浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高二上学期期末数学试题（含答案）

第第页浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高二上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．下列方程所表示的直线中，倾斜角为π4A．2x−y−1=0 B．x+2y−1=0 C．x−y−1=0 D．x+y−1=02．已知平面α⊥平面β,α,β的法向量分别为n1=1,2,3A．3 B．-3 C．2 D．-23．已知等比数列{an}A．55 B．110 C．511 D．10234．已知直线l:x−y+1=0，圆C:x−22+y2A．相交 B．相切C．相离 D．以上都有可能5．已知椭圆C:x24+y2=1，过原点OA．105 B．2105 C．36．正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别是A1D1,AA．先变大后变小 B．先变小后变大C．不变 D．无法判断7．斐波那契数列an因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列an满足a1A．a2025 B．a2024 C．a20258．已知直线l过点P−2,0交抛物线C:y2=4x于A,B两相异点，点B关于x轴的对称点为B'，过原点O作直线AA．x−12+yC．x−22+y二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知曲线C:xA．当2<t<4时，曲线C是椭圆B．当t>4或t<2时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则2<t<3D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则2<t<410．已知等差数列an的前n项和为SA．a1=28 C．数列an为单调递减数列 D．Sn11．已知点M4,1，若过点N2,−1的直线l交圆C:x2+y2A．AB的最大值为6 B．AB的最小值为4C．RM⋅RN的最小值为-1 D．12．在三棱锥A−BCD中，AB=CD=2,AC=BD=3,AD=BC=5,E,F,G,H分别是线段AB,AC,CD,BD上的点，且满足BC∥平面EFGH,ADA．四边形EFGH为矩形B．三棱锥A−BCD的外接球的半径为6C．FGD．四边形EFGH的面积最大值为6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知空间向量a=2,−4,0,b=−1,x,y，且a14．抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，点A为抛物线上一点，满足∠AFO=2π3（O为坐标原点），AK⊥l，垂足为K15．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F16．已知正项数列an的前n项和为Sn，若2Sn=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．如图所示，在棱长均相等的平行六面体ABCD−A1B1C（1）设AB=a,AD=（2）求证：平面A1BD⊥平面18．在数列an中，已知an+1+（1）求证：an（2）求数列an的前n项和S19．如图，已知△ABC中，AC=BC=3,AB=3，D是AB上一点，且AD=CD，将△ADC沿CD翻折至△PDC，（1）求证：BC⊥PD；（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值．20．已知双曲线E:x2a2−y2（1）求双曲线E的标准方程；（2）过点0,1的直线l与双曲线E交于C,D两点．设AC,BD的斜率分别为k1,k2，若21．已知等差数列an的前n项和为Sn，满足（1）求S100（2）设bn=an⋅qn22．已知椭圆C:x2a2+（1）求椭圆C的标准方程；（2）圆F的圆心为椭圆C的右焦点，半径为r，过点F的直线与椭圆C及圆F交于A,P,Q,B四点（如图所示），若存在|PQ|2=|AP||BQ|，求圆F

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、直线2x−y−1=0的斜率为k=-AB=-B、直线x+2y−1=0的斜率为k=-AB=-C、直线x−y−1=0的斜率为k=-AB=-D、直线x+y−1=0的斜率为k=-AB=-故答案为：C.【分析】先将直线斜截用公式k=-A2．【答案】B【解析】【解答】解：∵平面α⊥平面β，∴平面α,β的法向量也垂直，即n1⋅n故答案为：B.【分析】先利用平面α,β互相垂直可得对应的法向量也垂直，再然后用空间向量垂直的坐标运算即可求解.3．【答案】D【解析】【解答】解：设等比数列的公式为q，由a1=1，a2=2故答案为：D.【分析】设等比数列的公式为q，由题意结合等比数列的求和公式求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：已知圆C:x−22+y2=4，则C(2,0)，半径r=2，

因为点所以直线l与圆C的位置关系是相离.故答案为：C.【分析】先根据圆的标准方程求出圆心和半径，再利用点C到直线l的距离公式d=|A5．【答案】D【解析】【解答】解：过原点O且倾斜角为π4的直线可得直线的方程为y=x，代入x24+y2=1当x=255，y=255；当则AB=故答案为：D.【分析】先利用已知条件写出直线方程y=x，与椭圆方程联立求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得.6．【答案】C【解析】【解答】解：已知如图所示：

正方体ABCD−A1B1C1四边形AA1正方形A1B1C1D1中，F,GFG⊄平面AEC，AC⊂平面AEC，则FG//平面AEC所以P由点F运动到点G时，点P到平面AEC的距离保持不变，又A,E,C三点为定点，△AEC的面积不变，所以三棱锥P−AEC的体积不变，即三棱锥A−CEP的体积不变.故答案为：C【分析】先利用等体积转化可得VA−CEP=VP−AEC，再利用△AEC的面积不变，判断点7．【答案】B【解析】【解答】解：根据斐波那契数列的递推公式an+2=则a1=a故答案为：B.【分析】先根据递推公式an+2=a8．【答案】A【解析】【解答】解：设抛物线y2=4x上两点A,B坐标为若直线AB斜率存在，则k=y则直线AB方程为：y-y1=又y12=4x1若直线AB斜率不存在，则y1此时直线AB方程为：x=x1，显然则直线AB方程可表示为：y1又AB过点P(-2,0)，故又B'为(x2,-y也即y1-y2y=4x-8根据题意可得，OQ⊥QM，故点Q在以OM为直径的圆上，且不与O,M重合；容易得该圆圆心为(1,0)，半径故Q点的轨迹方程为：x-12故答案为：A.

【分析】先求得直线AB'恒过的定点(2,09．【答案】B,C【解析】【解答】解：已知方程x2若4-t=t-2>0，表示圆，此时t=3，故A选项不正确

若4-t>t-2>0，表示焦点在x轴上的椭圆，此时t∈(2,3若4-t>0,t-2<0，表示焦点在x轴上的双曲线，此时t∈(-∞,2)，故B选项正确；若4-t<0,t-2>0，表示焦点在y轴上的双曲线，此时t∈(4,+∞)，故D选项不正确；故答案为：BC.【分析】对t的取值范围进行分类讨论，结合椭圆和双曲线的定义逐项判断即可求解.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：设等差数列an的公差为d，已知a则a1+2d=aa4因为d=−2<0，an+1-aSn=na1+nn−1故答案为：BCD.

【分析】先利用已知条件求出首项a1=27,和公差11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：当直线l与CN垂直时，圆心C到直线的距离取最大值2−02+−1−02=5，当直线l经过圆心时，AB的最大值为6，故A，B正确；设R(3cosθ,3sinθ)==8−12=16−18cos由cosθ∈[−1,1]，当cosθ=1时，当cosθ=−1时，RM故答案为：ABD【分析】利用圆的性质可得当直线l与CN垂直时，AB有最小值即可判断B，当直线l经过圆心时，AB有最大值即可判断A，设R(3cosθ,3sin12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：已知如图所示：A、BC∥平面EFGH，AD∥平面EFGH，又BC⊂面BCA，面BCA∩面EFGH=EF，所以BC//EF，同理AD//EH,AD//GF,BC//GH，而CB⋅AD=所以CB与AD不垂直，从而EF与EH也不垂直，故A选项错误；B、把题设四棱锥放入长方体中，如图所示：不妨设长方体的棱长分别为a,b,c，且a2+b2=3易知长方体的体对角线长度等于三棱锥A−BCD的外接球的半径的两倍，所以2R2=aC、由A可知BC//EF，且AD//EH,AD//GF,BC//GH，所以由截平行线段成比例得FGAD又AD=BC=D、由A可知cos∠HGF=所以sin∠HGF=设四边形EFGH的面积为S，

则S=FG等号成立当且仅当FG=故答案为：BCD.

【分析】利用CB⋅AD=1≠0即可举出反例即可判断A；先把三棱锥补放入长方体中，利用长方体的对角线长公式2R13．【答案】3【解析】【解答】解：已知a=2,−4,0,b=−1,x,y且a∥b，

因为2=-1×-2故a−b=3,−6,0，则故答案为：35【分析】先利用向量平行得到a→=-2b→，再利用向量的坐标运算求得参数14．【答案】3【解析】【解答】已知如图所示：由已知AK⊥l，则AK//过A作AH⊥x轴，垂足为H，过F作FM⊥AK，垂足为M，则AH//MF，四边形AMFH为平行四边形，所以且△AFK中以AK为底边的高即为MF，在Rt△AHF中，由抛物线的定义知AF=AK=2，又∠AFH=则AH=AFsin则S△AFK故答案为：3.

【分析】先利用∠AFO=2π3结合抛物线的定义可得∠AFH=π315．【答案】7【解析】【解答】解：已知如图所示：

因为△PQF2是正三角形，所以PQ=由双曲线定义可知QF1−QF2=2a，即在△PF1F2中，整理得：28a2=4c故答案为：7【分析】先利用△PQF2是正三角形结合双曲线的定义求出PF1和PF16．【答案】214【解析】【解答】解：已知2Sn=an2+an−2，（1）

当n=1时，2a1=2当n≥2,n∈N*时，（1）-（2）得2a整理得an因为数列an所以an−a所以an=n+1,n∈Nbn又因为y=x2+7x由b3所以，当且仅当n=4时，Sn+7a故答案为：214【分析】先利用an,Sn的关系式和等差数列的定义，从而判断出数列an17．【答案】（1）解：已知如图所示：

EF⃗=（2）证明：∵DB=a−b∴DB⋅AA1=a−b⋅c=a⋅c−b⋅c=a⋅ccosa,c−b⋅ccosb,c，

又∵【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算可得EF⃗（2）先利用向量的数量积公式得BD⊥AA1，再结合菱形性质可得（1）EF=（2）∵DB∴DB⋅又∵a=∴DB⋅AA∵底面菱形中，BD⊥AC，且AC∩AA1=A，AC,A所以BD⊥平面ACC又BD⊂平面A1∴平面A1BD⊥平面18．【答案】（1）证明：由an+1+a即an+1所以an−2n是首项为（2）解：由（1）得an所以S=2【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义结合通过凑配法即可证得an（2）由（1）先求出数列an的通项公式an=（1）由an+1+a即an+1所以an−2n是首项为（2）由（1）得an所以S=219．【答案】（1）证明：∵△ABC中，AC=BC=3,AB=3，由余弦定理，cos∠ACB=AC2+BC2−AB22AC⋅BC=3+3−923×3=−12，

∵∠ACB∈0，π∴∠ACB=120∘，∠A=∠B=30∘，

∵AD=CD，∠ACD=∠A=30∘，∴∠DCB=90∘，即BC⊥CD，

（2）解：以C为原点CB,CD分别为x,y轴，过C垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示：

∠ACD=∠A=30∘，AC=3，∠ADC=∠PDC=120∘，

由正弦定理，CDsinA=ACsin∠ADC，CD=ACsinAsin∠ADC=3×1232=1，

BC⊥平面PCD，则点P在yCz平面内，

PD=AD=CD=1，∠PDC=120∘，得P0,32,32，

又B(3,0,0)，D(0,1,0)，∴DP=【解析】【分析】（1）先利用余弦定理可得∠ACB=120∘，利用线段长度结合勾股定理可得PC⊥BC，再利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PCD，即可证（2）以C为原点建立空间直角坐标系，先利用正弦定理可得CD=1，再利用向量法求平面PBD的法向量为n=(1,（1）∵△ABC中，AC=BC=3由余弦定理，cos∠ACB=AC∴∠ACB=120∘，∵AD=CD，∠ACD=∠A=30∘，∴∠DCB=90又∵△PBC中，PC=BC=3,PB=6，PCBC,CD⊂平面PCD，BC∩CD=C，∴BC⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD.（2）以C为原点，CB,CD分别为x,y轴，过C垂直于平面BCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：C−xyz，∠ACD=∠A=30∘，AC=3由正弦定理，CDsinA=BC⊥平面PCD，则点P在yCz平面内，PD=AD=CD=1，∠PDC=120∘，得又B(3,0,0)，D(0,1,0)，∴DP=设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)∴DP⋅n=0DB⋅n=0，又∵CB=(cos故直线BC与平面PBD所成角的正弦值为520．【答案】（1）解：∵双曲线E的焦距2c=25，∴c=∵双曲线E的渐近线方程为x±2y=0，即y=±12x又a2+b2=∴双曲线E的标准方程为：x2（2）解：已知如图所示：由（1）得：A−2,0，B2,0，设Cx如图可知：直线l的斜率一定存在，则可设l:y=kx+1，由y=kx+1x24由1−4k2≠0Δ=16∴x1+∴k∵x124−∴=−8−16k+4−16解得：k=−14或k=−12，又k2则直线l的方程为：y=−14x+1【解析】【分析】（1）先利用间距25可得c=5，再利用渐近线得到ba（2）设出直线l的点斜式方程l:y=kx+1，与双曲线方程联立消元得一元二次方程，求出k的取值范围，根据根与系数关系可得x1+x2=8k1−4k2（1）∵双曲线E的焦距2c=25，∴c=∵双曲线E的渐近线方程为x±2y=0，即y=±12x又a2+b2=∴双曲线E的标准方程为：x2（2）由（1）得：A−2,0，B2,0，设Cx1如图可知：直线l的斜率一定存在，则可设l:y=kx+1，由y=kx+1x24由1−4k2≠0Δ=16∴x1+∴k∵x124−∴=−8−16k+4−16解得：k=−14或k=−12，又k2则直线l的方程为：y=−14x+121．【答案】（1）解：∵S5=3a5，∴5a1+5×42d=3(a1+4d)，得：a（2）证明：由（1）得bn=n⋅qn(0<q<1)，Tn=q1+2q2+3q3+⋯+nqn①，【解析】【分析】（1）先利用已知条件列出关于a1和d的方程，求出a1=d=1即可得（2）由（1）可得bn（1）∵S5∴5a1