四川省德阳市中江县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（﹣2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣23．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．正方形 D．正五边形4．方程4x2﹣3x+1＝0的根的情况是（）A．有两个都是负的实数根 B．有两个都是正的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根5．已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则（a﹣b）2025的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．（﹣3）20256．下面图形中，中心对称图形的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，△ABC与△A′B′C关于点C（0，﹣1）成中心对称，若点A的坐标为（3，1），则点A′的坐标为（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣3，﹣4）8．在平面直角坐标系中，若点P（a，4）关于原点对称的点的坐标是（3，b），则坐标A（a，b）关于x轴对称的坐标为（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（3，4）9．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A． B． C． D．10．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，动点P从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长PO交CD于点Q，则四边形APCQ形状的变化依次为（）A．平行四边形—矩形—平行四边形—矩形 B．平行四边形—菱形—平行四边形—矩形 C．平行四边形—矩形—菱形—矩形 D．平行四边形—菱形—平行四边形11．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12+x22＝7，则（x1﹣x2）2的值为（）A．1 B．12 C．13 D．2512．将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2025次旋转结束时，点A对应点的坐标为（）A． B．（﹣2，0） C． D．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）13．点P（﹣2，3）关于坐标原点对称的点P′坐标为（a，b），则ab的值为．14．若二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象开口向下且经过原点，则函数的对称轴为．15．点O是矩形ABCD的对称中心，连接OA、OB，若∠OAD＝20°，则∠OBA的度数是°．16．已知α、β是方程x2﹣2x﹣2＝0的两个根，则α2+2β＝．17．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，CD＝1，∠D＝90°，则BE的长是．18．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是．三、解答题（共计90分）19．（12分）用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x+3）2＝﹣2（x+3）．20．（13分）如图，在直角坐标系内，已知点A（﹣1，0）．（1）图中点B的坐标是；（2）点B关于原点对称的点D的坐标是；点A关于y轴对称的点C的坐标是；（3）四边形ABCD的面积是；（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC．那么点F的坐标为．21．（12分）如图，△AOB绕点O旋转180°得到△COD，点A的对应点为点C，分别延长OB，OD至点E，F，且BE＝DF，连结AF，FC，CE，EA．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若OE＝CE，∠EAC＝45°，，求四边形AFCE的周长．22．（13分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．23．（13分）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？24．（13分）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：BC＝EF；（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度数．25．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A、C，连接CD．（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2025-2026学年上学期九年级期中数学参考答案一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案AACDCCCAABC题号12答案D二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）13．点P（﹣2，3）关于坐标原点对称的点P′坐标为（a，b），则ab的值为．14．若二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象开口向下且经过原点，则函数的对称轴为直线x＝．15．点O是矩形ABCD的对称中心，连接OA、OB，若∠OAD＝20°，则∠OBA的度数是70°．16．已知α、β是方程x2﹣2x﹣2＝0的两个根，则α2+2β＝6．17．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，CD＝1，∠D＝90°，则BE的长是2．18．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是1.25．三、解答题（共计90分）19．（12分）用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x+3）2＝﹣2（x+3）．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝3+4，∴（x﹣2）2＝7，∴；（2）∵（x+3）2＝﹣2（x+3），∴（x+3）（x+5）＝0，∴x+3＝0或x+5＝0，∴x1＝﹣3，x2＝﹣5．20．（13分）如图，在直角坐标系内，已知点A（﹣1，0）．（1）图中点B的坐标是（﹣3，4）；（2）点B关于原点对称的点D的坐标是（3，﹣4）；点A关于y轴对称的点C的坐标是（1，0）；（3）四边形ABCD的面积是8；（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC．那么点F的坐标为（0，﹣3）或（0，1）．【解答】解：（1）过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为﹣3，因此点B的横坐标为﹣3，过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为4，因此点B的纵坐标为4，所以点B（﹣3，4）；故答案为：（﹣3，4）；（2）由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，所以点B（﹣3，4）关于原点对称点D（3，﹣4），由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，所以点A（﹣1，0）关于y轴对称点C（1，0），故答案为：（3，﹣4），（1，0）；（3）S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝2××2×4＝8，故答案为：8；（4）设点F的坐标为（0，y），因为S△ABC＝S平行四边形ABCD＝4＝S△ADF，所以﹣1﹣y＝|2|，解得y＝﹣3或1，所以点F（0，﹣3）或（0，1），故答案为：（0，﹣3）或（0，1）．21．（12分）如图，△AOB绕点O旋转180°得到△COD，点A的对应点为点C，分别延长OB，OD至点E，F，且BE＝DF，连结AF，FC，CE，EA．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若OE＝CE，∠EAC＝45°，，求四边形AFCE的周长．【解答】证明：（1）∵△COD由△AOB绕点O旋转180°得到，∴AO＝CO，DO＝BO，且A，O，C三点在一条直线上，B，O，D三点在一条直线上．∵BE＝DF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形．解：（2）过点E作AC的垂线，垂足为M，∵OE＝CE，∴OM＝CM．又∵OA＝OC，∴AM＝3CM．∵∠EAC＝45°，且EM⊥AC，∴ME＝AM＝3CM．又∵OE＝，∴CE＝OE＝．在Rt△MCE中，MC2+ME2＝EC2，∴MC2+（3MC）2＝（）2，解得MC＝1，∴AM＝ME＝3，∴AE＝＝3，∴FC＝AE＝3．又∵AF＝EC＝，∴四边形AFCE的周长为：6+2．22．（13分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．【解答】解：（1）由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000；（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x＝35时，wmax＝2250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）20＜x≤30，对称轴左侧w随x的增大而增大，故当x＝30时，w有最大值，此时w＝2000．23．（13分）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，∵抛物线最高点坐标为（4，8），∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+8，由图可知，抛物线经过（0，0），∴0＝a（0﹣4）2+8，解得：，∴抛物线的解析式为．（2）把x＝2代入得：y＝1，∴B（2，1），即点B到x轴的距离为1，∵树高为4，∴树顶端的高度为4+1＝5，把x＝2代入，∵5＜6，∴小球M能飞过这棵树．24．（13分）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：BC＝EF；（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度数．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴BC＝EF；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝64°，∴∠BAE＝180°﹣64°×2＝52°，∴∠FAG＝∠BAE＝52°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝25°，∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝52°+25°＝77°，∴∠AGE＝77°．25．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A、C，连接CD．（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴C点为（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b1，