上海市浦东新区2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

第第页上海市浦东新区2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．两条异面直线所成角的范围是．2．记事件A的对立事件为A，若PA=13，则3．表面积为16π的球的体积是（结果保留π4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为．5．某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为.6．已知PA=0.2,PB=0.77．若五个数a,0,1,2,3的平均数为1，则这五个数的方差等于.8．有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为．9．“石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则为：石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.两人参加游戏，若两人都随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为.10．若平行四边形A'B'C'D'是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABCD的直观图.已知A'B11．设地球的半径为R，若A在北纬30∘的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为.（结果用R12．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13．“平面α内有一条直线l，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是（）A．l⊂αA⊂l⇒A⊂α C．l∈αA⊂l⇒A∈α 14．已知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且PA=0.1，PCA．0.06 B．0.5 C．0.6 D．0.715．“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meterApertureSphericalradioTelescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（）A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据16．某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（）.A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散C．讲座前答卷得分的中位数是70D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17．如图，在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=120∘，将△ABC绕BC（1）求这个旋转体的体积；（2）求这个旋转体的表面积.18．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C（1）求异面直线EF与BC所成角的大小；（2）求点D到平面AEF的距离.19．如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC=BC.（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线EC与平面ABE所成角的大小.20．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=3（1）若AD⊥PB，证明：AD//平面PBC（2）求二面角P−BC−A的大小.21．2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组45,55，第二组55,65，第三组65,75，第四组75,85，第五组85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．

答案解析部分1．【答案】0,【解析】【解答】解：根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是为0,π故答案为：0,π【分析】根据异面直线所成角的取值范围，从而得出答案.2．【答案】2【解析】【解答】解：因为PA=1故答案为：23【分析】本题主要考查了对立事件概率的计算，根据题意，由对立事件的概率公式，进行计算，即可得到答案.3．【答案】32【解析】【解答】解：设球的半径为R，则4π所以球的体积为4π3故答案为：32π【分析】本题主要考查了球的表面积和体积公式的应用，根据球的表面积，列出方程，求得球的半径，结合球的体积公式，即可求解.4．【答案】3【解析】【解答】解：5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，基本事件总数n=C5恰有一件次品包含的基本事件个数m=C3∴恰有一件次品的概率p=mn=610=故答案为：35【分析】先求出基本事件总数，再求出恰有一件次品包含的基本事件个数，由此能求出恰有一件次品的概率．5．【答案】2【解析】【解答】解：记取到红球为事件A，取到蓝球为事件B，取到的球不是红球也不是蓝球为事件C.所以P(A)=5290=由题意，C=A+B，且A则P(C)=1−P(A+B)=1−P(A)−P(B)=6故答案为：215【分析】根据题意，记取到红球为事件A，取到蓝球为事件B，取到的球不是红球也不是蓝球为事件C.得到P(A)和P(B)，结合A，B互斥，得到6．【答案】0.9【解析】【解答】解：因为PA所以PA∪B故答案为：0.9【分析】本题主要考查了互斥事件的概率计算，根据题意，结合A，B互斥，利用PA∪B7．【答案】2【解析】【解答】解：由a=1×5−1−2−3−0=−1，方差=15(−1−1)【分析】本题考查的是平均数和方差的求法，根据平均数公式，求出a的值，再用方差的公式计算，进行计算，即可得到答案.8．【答案】7.5【解析】【解答】解：由题意可知：5≤x≤8，极差为10-3=7，平均数163+5+x+8+9+10=1635+x，

则1635+x故答案为：7.5.

【分析】根据题意结合极差、平均数的定义可得x=7，进而求中位数.9．【答案】2【解析】【解答】解：由题意，可得：石头剪刀布石头石头、石头石头、剪刀石头、布剪刀剪刀、石头剪刀、剪刀剪刀、布布布、石头布、剪刀布、布从表中可以看出，两个人每次随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为69故答案为：23【分析】本题主要考查了古典摡型的概率计算，根据题意，列出表格，求得基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的格式，结合古典概型概率公式，即可求解.10．【答案】4【解析】【解答】解：如图，过点D'作D'E⊥A'由平行四边形A'B'∵A'B'=4，∴D∴原平面图形ABCD中，∠DAB=90°，AD=2A故答案为：42【分析】过点D'作D'E⊥A'B'于点E，得到△11．【答案】3【解析】【解答】解：如图所示：

则点A所在小圆半径r=R⋅cos所以小圆的面积为S=π故答案为：3π【分析】根据球的截面圆的性质，求得小圆的半径为r=312．【答案】2【解析】【解答】解：作出该图形的一个最大的水平截面正八边形ABCDEFGH，如图，其八个顶点都在边长为1的正方形上，设“半正多面体”棱长为a，则22a×2+a=1，解得故答案为：2−1【分析】根据题意，作出该图形的一个最大的水平截面正八边形ABCDEFGH，其中八个顶点都在边长为铁正方形边上，设“半正多面体”棱长为a，由此计算出棱长，得到答案.13．【答案】B【解析】【解答】解：∵平面α内有一条直线l，

∴l⊂α，∵点A在直线l上，

∴A∈l，∴A∈α.故答案为：B.【分析】根据点与线、点与面的关系是元素和集合的关系，再结合线与面的关系是集合与集合的关系，从而判断找出正确的选项.14．【答案】D【解析】【解答】解：因为B与C互为对立，PC所以PB又因为A与B互斥，所以PA∪B故答案为：D.【分析】根据对立事件和互斥事件求概率公式，从而得出PA∪B15．【答案】C【解析】【解答】“中国天眼”主要是通过观察获取数据.故选：C.【分析】根据“中国天眼”的设计原理，结合获取数据的途径，分享判断，即可求解.16．【答案】C【解析】【解答】解：对于A，由茎叶图知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，故A正确；对于B，因为讲座前的答卷得分分布在50∼90之间，又因为讲座后得分分布在80∼100之间，因此讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，故B正确；对于C，因为讲座前答卷得分依次为50,55,60,60,65,70,70,75,80,90，

其中位数为67.5，故C错误；对于D，因为讲座前答卷得分的极差为90−50=40，讲座后得分的极差为100−80=20，所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，故D正确.故答案为：C.【分析】利用茎叶图分析判断选项A和选项B；利用中位数判断选项C；利用极差判断选项D，从而找出叙述错误的选项.17．【答案】（1）解：△ABC绕BC轴旋转一周，形成的几何体（一个大圆锥挖去一个小圆锥余下的部分）如图所示.在Rt△AOB中，∠ABO=60∘，AB=4，∴OB=∴OC=OB+BC=5.设旋转体的底面面积为S，旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为S1和SV=V​​​​​​​（2）解：由（1）得旋转体的表面积S表【解析】【分析】（1）根据题意，得到旋转体是两个圆锥的组合体，利用圆锥的体积公式，进行计算，即可得到旋转体的体积；

（2）根据组合体，利用圆锥的表面积，进行计算旋转体的表面积，即可得到答案；（1）△ABC绕BC轴旋转一周，形成的几何体（一个大圆锥挖去一个小圆锥余下的部分）如图所示.在Rt△AOB中，∠ABO=60∘，AB=4，∴OB=∴OC=OB+BC=5.设旋转体的底面面积为S，旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为S1和SV=V（2）由（1）得旋转体的表面积S表18．【答案】（1）解：连接D1B，D1C，因为所以EF//D1B，故异面直线EF与BC又BC⊥平面DD1CC1所以BC⊥D所以tan∠故异面直线EF与BC所成的角为arctan2​​​​​​​（2）解：在正方体中ABCD−A1B1C所以ED⊥平面ADF，且ED=因为F是线段BD的中点，所以S△ADF故三棱锥E−ADF的体积V=1因为E,F分别为线段DD所以EF=1又因为AE=5所以在△AEF中满足EF2+A则S△AEF设点D到平面AEF的距离为d，则三棱锥E−ADF的体积V=13S因此点D到平面的距离为63【解析】【分析】（1）连接D1B，D1C，因为E,F分别为线段DD1,BD的中点，得到直线EF和直线BD1平行，得到∠（2）利用棱锥的体积公式，求得三棱锥E−ADF的体积V=13S（1）连接D1B，D1C，因为所以EF//D1B，故异面直线EF与BC又BC⊥平面DD1CC1所以BC⊥D所以tan∠故异面直线EF与BC所成的角为arctan2（2）在正方体中ABCD−A1B1C所以ED⊥平面ADF，且ED=因为F是线段BD的中点，所以S△ADF故三棱锥E−ADF的体积V=1因为E,F分别为线段DD所以EF=1又因为AE=5所以在△AEF中满足EF2+A则S△AEF设点D到平面AEF的距离为d，则三棱锥E−ADF的体积V=13S因此点D到平面的距离为6319．【答案】（1）证明：由ACDE是正方形，则AM⊥EC，因为面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，AC⊥BC，BC⊂面ABC，所以BC⊥面ACDE，又AM⊂面ACDE，所以BC⊥AM，又因为EC∩BC=C，EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，所以AM⊥平面EBC.（2）解：过C作CF⊥AB交AB于F，连接EF，因为ACDE是正方形，则AE⊥AC，因为面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，AE⊂面ACDF，所以AE⊥面ABC，又CF⊂面ABC，所以AE⊥CF，又因为CF⊥AB，AE∩AB=A，AE⊂面ABE，AB⊂面ABE，所以CF⊥面ABE，所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成角，因为正方形ACDE边长为2，AC=BC，AC⊥BC，所以CF=2，EC=2所以sin∠CEF=因为∠CEF∈0,所以∠CEF=π6，即直线EC与平面ABE所成角的大小为【解析】【分析】（1）由ACDE是正方形，得到AM⊥EC，再由面ACDE⊥面ABC，结合面面垂直性质定理，得到BC⊥面ACDE，证得BC⊥AM，利用线面垂直的判定定理，即可证得AM⊥平面EBC；（2）过C作CF⊥AB交AB于F，连接EF，由面ACDE⊥面ABC，结合面面垂直性质定理，得到AE⊥面ABC，证得AE⊥CF，由线面垂直的判定定理，证得CF⊥面ABE，得到∠CEF即为直线EC与平面ABE所成角，结合sin∠CEF=CFCE，即可求得线EC（1）由ACDE是正方形，则AM⊥EC，因为面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，AC⊥BC，BC⊂面ABC，所以BC⊥面ACDE，又AM⊂面ACDE，所以BC⊥AM，又因为EC∩BC=C，EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，所以AM⊥平面EBC.（2）过C作CF⊥AB交AB于F，连接EF，因为ACDE是正方形，则AE⊥AC，因为面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，AE⊂面ACDF，所以AE⊥面ABC，又CF⊂面ABC，所以AE⊥CF，又因为CF⊥AB，AE∩AB=A，AE⊂面ABE，AB⊂面ABE，所以CF⊥面ABE，所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成角，因为正方形ACDE边长为2，AC=BC，AC⊥BC，所以CF=2，EC=2所以sin∠CEF=因为∠CEF∈0,所以∠CEF=π6，即直线EC与平面ABE所成角的大小为20．【答案】（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，AD⊂面ABCD，所以PA⊥AD，又因为AD⊥PB，PA∩PB=P，PA⊂面PAB，PB⊂面PAB，所以AD⊥面PAB，因为AC=2,BC=1,AB=3所以AB2+B又因为PA⊥底面ABCD，BC⊂面ABCD，所以PA⊥BC，又PA∩AB=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，所以BC⊥面PAB，所以AD//BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面所以AD//平面PBC（2）解：由（1）可知，BC⊥面PAB，因为PB⊂面PAB，所以BC⊥PB，又因为AB⊥BC，所以∠PBA即为二面角P−BC−A的平面角，在Rt△PAB中，PA=2,AB=所以tan∠PBA=所以∠PBA=arctan所以二面角P−BC−A的大小为arctan2【解析】【分析】（1）由PA⊥底面ABCD，得到PA⊥AD，再由AD⊥PB，利用线面垂直的判定定理，证得AD⊥面PAB，结合AB2+BC2=AC2，得到AB⊥BC，利用PA⊥底面ABCD，证得PA⊥BC，进而证得（2）由（1），得到BC⊥PB和AB⊥BC，得出∠PBA即为二面角P−BC−A的平面角，在Rt△PAB中，结合tan∠PBA=PA（1）因为PA⊥底面ABCD，AD⊂面ABCD，所以PA⊥AD，又因为AD⊥PB，PA∩PB=P，PA⊂面PAB，PB⊂面PAB，所以AD⊥面PAB，因为AC=2,BC=1,