广东省广州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题（含答案）

第第页广东省广州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆C1：x−22+y2A．外离 B．相交 C．相切 D．内含2．已知M是椭圆C：x216+y2A．椭圆的焦距为23 B．C．椭圆的离心率e=32 D．△M3．如图，在平行六面体中，M为A1C1，B1D1的交点.若DA=A．−12aC．−12a4．柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则“取出的鞋不成双”的概率是（）A．15 B．25 C．355．斜率为1的直线经过抛物线y=14x2的焦点，且与抛物线交于A，A．8 B．132 C．112 6．设直线l的方程为x−ysinθ+1=0θ∈A．0,π B．0,π4 C．π7．在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱A．53 B．32 C．528．双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过A．52 B．32 C．132二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分.9．下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是（）A． B．C． D．10．一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的数字，事件A表示“第一次的数字小于3”，事件B表示“第二次的数字为奇数”，事件C表示“两次的数字和为7”，则下列说法正确的是（）A．PA∪B=1 C．事件A和事件B相互独立 D．事件B和事件C相互独立11．我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1x≥0与半椭圆：y2b2+x2c2=1x≤0合成的曲线称作“果圆”，其中a2=bA．若半椭圆方程为x24B．若△F0C．若A1AD．若PM取得最小值，则P为“果圆”的顶点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．过点1,1，方向向量为2,−3的直线方程是.13．某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度AB=24m，拱高OP=6m，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则A14．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，已知F1，F2分别为双曲线C：x23−y2=1的左，右焦点，O为坐标原点，过C右支上一点Ax0,y0x四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球.（1）写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率；（2）分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论?16．已知直线l：x+my+1=0与以C为圆心的圆x2（1）当m=1时，求弦长AB；（2）当△ABC面积为3时，求△ABC的外接圆的方程.17．如图，把∠ABC=60°的菱形纸片ABCD沿对角线AC翻折，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，O是菱形ABCD对角线的交点.（1）证明：E，F，G，H四点共面；（2）若菱形纸片ABCD沿对角线AC翻折成直二面角，求折纸后异面直线AB，DC所成角的余弦值；（3）若菱形纸片ABCD沿对角线AC翻折到使异面直线AB，DC的所成角为π2，求平面ABC与平面ADC18．已知椭圆E：x2a2+y2b（1）求椭圆E的标准方程；（2）点A，B，D为椭圆E上不同三点，且B，D关于原点对称，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，已知平行四边形ABCD存在内切圆.（i）判断该内切圆是否为定圆，若不是，说明理由，若是，求出它的方程；（ii）求平行四边形ABCD的面积的取值范围.19．如图，边长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为底面ABCD上一动点，且满足A1M⊥AC1，过点M作（1）若以D为原点，DA为x轴，DC为y轴建立平面直角坐标系，求点P的轨迹方程.（2）以PC为直径作圆O，以圆O为底面，AA1为高作圆柱OO1，是否存在一个与平面ADD1A

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：对圆C1，圆心C12,0，半径r1=2.

圆C2：圆心距：C1C2=2故答案为：B

【分析】将两个圆的方程化为标准形式，从而确定各自的圆心坐标和半径.计算两圆的圆心距，最后根据圆心距与两圆半径之和、半径之差的大小关系，来判断两圆的位置关系.2．【答案】C【解析】【解答】解：如图：根据椭圆的标准方程：x216+y24=1，得a=4，b=2，

所以c=a2椭圆的离心率：e=c当点M为椭圆短轴端点时，△MF1F故答案为：C

【分析】围绕椭圆的基本性质展开，包括焦距、椭圆上点到两焦点距离之和（椭圆定义）、离心率以及焦点三角形面积的最大值.根据椭圆的标准方程确定a、b的值，再计算c的值，然后依次分析每个选项涉及的椭圆性质.3．【答案】D【解析】【解答】解：DM=DD1故答案为：D

【分析】用空间向量基本定理，将向量DM用已知的基底a、b、c表示出来.要先找到与DM相关的向量关系，再逐步转化为基底的线性组合.4．【答案】D【解析】【解答】解：设柜子里的3双不同的鞋为：a1,a2，b1,b2，c1,c2.

从中随机地取出2只，所有的可能情况有：a1,a2，a1,b1，a1,b2，a1,c1，a1,c2，a2,b故答案为：D

【分析】确定总的取法数，求出取出的鞋成双的取法数，得取出的鞋不成双的取法数，根据古典概型概率公式计算概率.5．【答案】A【解析】【解答】解：由题知，抛物线方程为x2=4y，所以抛物线焦点为0,1，

所以该直线方程为y−1=1×x−0，即x−y+1=0，

联立x2=4yx−y+1=0，得x2−4x−4=0，

设故答案为：A

【分析】将抛物线方程化为标准形式，求出焦点坐标，得过焦点且斜率为1的直线方程.联立直线与抛物线方程，用韦达定理得到两根之和，根据抛物线的定义求出弦长|AB|.6．【答案】C【解析】【解答】解：因为θ∈0,π，所以sinθ∈0,1，

设其倾斜角为α，当sinθ=0时，直线为x+1=0，α=π2，

当sinθ∈0,1，直线l的斜率故答案为：C.

【分析】对直线方程进行分类讨论，当sinθ=0时，得特殊直线方程，确定其倾斜角；当sinθ≠0时，将直线方程化为斜截式，求出斜率表达式，根据7．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，

设底面正方形ABCD边长为a，则A1a,0,0,C0,a,0,D10,0,1,C10,a,1，

则A1C1=−a,a,0,D1A1=a,0,0,D1C=0,a,−1，

设平面A1BCD1的法向量为n=x,y,z，故答案为：B.

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面A1BCD1的法向量，再用向量的夹角公式求出直线8．【答案】C【解析】【解答】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G所以OG⊥NF1，因为cos∠所以|OG|=a，|OF1|由cos∠F1NF2=35在△F2=sin由正弦定理得2csin所以|NF又|NF1|−|NF2|=3a+4b2−5a2=4b−2a2=2a，所以2b=3a，即ba=32，所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=132.

此外，除官方给出答案外，还存在另一种切线与双曲线交于同一支的情况(以下只给出解析过程，目前暂未发现官方给出说明，故单选题题型与答案暂不更改)

如图所示，当切线与双曲线交于同一侧时，过点F2作F2⊥MN，由(1)得，OG1=a，易得F2H=2a，

又∵cos∠故选：C(A选项亦正确).【分析】依题意设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，可判断N在双曲线的右支，设∠F1NF2=α，∠F2F1N=β，即可求出sinα，sinβ，9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对A：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则l→=(2,2,−2)，M(1,0,2),N(0,0,1),P(0,1,2)，

则MN→=(−1,0,−1)，MP→=(−1,1,0)，

因为l→所以l⊥MN,l⊥MP，且MN,MP是平面MNP内的两条相交直线，所以l⊥面MNP，故A正确；对B：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，

则l→=(2,2,−2)，M(1,0,0),N(2,2,1),P(0,1,0)，

则MN→=(1,2,1)，MP→=(−1,1,0)，

因为所以l⊥MP，但是l与MN都不垂直，所以l与面MNP不垂直，故B错误；对C：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，

则l→=(2,2,−2)，M(2,0,1),N(0,2,1),P(1,0,0)，

则MN→=(−2,2,0)，MP→=(−1,0,−1)，

因为l→所以l⊥MN,l⊥MP，且MN,MP是平面MNP内的两条相交直线，所以l⊥面MNP，故C正确；对D：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，

则l→=(2,2,−2)，M(1,0,0),N(0,2,1),P(2,1,2)，

则MN→=(−1,2,1)，MP→=(1,1,2)，

因为l→⋅MN→=0，所以l→⊥MN→，因为l故选：ACD【分析】建立空间直角坐标系，求出直线l的方向向量以及平面MNP中各边的向量，用向量垂直的判定（向量点积为0），判断直线l是否与平面MNP内的两条相交直线垂直，若垂直则直线l垂直于该平面.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题PA=PB=对A，PA∪B对B，PB∪C故答案为：BCD.

【分析】确定每次抛掷正四面体可能出现的数字，分别计算事件A、B、C的概率，及它们的交事件的概率.根据独立事件的定义（若P(AB)=P(A)P(B)，则A、B独立）判断事件是否独立，用并事件概率公式P(M∪N)=P(M)+P(N)−P(MN)计算并事件概率.11．【答案】B,C【解析】【解答】解：对A：根据半椭圆的方程x24+y23=1x≥0，可得：a=2，b=3，所以c=1，

该半椭圆的离心率为：e1=12；另外的半椭圆方程为：y23+x2=1x≤0，其离心率为：e2=23=63.

所以两个半椭圆离心率的乘积为：12×63=66，故A错误；

对B：因为F0c,0，F10,−b2−c2，F20,b2−c2，且△F0F1F2是边长为1的等边三角形，

所以F0F2=b2−c2+c2=b=1，F1F故答案为：BC【分析】围绕“果圆”的定义，结合椭圆的性质，如离心率、方程、顶点距离等，对各个选项进行分析判断.要根据椭圆的基本公式，如离心率公式e=ca（a为长半轴，12．【答案】3x+2y−5=0【解析】【解答】解：因为直线的方向向量为2,−3，所以直线的斜率为：k=−32.

又直线过点1,1，所以直线方程为：y−1=−3故答案为：3x+2y−5=0

【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，用直线的点斜式方程，结合已知过的点，求出直线方程.13．【答案】3【解析】【解答】解：如图：建立平面直角坐标系.设过点A,P,B的圆的方程为：x2+y−b2=r2.

因为点B12,0，P0,6在圆上，所以122+b2=r20+6−b2=r2，解得故答案为：3

【分析】建立平面直角坐标系，设出圆的标准方程，将已知点代入方程求出圆的方程，将A1对应的横坐标代入圆的方程，求出纵坐标，进而得到A14．【答案】3【解析】【解答】解：如图：根据双曲线的标准方程：x23−y2=1，得：a=3，b=1，c=2.

延长F1H，交直线AF2于点E，由题意：AM平分∠F1AE，

又F1H⊥AM，所以AF1=AE，且H为故答案为：3【分析】根据双曲线方程确定基本参数，再利用双曲线的光学性质得到线段相等关系，结合双曲线的定义，最后运用三角形中位线定理求出|OH|的长度.15．【答案】（1）解：设三个红球记为：r1，r2，r3r1,r2,r3，r1,r3,r2，r2,r1,r3，r2,r3,r1，r3,r1,r2，r3,第一次摸到红球的基本事件有：r1,r2,r3，r1,r3,r2，r2,r1,r3，r2,r3,r1，r3,r（2）解：第二次摸到红球的基本事件有：r1,r2,r3，r1,r3,r2，r2,r1,r3，r2,r3,r1，r3,r第三次摸到红球的基本事件有：r1,r2,r3，r1,r3,r2，r2,r1,r3，r2,r3,r1，r3,r1,【解析】【分析】（1）列出所有可能的摸球顺序构成样本空间，再找出第一次摸到红球的基本事件数.

（2）同理找出第二次、第三次摸到红球的基本事件数，进而计算概率并得出结论.（1）设三个红球记为：r1，r2，r3从中不放回地依次随机摸出3个球，该实验的样本空间为：r1,r2,r3，r1,r3,r2，r2,r1,r3，r2,r3,r1，r3,r1,r2，r3,第一次摸到红球的基本事件有：r1,r2,r3，r1,r3,r2，r2,r1,r3，r2,r3,r1，所以第一次摸到红球的概率为：P1（2）第二次摸到红球的基本事件有：r1,r2,r3，r1,r3,r2，r2,r1,r3，r2,r3,r1，所以第二次摸到红球的概率为：P2第三次摸到红球的基本事件有：r1,r2,r3，r1,r3,r2，r2,r1,r3，r2,r3,r1，所以第三次摸到红球的概率为：P3结论：抽签的概率与抽签顺序无关.16．【答案】（1）解：当m=1时，直线l：x+y+1=0，以圆心0,1半径为2，圆x2+y−12=4，

所以圆心到直线距离为d=（2）解：设圆心到直线距离为d，则弦长AB为24−d2，

当△ABC面积为12AB×d=d4−d2=3时，d=1或d=3，

所以m+11+m2=1或m+11+m2=3，解得m=0，所以l:x+1=0，

联立x=−1x2+(y−1)2=4，解得x【解析】【分析】（1）对求弦长，先根据直线方程和圆的方程，求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式l=2r2−d2（l（2）根据三角形面积公式结合弦长公式求出圆心到直线的距离，进而确定直线方程，再求出A、B两点坐标，最后根据外接圆的性质求出外接圆方程.（1）当m=1时，直线l：x+y+1=0，以圆心0,1半径为2，圆x2所以圆心到直线距离为d=2所以弦长AB=2（2）设圆心到直线距离为d，则弦长AB为24−当△ABC面积为12AB×d=d4−d所以m+11+m2=1或所以l:x+1=0，联立x=−1x2+不妨设A(−1,1+3设△ABC外接圆的方程为x2将A(−1,1+3得：D−(1+3)E−F=5+23所以△ABC外接圆的方程为x217．【答案】（1）证明：

如图，连接EF,HG.

∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

∴EF//AC,HG//AC，∴EF//HG，

∴E，F，G，H四点共面.（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC，△ACD为等边三角形，AC⊥OD,AC⊥OB.

设菱形ABCD的边长为2，则OA=OC=1,OB=OD=3.

∵二面角B−AC−D为直二面角，∴平面ABC⊥平面ACD，

∵平面ABC∩平面ACD=AC，OD⊥AC，OD⊂平面ACD，

∴OD⊥平面ABC.

以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1,0,0,B0,3,0,C−1,0,0,D0,0,3，

∴AB=−1,3,0（3）解：设菱形ABCD的边长为2，则OB=OD=3.

如图，连接OB,OD,CE,DE.

∵△ABC为等边三角形，∴AB⊥CE，

∵异面直线AB，DC的所成角为π2，∴AB⊥DC，

∵DC,CE⊂平面CDE，DC∩CE=C，∴AB⊥平面CDE，

∵DE⊂平面CDE，∴AB⊥DE，∴AD=BD=2.

∵AC⊥OD,AC⊥OB，OB⊂平面ABC，OD⊂平面ADC，平面ABC∩平面ACD=AC，

∴∠BOD为二面角B−AC−D的平面角.

∵cos∠BOD=OB2+OD2−BD【解析】【分析】（1）用三角形中位线定理证明线线平行，进而证明四点共面.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值.（3）根据异面直线所成角为π2（1）如图，连接EF,HG.∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，∴EF//AC,HG//AC，∴EF//HG，∴E，F，G，H四点共面.（2）∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD为等边三角形，AC⊥OD,AC⊥OB.设菱形ABCD的边长为2，则OA=OC=1,OB=OD=3∵二面角B−AC−D为直二面角，∴平面ABC⊥平面ACD，∵平面ABC∩平面ACD=AC，OD⊥AC，OD⊂平面ACD，∴OD⊥平面ABC.以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1,0,0∴AB=−1,3∴异面直线AB，DC所成角的余弦值为14（3）设菱形ABCD的边长为2，则OB=OD=3如图，连接OB,OD,CE,DE.∵△ABC为等边三角形，∴AB⊥CE，∵异面直线AB，DC的所成角为π2，∴AB⊥DC∵DC,CE⊂平面CDE，DC∩CE=C，∴AB⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AB⊥DE，∴AD=BD=2.∵AC⊥OD,AC⊥OB，OB⊂平面ABC，OD⊂平面ADC，平面ABC∩平面ACD=AC，∴∠BOD为二面角B−AC−D的平面角.∵cos∠BOD=∴平面ABC与平面ADC的夹角的余弦值为1318．【答案】（1）解：易知c=22，即a2=b2+8，又点P22,2在椭圆上，

所以a（2）解：（i）如图：因为点A，B，D为椭圆E上不同三点，且B，D关于原点对称，

以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，所以C点也在椭圆E上.

又▱ABCD存在内切圆，所以圆心必为O0,0，

设圆的半径为r.所以点O到直线AB，BC，CD，DA的距离相等，均为r，

又△AOB，△BOC，△COD，△DOA的面积相等，

所以AB=BC所以AC⊥BD.当直线AC存在斜率，且斜率不为0时，

设直线AC：y=kx，由y=kxx216+y28=1⇒x2=161+2k2，

不妨取A-41+2k2,-4k1+2k2.用−1k代替k，可得B-41+2k（ii）当直线AC斜率为0或不存在时，S▱ABCD=4×12×4×2S▱ABCD=4S△AOB=2OA⋅OB=216k2+11+2k2⋅16k2+1k2+2=32k2+11+2k2【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦距和椭圆上一点的坐标，结合椭圆的基本性质a2（2）（i）分析平行四边形的性质，判断内切圆是否为定圆，若为定圆则求出其方程；

（ii）通过表示平行四边形的面积，结合函数性质求取值范围.（1）易知c=22，即a2=所以a2=b所以椭圆E标准方程为：x2（2）（i）如图：因为点A，B，D为椭圆E上不同三点，且B，D关于原点对称，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，所以C点也在椭圆E上.又▱ABCD存在内切圆，所以圆心必为O0,0，设圆的半径为r所以点O到直线AB，BC，CD，DA的距离相等，均为r，又△AOB，△BOC，△COD，△DOA的面积相等，所以AB=BC=所以AC⊥BD.当直线AC存在斜率，且斜率不为0时，设直线AC：y=kx，由y=kxx216+y用−1k代替k，可得由OA2⋅OB即r2当直线AC斜率为0时，可取A4,0，B0,22，则r=当直线AC不存在斜率时，类似可得：r2所以该内切圆为定圆，其方程为：x2（ii）当直线AC斜率为0或不存