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椭圆上定点到椭圆距离最值问题探究

——基于二次函数与圆相切法目录01引言：问题背景与研究核心02两道例题的核心解法剖析直观辅助：动画演示——距离变化与圆椭相切状态动态呈现03反思小结：关键结论提炼04课后思考：新高考命题考向预测引言：问题背景与研究核心

PART01在解析几何的学习中，椭圆上定点到椭圆的距离最值问题是一类典型且具有深度的题型，它既关联到椭圆的基本几何性质，又融合了二次函数最值分析、曲线相切判定等核心数学方法。本次分享聚焦椭圆，以x轴上定区间内的动点到椭圆左、右顶点的距离能否成为到椭圆上任意点的最小距离这一问题。我们将分别从二次函数法和圆相切法两个角度展开严谨推导，辅以直观的动画演示，清晰呈现问题的求解逻辑与结论，帮助大家打通代数运算与几何直观的关联，深化对解析几何综合问题的解题认知。两道例题的核心解法剖析

PART02

解：一、二次函数法解：

一、二次函数法解：二、圆相切法圆与椭圆相切的充要条件是：方程(1)在x∈[-2,2]内有唯一解。解：二、圆相切法

动画演示

解：

解：

解：

动画演示反思小结：关键结论提炼

PART03反思感悟这两道题解释了圆锥曲线任意一点的法线与x轴的交点范围是—ec<x0<ec的结论.1本题隐含了一定点T(t,0),当t∈(-c,c)时,曲线上到点T最近的点一定不在左右顶点.2本题也隐含了一定点T(t,0),当t∈(-c,c)时,曲线上存在两点A、B,使三角形ATB是以T为顶点的等腰三角形,否则不存在.3小结本节课围绕x轴定区间内动点到椭圆的距离最值，通过“代数演算+几何转化”双路径展开探究。解法逻辑：两种路径的核心思路

二次函数法：以“距离平方代数化”为核心，将|PQ|²转化为x∈[-2,2]上的二次函数，利用二次函数的开口方向（向上）与对称轴位置，精准分析区间内的最值，实现“以数解形”。圆相切法：以“几何意义转化”为核心，将“最小距离”等价为“圆椭相切的最小半径”，通过联立方程得二次方程，利用“区间内唯一解”的相切条件，推导动点参数范围，实现“以形助数”。小结本节课围绕x轴定区间内动点到椭圆的距离最值，通过“代数演算+几何转化”双路径展开探究。思想方法：数形结合的实践

本次探究贯穿“数形结合”的核心思想——既用二次函数的“数”精准计算最值，又用圆椭相切的“形”直观简化问题，为解析几何综合题提供了“代数运算+几何直观”的双维解题模板，其思路可迁移到双曲线、抛物线等同

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