上海市虹口区2026届高三一模数学试题（含解析）

上海市虹口区2026届高三一模数学试题一、填空题1.已知集合A={x||x-1|＜2},B={x|x＞0},则A∩B=2.函数y=x+13.x−3x94.已知α∈−1323325.若事件A、B互斥，且P(A)=0.4,P(A∪B)=0.6,则P(B)=6.已知复数z是实系数一元二次方程.x2+bx+27.已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为6π，则该圆锥的体积为(结果保留π)8.若甲、乙、丙3人要站在一个有7级台阶的楼梯上拍照，每级台阶至多站2人，同一级楼梯上的人不区分站的位置，则不同的站法有种(结果用数值表示)9.已知双曲线C的焦点分别为F₁(-1,0)和F₂(1,0),若点P为C上的点,且满足PF2⊥F1F2,10.小虹同学要在边长为10的正方形纸片RSNM上剪出一个等腰梯形ABCD的图案，如图所示，腰AB、CD与正方形内的抛物线Γ分别相切于E、F两点，其中Γ的顶点O为RM的中点，若当点E到RM的距离为4.5时，EF=6，则当等腰梯形ABCD的面积取到最小值时，EF=(结果保留2位小数)11.若x|lgx2+212.已知空间中四个单位向量a,b,c,d满足∣a−b∣=∣c−d二、选择题13.已知x,y为实数,则“x3＞y3”A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分又非必要14.已知f(x)={tanx,x＞0−f(x+π),x＜0,A.−2π3 B.−15.如图,已知点A、B、C、D在表面积为12π的球O的球面上,且O∈BD,OA⊥平面BCD,点E为BC中点,当二面角A-BC-D的大小为πA.异面直线AE和CD所成角的大小为B.直线EA与平面ABD所成角的大小为C.sinD.△BED的面积为216.若每一项均为正数的数列an的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n，均存在正整数n使得an−Sman①存在等比数列an,使得an②若an具有“P性质”，记Δn=Sm+1A.①和②都为真命题 B.①和②都为假命题C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题三、解答题17.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，点E为PC中点.(1)若点F是线段BD上的动点，求证：直线EF与直线PA不相交；(2)若PC⊥平面ABCD,AC=BD,EC=1,求点A到平面EBD的距离.18.已知ω＞0,∣φ∣≤π,设(1)当ω=2,=π4时，试判断函数y=(2)当=−π2且函数y=f(x)的最小正周期为2π时，若在△ABC中，sin2A+sin2C−sin219.班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时，其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的概率分布直方图如图所示.(1)求该班男生每周平均手机使用时长的第25百分位数；(2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经验分享，设事件A表示“2人中至多1名男生”，事件B表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间[11，12)”，试判断事件A和事件B是否独立，并说明理由；(3)小明老师发现本班有t位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这t位学生的数据平均数为23小时，当去掉这t位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这t位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列，那么这t位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过3?请说明理由.20.已知椭圆Γx22+y2=1的左、右焦点分别为F₁和F₂，点P是Γ(1)当点P位于椭圆Γ的左焦点，且Q，P，F₂能构成三角形时，求△QPF(2)当点P位于椭圆Γ的左顶点时，直线PQ与y轴交于点B012(3)当点P与椭圆Γ的左、右顶点均不重合时，记直线PQ与椭圆Γ的另一个交点为S，过点P作直线l与椭圆Γ交于C、D两点，设M和N分别为弦QS和弦CD的中点，若P、Q、M、N为四个相异的点，∣PM+PN∣=∣MN∣,且直线MN21.已知函数y=f(x)的定义域为DD⊆R,记g(x)=f(x+a)-f(x),其中a∈D,且.(1)当D=R,fx=x2,a=1,(2)当D=−1+∞,fx=x3−(3)当D=Q，求证：“对于任意的正有理数a，函数y=g(x)在D上均是严格增函数”的充要条件.2025-2026学年上海市虹口区高三(上)期末数学试卷(一模)答案解析一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。1.(4分)已知集合A={x||x-1|＜2},B={x|x＞0},则.【解答】解：已知集合A={x||x-1|＜2}={x|-1＜x＜3},又B={x|x＞0},则.A∩B={x|0＜x＜3}.故答案为:{x|0＜x＜3}.2.(4分)函数y=x+1x−2的定义域是(-∞,-110·【解答】解：根据题意：x+1x−2≥0,解得x故函数的定义域为(-∞,-1]∪(2,+∞).故答案为:(-∞,-1]∪(2,+∞).3.(4分)x−3x9的二项展开式中x²的系数是-【解答】解：x−3第r+1项为Tr+1=C9rx9−r⋅−取r=1,可得T2=−3×C94.(4分)已知α∈−132332【解答】解：α=−13时，幂函数y=x−1α=23时，幂函数y=xα=32时，幂函数y=x325.(4分)若事件A、B互斥,且P(A)=0.4,P(A∪B)=0.6,则P(B)=0.2.【解答】解:事件A、B互斥,且P(A)=0.4,P(A∪B)=0.6,第1页/共14页则P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.6-0.4=0.2.故答案为:0.2.6.(4分)已知复数z是实系数一元二次方程.x2+bx+2【解答】解：由实系数一元二次方程复数根的性质知.zz=∣z∣2=7.(5分)已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为6π，则该圆锥的体积为45π3【解答】解:设圆锥母线长为l,高为h,因为侧面积为6π,所以2πl=6π,l=3,则h=32−22=8.(5分)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是336.【解答】解：由题意知本题需要分组解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A²种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C₁，A²种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+9.(5分)已知双曲线C的焦点分别为F₁(-1,0)和F₂(1,0),若点P为C上的点,且满足PF2⊥F1F2,sin∠P【解答】解:因为双曲线C的焦点分别为F₁(-1,0)和F₂(1,0),所以c=1,因为PF2⊥F1F2,sin∠PF1设∣PF1∣=所以k=12,又由c2=a2+b其渐近线方程为y=±bax=±3x,即则点F₁(-1，0)到该直线的距离为d=∣3×第2页/共14页10.(5分)小虹同学要在边长为10的正方形纸片RSNM上剪出一个等腰梯形ABCD的图案，如图所示，腰AB、CD与正方形内的抛物线Γ分别相切于E、F两点，其中Γ的顶点O为RM的中点，若当点E到RM的距离为4.5时，EF=6,，则当等腰梯形ABCD的面积取到最小值时，EF=6.32【解答】解：以O为原点，RM为x轴，RM的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=−2py,p＞0,当点E到RM的距离为4.则E(-3,-4.5),代入抛物线x2=-2py,p＞0,解得p=1,则x2=−2设y=-10,则.x=±25,因为y=−12x2,所以y'=−x,kCD=−x0,则直线CD的方程为y+1故S当且仅当x0=10x0时，即x0=10时，等号成立，故当x0=10时第3页/共14页11.(5分)若x∣lgx2+2【解答】解：由题意知，方程.gx2+2x−lga⋅ex−1=0有解，可化为x2+令fx=x当0＜x＜1时,f(x)＞0,f(x)单调递增,当x＞1或x＜-2时,f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上单调递减,且当x→-∞时,f(x)→+∞,x→+∞时,f(x)→0,所以f(x)的大致图像如图所示：因为f所以f(x)在(-∞,-2)∪(0,+∞)上的值域为((),即a的取值范围是(0,4e12.(5分)已知空间中四个单位向量ā，b，c，ā满足∣a−b∣=∣c−d【解答】解：设ā=(0,0,1),ā=(cosθ₁cosφ₁,cosθ₁sinφ₁,sinθ₁),b=(cosθ₂cosφ₂,cosθ₂sinφ₂,sinθ₂),其中θ₁∈[-90°,90°],φ₁∈[-180°,180°],i=1,2,|C-dP=C²+d²-2C-d=1⇒C.d=12∴可设d=−32012,同理，a⋅b第4页/共14页当sinθ₁最大时,φ1=φ∴3∣∴sin故答案为：33二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑。13.(4分)已知x、y为实数,则“x3＞y3”A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.非充分又非必要【解答】解：因为x3＞y3,所以x＞y，因为2x＞命题“若x＞y+1,则x＞y”为真命题,即2命题“若x＞y,则x＞y+1”为假命题,即.x3＞y所以“x³＞y³”是“2x14.(4分)已知f(x)={tanx,x＞0,−f(x+π),x＜0.若A.−2π3 B.−π3 C.【解答】解： f−2πf−π3=−f2π3fπ6f2π3第5页/共14页15.(5分)如图,已知点A、B、C、D在表面积为12π的球O的球面上,且(O∈BD,OA⟂平面BCD，点E为BC中点，当二面角A-BC-D的大小为π3ππA.异面直线AE和CD所成角的大小为π6B.直线EA与平面πC.sinD.△BED的面积为2【解答】解：设球O的半径为r，因为球的表面积为12π，可得4πr2因为O和E分别为BD,BC的中点,所以OE∥CD,所以OE⊥BC,又因为OA⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以BC⊥OA,因为(OA∩OE=O,且OA,OE⊂平面AOE,所以BC⊥平面AOE,又因为AE⊂平面AOE,所以BC⊥AE,所以∠AEO为二面角A-BC-D的平面角，所以∠AEO=在直角△AOE中，可得AE=对于A，由OE∥CD，可得异面直线AE和CD所成角，即为直线AE和OE所成角，因为∠AEO=π3,所以异面直线AE和CD所成角的大小为π对于B,过点E作EF⊥BD,垂足为F,因为OA⊥平面BCD,EF⊂平面BCD,所以EF⊥OA,又因为OA∩BD=O,且OA,BD⊂平面ABD,所以EF⊥平面ABD,所以∠EAF即为直线EA与平面ABD所成角，在直角△BOE中,OB=3,OE=1,可得第6页/共14页所以sin∠EAF=EFAE=对于C,在直角△ABE中,AE=2,BE=2所以sin∠ABE=AEAB=所以sin2∠ABE=对于D，由△BED的面积为S=12BD⋅EF=故选:D.16.(5分)若每一项均为正数的数列{an}的前n项和为sn，若对于任意的正整数n，均存在正整数使得an−Sman①存在等比数列{an},使得{an}具有“P性质”;②若{an}具有“P性质”,记△n=Sm+1A.①和②都为真命题 B.①和②都为假命题C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题【解答】解：对于①，因为数列{an}每一项均为正数，故S又对于任意的正整数n，均存在正整数m使得a故存在正整数m使得Sm≤a设an=2其中an−S第7页/共14页解得2当n=1时,取m=1,满足要求,对任意的正整数n≥2，均存在正整数m=n-1，使得上式成立，an=2n具有“P性质”，故存在等比数列{an}，使得对于②,当n=1时,Sm≤a1＜Sm+当n=2时,Sm≤a2＜Sm+{△n}为等差数列，故公差为(a1−a假设a1＜a2,,则当n→+∞时,△n故a1=a2易知a3＜S3,若若a3∈S1S2,则同理易知a4＜S4,若所以a4＜S3,△或△4=S2−a同理a5＜S4,△5=或△5=S3−a5=a依次类推可得，当n≥3时，每一个an的最大值为2当n≥3时, Sn=故选:A.三、解答题(不大题共5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤。17.(14分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，点E为PC中点.(1)若点F是线段BD上的动点，求证：直线EF与直线PA不相交；(2)若PC⊥平面ABCD,AC=BD,EC=1,求点A到平面EBD的距离.第8页/共14页【解答】解:(1)证明:连接AC交BD于点O,连接OE,如图所示:因为四边形ABCD为菱形，所以O为AC的中点，所以在△PAC中有,由O,E分别是AC,PC的中点,所以PA∥OE,又OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,所以PA//平面BDE,又因为EF⊂平面BDE，所以直线EF与直线EF没有公共点，即直线EF与直线EF不相交；(2)因为PC⊥平面ABCD,点E为PC中点,所以EC⊥平面ABCD即EC⊥平面ABD,所以EC为三棱锥E-ABD的高,且EC=1,因为四边形ABCD为菱形，且AC=BD，所以菱形ABCD为边长是2正方形，所以S△ABD=12×2在Rt△OCE中,OE=即为△DBE的高，所以S设点A到平面EBD的距离为h，由等体积法得：VE−ABD=VA−EBD,即13×2×1第9页/共14页18.(14分)已知ω＞0,|φ|≤π,设f(x)=cos(ωx+φ).(1)当ω=2,=π4时，试判断函数y=(2)当=−π2且函数y=f(x)的最小正周期为2π时,若在△ABC中,sin2A+sin2C−sin2【解答】解:(1)当ω=2,=π由f0=cosπ4=22≠1,所以y=f((2)当=−π2且函数y=f(x)的最小正周期为2π时，ω=2π2π=1利用正弦定理可得a2+c所以B=π3,=sinA+由于A∈02π3,可得所以3sinA+π6∈323,即f19.(14分)班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图1所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图2所示.第10页/共14页(1)求该班男生每周平均手机使用时长的第25百分位数；(2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经验分享.设事件A表示“2人中至多1名男生”，事件B表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间[11，12)”.试判断事件A和事件B是否独立，并说明理由；(3)小明老师发现本班有t位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这t位学生的数据平均数为23小时.当去掉这t位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这t位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列，那么这t位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过3?请说明理由.【解答】解:(1)由茎叶图可知男生总人数为20,所以20×25%=5,将男生每周平均手机使用时长从小到大排列，第5，6位的数据分别为12.7，12.9，所以第25百分位数为12(2)事件A和事件B不相互独立，理由如下：由4m+0.12+0.16×2+0.24=1,解得m=0.08,所以女生中每周平均手机使用时长小于12小时的人数为(45-20)×(0.08+0.08)=4,且女生中每周平均手机使用时长位于区间[10，11)有2人，位于区间[11，12)有2人，由茎叶图可知，男生中每周平均手机使用时长小于12小时的人数为2，且男生中每周平均手机使用时长位于区间[11，12)有2人，抽取的6人中，每周平均手机使用时长位于区间[11，12)的共有2+2=4人，所以P若抽取的是1名男生和1名女生且恰好有1人的每周平均手机使用时长位于区间[11，12)，其概率为C若抽取的是2名女生且恰好有1人的每周平均手机使用时长位于区间[11，12)，其概率为C21C显然P(A)P(B)≠P(AB),所以事件A和事件B不相互独立;(3)由茎叶图和频率分布直方图可知t=2+25×(0.08+0.08)=6,第11页/共14页6个数据中,男生数据为24.8,25.6,设女生数据为x₁,x₂,x₃,x₄且.x由题意可知x1+x2+又x₁,x₂,x₃,x₄成等差数列,所以.x所以这6个数据分别为:21.6,21.8,22,22.2,24.8,25.6,所以方差为1623−21所以这6位学生每周平均手机使用时长的方差不超过3.20.(18分)已知椭圆Γ:x22+y2=1的左、右焦点分别为F₁和F₂，点P是(1)当点P位于椭圆Γ的左焦点，且Q、P、F₂能构成三角形时，求△QPF₂的周长；(2)当点P位于椭圆Γ的左顶点时，直线PQ与y轴交于点B012(3)当点P与椭圆Γ的左、右顶点均不重合时，记直线PQ与椭圆Γ的另一个交点为s，过点P作直线l与椭圆Γ交于C、D两点，设M和N分别为弦QS和弦CD的中点，若P、Q、M、N为四个相异的点，∣PM+PN∣=∣MN∣,，且直线MN【解答】解：