合之间包含与相等的含义，能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念．2．能识别给定集合的子集、真子集，掌握列举有限集所有集合的方法．3．会判断集合间的关系，并能用符号和Venn图表示．4．在具体情境中，了解空集的含义，并注意空集在解题中的影响．逐点清(一)子集与集合相等[多维理解]1．Venn图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．2．子集定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C3．集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.|微|点|助|解|(1)“A是B的子集”的含义：对任意x∈A都能推出x∈B.(2)注意“∈”与“⊆”的区别：“⊆”用于表示集合与集合之间的关系；“∈”用于表示元素与集合之间的关系．[微点练明]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a∈A，则{a}⊆A.()(2)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.()答案：(1)√(2)√2．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D解析：选B因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C⊆B.3．已知集合A＝{0,1，a2}，B＝{0,1,2a＋3}，若A＝B，则a等于()A．－1或3 B．0或1C．3 D．－1解析：选C由A＝B，得a2＝2a＋3，解得a＝－1或a＝3.当a＝－1时，A＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，舍去．当a＝3时，A＝{0,1,9}＝B，满足题意．故选C.4．指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；(3)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解：(1)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B.(2)正方形是特殊的矩形，故A⊆B.(3)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M.逐点清(二)真子集与空集[多维理解]1．真子集定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集记法与读法记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示性质①真子集具有传递性，即若AB，BC，则AC；②含有n个元素的有限集合的真子集个数为(2n－1)个2．空集定义一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集记法∅规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A特性(1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；(2)A≠∅，则∅A|微|点|助|解|(1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)0，{0}，{∅}与∅之间的关系∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}[微点练明]1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是()A．M＝N B．NMC．MN D．N⊆M解析：选C解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以MN.2．下列四个集合中，是空集的是()A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}解析：选DA中集合为{0}，B中为{(0,0)}，C中为{0}，而D中方程无解，是空集．3．满足{1}⊆A{1,2,3,4}的集合A的个数为()A．7 B．8C．15 D．16解析：选A∵{1}⊆A，∴1∈A，∵A{1,2,3,4}，∴满足题意的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个．故选A.4．已知集合Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}＝∅，则实数k的取值范围是________．解析：∵Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}＝∅，∴k＋1>2k－1，解得k<2.答案：{k|k<2}5．填写下表，并回答问题：集合集合的子集子集的个数∅{a}{a，b}{a，b，c}由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？解：集合集合的子集子集的个数∅∅1{a}∅，{a}2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b}4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.

逐点清(三)由集合间的关系求参数范围[典例]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．解：若B＝∅，满足B⊆A，则m＋1>2m－1，解得m<2.若B≠∅，满足B⊆A，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.综上，符合题意的实数m的取值范围为{m|m≤3}．[变式拓展]1．若本例条件“B⊆A”变为A⊆B，求实数m的取值范围．解：若A⊆B，数轴表示如下：依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1≥5，,m＋1≤2m－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤－3，,m≥3，,m≥2，))此时m的取值范围是∅.2．本例条件不变，是否存在实数m，使得A＝B？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在满足题意的实数m.若A＝B，则必有m＋1＝－2且2m－1＝5，此时无解，即不存在使得A＝B的实数m.3．若本例条件“集合A”变为“A＝{x|x＜－5或x＞2}”，“集合B”变为“B＝{x|2a－3＜x＜a－2}”，其他条件不变，求实数a的取值范围．解：①当B＝∅时，2a－3≥a－2，解得a≥1.显然成立．②当B≠∅时，2a－3＜a－2，解得a＜1.由已知A⊇B，如图在数轴上表示出两个集合，由图可知，2a－3≥2或a－2≤－5，解得a≥eq\f(5,2)或a≤－3.又因为a＜1，所以a≤－3.综上，实数a的取值范围为{a|a≥1或a≤－3}．|思|维|建|模|利用集合间的关系求参数的关注点(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值．(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集．[针对训练]设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a的集合．解：因为M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{x|(x＋1)(x－3)＝0}＝{－1,3}，N＝{x|ax－1＝0}，若a＝0，则N＝∅，此时满足N⊆M；若a≠0，则N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，因为N⊆M，故eq\f(1,a)＝－1或eq\f(1,a)＝3，解得a＝－1或a＝eq\f(1,3)，所以a的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,3))).[课时跟踪检测](满分100分，选填小题每题5分)1．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{3,4,5，x}，若B⊆A，则x可以取的值为()A．1,2,3,4,5,6 B．1,2,3,4,6C．1,2,3,6 D．1,2,6解析：选D由B⊆A和集合元素的互异性可知，x可以取的值为1,2,6.2．下列集合中为∅的是()A．{0} B．{∅}C．{x|x2＋4＝0} D．{x|x＋1≤2x}解析：选C集合{0}中有一个元素0，A不符合题意；集合{∅}中有一个元素∅，B不符合题意；由方程x2＋4＝0，即x2＝－4，此时方程无解，可得{x|x2＋4＝0}＝∅，C符合题意；不等式x＋1≤2x，解得x≥1，{x|x＋1≤2x}＝{x|x≥1}，D不符合题意．故选C.3．集合M＝{x∈N|－2<x≤3}的真子集个数为()A．7 B．8C．15 D．16解析：选C集合M中共有0,1,2,3四个元素，真子集的个数是24－1＝15.4．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))，则集合A，B间的关系为()A．AB B．BAC．A＝B D．A⊆B解析：选B∵B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))＝{(x，y)|y＝x，x≠0}，∴BA.5．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()解析：选B由x2－x＝0，得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．6．(多选)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于()A．2 B．－1C．－2 D．4解析：选AB∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.7．(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9，3,8}，则A可以是()A．{1,8} B．{2,3}C．{1} D．{2}解析：选AC∵A⊆B，A⊆C，∴A中的元素应为B和C的共同元素．∵B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9,3,8}，∴B和C的共同元素为1和8.∴A⊆{1,8}．结合选项知，A、C选项满足题意，故选AC.8．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，故m＝2.9．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠∅，B⊆A，则a等于()A．－1 B．0C．1 D．±1解析：选D当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根－1，即a＝－1；当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根1，即a＝1；当B＝{－1,1}时，不成立．故a＝±1.10．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝()A．2 B．1C.eq\f(2,3) D．－1解析：选B依题意有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B.11．设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为________．解析：∵xy＞0，∴x，y同号．又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.答案：M＝P12．若A＝{1,2}，B＝{x|x⊆A}，则B＝________.解析：因为A＝{1,2}，B＝{x|x⊆A}，所以集合B中的元素是集合A的子集：∅，{1}，{2}，{1,2}，则集合B＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}．答案：{∅，{1}，{2}，{1,2}}13．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．解析：由集合B＝{x|1<x<m}，若m≤1时，可得B＝∅，此时满足B⊆A；若m>1时，要使B⊆A，则满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1，,m≤4，))解得1<m≤4.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤4}．答案：{m|m≤4}14．已知非空集合P满足：①P⊆{1,2,3,4,5}；②若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________．解析：由a∈P,6－a∈P，且P⊆{1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个．答案：715．(15分)已知集合A＝{1,2,3}．(1)若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M；(2)若B＝{x|ax－3＝0}，且B⊆A，求实数a的取值集合．解：(1)∵M⊆A,3∈M，∴集合M可能为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．(2)当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；当a≠0时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)))；若B⊆A，则eq\f(3,a)＝1或eq\f(3,a)＝2或eq\f(3,a)＝3，解得a＝3或a＝eq\f(3,2)或a＝1.综上所述，实数a的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(3,2)，3)).16．(15分)若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围．解：①当A无真子集时，即A＝∅时，则方程ax2＋2x＋1＝0无实根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝4－4a<0，))解得a>1.②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况：当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，解得x＝－eq\f(1,2)，符合题意；当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，符合题意．综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}．1．3集合的基本运算第1课时集合的基本运算——(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)[课时目标]1．能从实例中抽象出两个集合的并集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．2．能用Venn图或数轴表达两个集合的并集与交集．3．了解全集的含义及符号，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．逐点清(一)并集[多维理解]并集的概念及性质文字语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}图形语言性质(1)A∪B＝B∪A；(2)A∪A＝A；(3)A∪∅＝∅∪A＝A；(4)如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立|微|点|助|解|(1)A∪B仍是一个集合；(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B；(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．[微点练明]1．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选D由Venn图可知，阴影部分表示M∪P，即M∪P＝{－1,0,1,2,3}．2．已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于()A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}解析：选C在数轴上表示两个集合，如图所示，∴P∪Q＝{x|x≤4}．故选C.3．已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是()A．2 B．3C．4 D．8解析：选C依题意，可知满足M∪N＝{0,1,2}的集合N有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，共4个．故选C.4．点集A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素不可能在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选A由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．

逐点清(二)交集[多维理解]交集的概念及性质文字语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言性质(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩A＝A；(3)A∩∅＝∅∩A＝∅；(4)如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立|微|点|助|解|(1)A∩B仍是一个集合，如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅；(2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B；(3)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．[微点练明]1．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}解析：选AA∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．故选A.2．(2023·北京高考)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，则M∩N＝()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2<x≤1}C．{x|x≥－2} D．{x|x<1}解析：选A由题意得M＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，N＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}．根据交集的运算可知，M∩N＝{x|－2≤x<1}．故选A.3．已知集合A＝{x∈Z|－4<x<1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，\f(1,2)))，则A∩B的非空子集个数为()A．7 B．8C．15 D．16解析：选A因为A＝{x∈Z|－4<x<1}＝{－3，－2，－1,0}，又B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，\f(1,2)))，所以A∩B＝{－2，－1,0}，所以A∩B的元素个数为3，其非空子集有7个．故选A.4．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．{a|a<2} B．{a|a>－2}C．{a|a>－1} D．{a|－1<a≤2}解析：选C在数轴上表示出集合A，B，由图可知若A∩B≠∅，则a>－1.5.已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个．解析：M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1,3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．答案：2逐点清(三)全集与补集[多维理解]1．全集定义一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集记法全集通常记作U2.补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言3．补集的性质(1)A∪(∁UA)＝U；(2)A∩(∁UA)＝∅；(3)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A；(4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．|微|点|助|解|(1)“全集”是一个相对概念，并不是固定不变的，它是依据具体问题加以选择的．(2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同．(3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合．[微点练明]1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM＝()A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6} D．{2,4,6}答案：C2．已知全集U＝{x|－1≤x<3}，集合A＝{x|－1≤x≤2}，则∁UA＝()A．{x|－1≤x<2} B．{x|2<x<3}C．{x|2≤x<3} D．{x|x<－1或x>2}解析：选B由题意知∁UA＝{x|2<x<3}．3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则()A．2∈M B．3∈MC．4∉M D．5∉M解析：选A由题意知M＝{2,4,5}，故选A.4．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁UA＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝________.解析：因为∁UA＝{x|x<1或x≥2}，所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2.答案：2[课时跟踪检测](满分100分，选填小题每题5分)1．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则()A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M D．M>N解析：选B因为NM，所以M∪N＝M.2．设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤5))))，则M∩N＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x≤\f(1,3))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x＜4))))C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}解析：选B由题意得M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x＜4)))).故选B.3．已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁UA＝{－1}，则a的值是()A．－1 B．1C．3 D．±1答案：A4．已知集合M＝{a,0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))))，如果M∩N≠∅，则a等于()A．1 B．2C．1或2 D．eq\f(5,2)解析：选C∵N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))))＝{1,2}，又∵M＝{a,0}，M∩N≠∅，∴a＝1或a＝2.5．(多选)已知集合A＝{x|0<x<3}，集合B＝{x|x<0}，则下列关系正确的是()A．2∈A B．A⊆BC．A⊆(∁RB) D．A∪B＝{x|x<3}解析：选AC因为A＝{x|0<x<3}，B＝{x|x<0}，所以2∈A，故A正确；A不是B的子集，故B错误；∁RB＝{x|x≥0}，A⊆(∁RB)，故C正确；A∪B＝{x|x<0或0<x<3}，故D错误．6．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选B(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩C＝{1,2,4}．7．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}，若A∩B＝B，则实数m的值是()A．0 B．2C．0或2 D．0或1或2解析：选C因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以m＝0或m＝2，故选C.8．(2023·全国甲卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪∁UM＝()A．{2,3,5} B．{1,3,4}C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5}解析：选A由题意知，∁UM＝{2,3,5}，又N＝{2,5}，所以N∪∁UM＝{2,3,5}，故选A.9.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3}解析：选D由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．10．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是()A．M∩N＝M B．M∪N＝NC．N⊆(M∩N) D．(M∪N)⊆N解析：选ABD若M⊆N，则可知M∩N＝M，M∪N＝N，故A、B正确；从而(M∩N)⊆N，故C错误；(M∪N)⊆N，故D正确．11．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.解析：因为U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，所以N＝{x|x≤0或x≥2}，所以M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．答案：{x|x<1或x≥2}12．若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系是________．解析：因为A∩B＝A，所以A⊆B.因为B∪C＝C，所以B⊆C，所以A⊆C.答案：A⊆C13.设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．解析：由题意知M∪N＝{x|x<－2或x≥1}，阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝{x|－2≤x<1}．答案：{x|－2≤x<1}14．集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，A∩B＝B，则a＝________.解析：A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，∵A∩B＝B，∴B＝{1}或B＝∅，故a＝1或a＝0.答案：1或015．(13分)若全集U＝{3，－3，a2＋2a－3}，A＝{a＋1,3}，且∁UA＝{5}，求实数a的值．解析：由题意可知，5∈U，－3∈A，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋2a－3＝5，,a＋1＝－3，))解得a＝－4，所以实数a的值为－4.答案：－416．(17分)已知集合A＝{1,2}，B＝{x|2a<x<4－a}．(1)当a＝1时，求A∪B；(2)若A与B之间存在包含关系，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，B＝{x|2<x<3}．故A∪B＝{x|x＝1或2≤x＜3}．(2)若B⊆A，则B＝∅，则2a≥4－a，即a≥eq\f(4,3).若A⊆B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a<1<4－a，,2a<2<4－a，))解得a<eq\f(1,2).综上，a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2)或a≥\f(4,3))))).第2课时集合运算的综合问题——(教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)[课时目标]进一步理解集合的交集、并集、补集，能根据集合的运算结果判断两个集合的关系，能利用交集、并集、补集的运算性质解决一些简单的应用问题．题型(一)集合的交、并、补混合运算[例1](2023·天津高考)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{1,2,4}，则(∁UB)∪A＝()A．{1,3,5} B．{1,3}C．{1,2,4} D．{1,2,4,5}解析：选A法一因为U＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,4}，所以∁UB＝{3,5}，又A＝{1,3}，所以(∁UB)∪A＝{1,3,5}．故选A.法二因为A＝{1,3}，且A⊆(∁UB)∪A，所以集合(∁UB)∪A中必含有元素1,3，所以排除选项C、D；观察选项A、B，因为5∉B，所以5∈∁UB，即5∈(∁UB)∪A，故选A.[例2]设全集U＝{x∈N*|x≤9}，若∁U(A∪B)＝{1,3}，A∩(∁UB)＝{2,4}，则集合B＝()A．{4,5,6,7,8,9} B．{2,4,5,6,7,8,9}C．{5,6,7,8} D．{5,6,7,8,9}解析：选D因为全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由∁U(A∪B)＝{1,3}，得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}．又A∩(∁UB)＝{2,4}，所以B＝{5,6,7,8,9}．|思|维|建|模|解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．[针对训练]1．(多选)已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可能为()A．2 B．6C．8 D．12解析：选BC因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有m个元素，所以A∩B中有12－m个元素．设集合B中元素个数为x，又集合A中含有6个元素，则x＋6－(12－m)＝12，即m＝18－x.因为m≥8，所以x≤10.又U＝A∪B中共有12个元素，所以x≥6，则6≤x≤10.2．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2)))))，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．解：将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．因为U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁UB＝{x|x≤－1或x>3}．又P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2)))))，所以(∁UB)∪P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2))))).又∁UP＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))))，所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))))＝{x|0<x<2}．题型(二)由集合的运算求参数[例3]已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|1－a<x<2a}．若(∁RA)∪B＝R，求实数a的取值范围．解：因为A＝{x|0≤x≤1}，所以∁RA＝{x|x<0或x>1}，又因为B＝{x|1－a<x<2a}且(∁RA)∪B＝R，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a<0，,2a>1，,2a>1－a，))解得a>1，故实数a的取值范围为{a|a>1}．[变式拓展]1．若本例条件“(∁RA)∪B＝R”变为“A∪B＝A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．解：因为A∪B＝A，则B⊆A.若B＝∅，则2a≤1－a，解得a≤eq\f(1,3).若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a>1－a，,2a≤1，,1－a≥0，))解得eq\f(1,3)<a≤eq\f(1,2).综上所述，实数a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2))))).2．若本例条件变为已知集合A＝{x|2a－3<x<a＋1}，B＝{x|0<x≤1}．若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．解：由题意知A∩B＝∅，当A＝∅时，2a－3≥a＋1，解得a≥4.当A≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<4，,2a－3≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<4，,a＋1≤0，))解得2≤a<4或a≤－1.综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1或a≥2}．|思|维|建|模|解集合中参数问题的注意点及常用方法注意点(1)不能忽视集合为∅的情形；(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论常用方法对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答[针对训练]3．设集合A＝{0,2,4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，若A∪B＝{0,1,2,3,4}，则m＋n的值是()A．1 B．3C．5 D．7解析：选D因为集合A＝{0,2,4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，A∪B＝{0,1,2,3,4}，则B＝{1,3}，所以1,3是方程x2－mx＋n＝0的两根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3＝m，,1×3＝n，))因此m＋n＝4＋3＝7.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B⊆∁RA，则a的取值范围为_______．解析：由题意得∁RA＝{x|x≥－1}，①若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA；②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a<a＋3，即－eq\f(1,2)≤a<3.综上可得，a≥－eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－\f(1,2)))))题型(三)集合中新定义问题[例4]设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A·B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A·B中元素的个数是()A．7 B．10C．25 D．52解析：选B因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1，0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：yx－