第2章 特殊三角形期末复习（知识清单）（答案版）-浙教版(2024)八上

第2章特殊三角形一、轴对称图形与图形的轴对称1.轴对称图形的定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴.2.轴对称是一个图形的性质，一个图形的对称轴是一条直线，不是线段或射线；3.轴对称图形至少有一条对称轴，但是可以不止一条对称轴，如圆的对称轴有无数条，每条直径所在的直线均是圆的对称轴。4.轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段5.图形的轴对称定义：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.6.图形的轴对称性质：成轴对称的两个图形是全等图形.图形成轴对称是两个图形的位置关系.二、等腰三角形1．等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形；等腰三角形的对称轴有1条或3条．3．等腰三角形的性质定理：性质定理1等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角。性质定理2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一．4.等边三角形三个角都等于60°，三边均存在“三线合一”．5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称等角对等边.6.等腰三角形判定的其他方法：①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形；②“三线合一”的逆应用：当三角形一边上的高线和这边的中线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形；当三角形一内角的平分线与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形；7.等边三角形的判定定理①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形②有一个叫是60°的等腰三角形是等边三角形③底边与腰相等的等腰三角形是等边三角形④有两个角是60°的三角形是等边三角形三、逆命题和逆定理1.互逆命题：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。2.逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理；这两个定理叫做互逆定理。3.线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。四、直角三角形1．直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2．直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）30°角所对的直角边等于斜边的一半3．直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形4.判定直角三角形的其他方法：（1）定义法；（2）一边上的中线等于这边长的一半的三角形可以证的是直角三角形；（3）勾股定理的逆定理；5.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如图则有：在Rt△ABC中，a2+b2=c2.6.勾股定理的逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；如图：若a2+b2=c2，则有△ABC为直角三角形，∠C=90°7.在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形8.直角三角形全等的判定方法——HL斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）9.使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式：例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90°AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）10.角平分线的性质定理的逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.一、轴对称图形与图形的轴对称1.轴对称图形的性质错误：不能通过轴对称图形的性质转化等量关系，比如通过找到对称轴两边对应的边长来判断边长相等。注意：轴对称图形对称轴两边对应边相等，对应角相等，对应的图形全等，因此对应的图形的面积和周长也相等。例1如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BD∥AC交A'C于点D，若∠A【答案】130°/130度【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．根据折叠的性质和平行线的性质得到∠BCD【详解】解：∵将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A∴∠ABC∵AC∥∴∠ACB∴∠BCD∵∠BDC∴∠CBD∵∠CB∴∠A∴∠A∴∠A故答案为：130°．2.画图形的轴对称图错误：在画图形的轴对称图时，不按照对称轴的要求去画。注意：画已知图形的轴对称图，要注意原图形的位置，并确认对称轴的位置，才能画出对应点，形成对应图形。例2（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A2,4，B3,3(1)请画出△ABC关于x轴对称的△(2)请画出△ABC关于y轴对称的△(3)求△ABC【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】本题考查作图—轴对称变换、坐标与图形、三角形面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．（1）作出点A,B,C关于（2）作出点A,B,C关于（3）利用割补法求解即可．【详解】（1）解：如图：△A（2）解：如上图，△A（3）解：△ABC的面积：2×3-3.图形的轴对称的性质错误：已知条件明确了某点、某线关于对称轴对称的对应点和线的，不能根据性质进行等量代换，获得对称轴另一侧的有用条件。注意：图形的轴对称，对称轴两边的图形全等，因此对应边、角也相等；对称轴是连结对应点的线段的垂直平分线。例3如图，已知∠BAC=45°，D为∠BAC内一点，且AD=8，若点D关于AB,AC的对称点分别记作点E，F，连接EA【答案】32【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得出∠EAF=90°及【详解】解：如图所示，∵点D关于AB,AC的对称点分别记作点E，∴EA=又∵∠BAC∴EA=∴△AEF的面积为1故答案为：32．4.“将军饮马”作图错误：作图时没有正确作已知点关于“河”的对称点注意：“将军饮马”问题在作图时，一定要正确作已知点A关于“河”的对称点A’，正确步骤是作垂线并延长一倍。然后将该点与“河”对岸的另一个点B相连。例4（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(1)作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A(2)求△ABC(3)在直线l上找一点P，使得PA+【答案】(1)见解析(2)5(3)见解析【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（3）连接AB1交直线l于点P，连接PB，则PB=PB1，故【详解】（1）解：如图，△A（2）解：S△（3）解：如图，点P即为所求．二、等腰三角形1.等腰三角形两腰相等相关的分类讨论错误：题目没有明确等腰三角形哪两边是腰的，没有进行分类讨论。注意：在题目未明确等腰三角形哪两边是腰时，要进行任意两边可能相等的分类讨论。尤其，在根据已知两点，找第三点与其组成等腰三角形的，就更要有分类讨论的意识。（在直线a上找一点P使得△ABP是等腰三角形；AB可能是腰，也可能是底）例5若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为．【答案】12【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键．分腰长为2和腰长为5两种情况，分别确定三边，然后再根据三角形的三边关系判断，最后再求周长即可。【详解】解：①当等腰三角形的腰长为2时，底边长为5，∵2+2<5，∴不能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为5时，底边长为2，∵2+5=7>5，∴能构成三角形；∴等腰三角形的周长5+5+2=12．综上所述：等腰三角形的周长为12.故答案为：12．2.等腰三角形两底角相等的运用错误：在已知等腰三角形的前提下，没有将“两底角相等”的已知条件运用起来注意：在已知三角形是等腰三角形时，要第一时间将两底角相等标注在图形中，作为重要的推论。例6如图，△ABC的点A、C在直线l上，∠B=120°, ∠ACB=40°，若点P

【答案】10°或80°或20°或140°【分析】分三种情形：AB=AP，PA=【详解】解：如图，

在ΔABC中，∵∠BAC①当AB=AP时，∠AB②当PA=PB时，③当BA=BP时，综上所述，满足条件的∠ABP的值为10°或80°或20°或140°3.等腰三角形两角相等相关的分类讨论错误：和“腰相等”所犯的错误一样，忘记分类讨论注意：在题目未明确等腰三角形哪两边是腰时，要进行任意两角可能相等的分类讨论。例7等腰三角形一个外角为100°，则它的顶角为（

）A．40° B．80° C．100° D．80°或20°【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，利用平角定义，分100°的角是底角的外角和顶角的外角两种情况进行计算即可解答．【详解】解：①当100°的角是底角的外角时，则底角度数为180°-100°=80°，则它的顶角为180°-80°-80°=20°；②当100°的角是顶角的外角时，则顶角度数为180°-100°=80°；综上，这个等腰三角形的顶角为20°或80°．故选：D．4.注意等边三角形的三个角都是60°错误：在已知等边三角形的前提下，没有将“三个角都是60°”的已知条件运用起来注意：在已知三角形是等边三角形时，要第一时间将三个内角都是60°标注在图形中，作为重要的推论。例8如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，若∠1=∠2，∠DFE=80°，则【答案】40【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到∠B=60°，再由三角形外角的性质证明【详解】解：∵△ABC∴∠B∵∠DEC=∠B∴∠DEF又∵∠DFE∴∠EDF故答案为：40．5.“三线合一”在计算中的运用错误：在等腰三角形中，不能将底边上的中线、高线和顶角的角平分线联系成一条线段，典型的比如已知顶角的角平分线，则不能推出这条线段平分了底边，并与底边垂直。这样的话，两条线段的位置关系，以及底边上的数量关系相关的已知条件就没有了。注意：等腰三角形中，底边上的中线、高线和顶角的角平分线要联系到一起，已知其中任何一个条件，就要能推导出另外两个条件，这在计算中非常重要。例9如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E，F两动点分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC=40°，则当【答案】40度或40°【分析】依据题意，连接CE，先证明△CDE≌△BDESAS，得到CE=BE，从而推出当C、E、F三点共线且CF⊥AB时CE+EF最小，即此时BE+EF最小，过点C作CF'⊥AB于点F'，交AD于点E【详解】解：如图所示，连接CE，∵AB=AC，∴CD=BD，又∵DE是公共边，∴△CDE∴CE=∴BE+∴当C、E、F三点共线且CF⊥AB时CE+EF最小，即此时BE+EF最小，过点C作CF'⊥∵∠BAC∴∠BAD∵AD⊥∴∠ABD同理可得CE∵∠C∴∠CB∴∠B∴当BE+EF取得最小值时，∠BEF故答案为：40°．6.“三线合一”在证明中的运用错误：与“5”类似，如果不能在三者之间作相互推到，就没有办法在证明中找到捷径。注意：在有等腰三角形的作图环境中，如果证明与角有关，要注意底边上的中线或者高线也是顶角的角平分线；如果要证明垂直，就可能需要通过证明底边上的中线，或者顶角的角平分线来证明这条线段与底边垂直；如果是证明线段长的相互关系，那么可以通过证明顶角的角平分线，底边上的高线来证明底边被均分。已知：已知：AB=AC点D是BC中点。结论：①AD⊥BC;②AD平分∠BAC已知：AB=ACAD⊥BC结论：①AD平分∠BAC;②点D是BC中点。已知：AB=ACAD平分∠BAC结论：①AD⊥BC;②点D是BC中点。7.用两边或两角相等证明三角形是等腰三角形错误：证明两边相等的方法不只有计算得到两条边的长，对其他方法证明两边长相等却没有掌握。注意：出了直接已知两边长相等，如果已知条件给的是线段长，可以通过计算得到两边长相等，如果给的是角度数的已知条件，则可以通过计算得到两个角相等；如果给的条件是有关边或者角的等量关系的，那么需要通过几何证明解决问题，如通过线段或角的等量代换得到两边/两角相等，如通过两边所在三角形全等得到对应边相等。例10如图，在△ABC中，AM=CM，AD=CD，DM//BC，判断△CMB的形状，并说明理由．【答案】△CMB是等腰三角形，理由见解析【分析】由等腰三角形的三线合一的性质可得∠AMD=∠CMD，再根据平行线的性质可得∠AMD=∠B，∠CMD=∠MCB，再根据等量代换可得∠B=∠MCB，根据等角对等边可得MC=MB，进而得到△CMB是等腰三角形．【详解】在△AMC中，∵AM=CM，AD=CD，（已知），∴∠AMD=∠CMD（等腰三角形三线合一），∵DM∥BC（已知），∴∠AMD=∠B（两直线平行，同位角相等），∠CMD=∠MCB（两直线平行，内错角相等），∴∠B=∠MCB（等量代换），∴MC=MB（等角对等边），即△CMB是等腰三角形．8.证明三角形是等边三角形错误：在证明一个三角形是等边三角形时没有调理，证明等边三角形不能一蹴而就。注意：（1）一般情况下，要证明一个三角形是等边三角形，可以通过先证明它是等腰三角形，然后再添加一个条件证明是等边三角形，具体如下：①已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，且∠A=60°（或∠B=60°）；②已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，且AB=BC；（2）也可以直接通过三边相等或者有两个角是60°证明三角形是等边三角形，这需要已知条件给出明确的较多的信息。例11如图，点P是等边三角形ABC内一点，D是BP延长线上一点，∠ABP=∠ACD，BP【答案】见解析【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得AB=AC，∠BAC=60°，进而依据“SAS”判定△ABP【详解】证明：∵△ABC∴AB=在△ABP和△AB=∴△ABP∴AP=∴∠BAP即∠BAC∴△APD9.确认“如果”和“那么”来写一个命题的逆命题错误：规范的如果...那么...描述的命题能够写逆命题，但简短的如“对顶角相等”就不会组织语言注意：学会扩句，从结论出发反过来描述，先确认结论，在描述已知条件。如“对顶角相等”，结论是角相等，条件是对顶角，将其具体化就是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”。例12说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假．(1)两个全等三角形的面积相等．(2)如果ab＞0，那么a＞【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）其逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等.显然是假命题．（2）逆命题是如果a＞0，b＞本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键．【详解】（1）逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．判断：逆命题是假命题．（2）逆命题：如果a＞0，b＞判断：逆命题是真命题．10.用“三线合一”证明三角形是等腰三角形错误：在证明三角形是等腰三角形时忽视用三角形“三线合一”的性质定理的逆定理证明。注意：当已知三角形一边边上的中线、高线和对角的角平分线这三个条件中的两个时，可以证明这个三角形是等腰三角形。已知：①已知：①AD⊥BC;②AD平分∠BAC结论：AB=AC，点D是BC中点。已知：①AD平分∠BAC;②点D是BC中点。结论：AB=AC，AD⊥BC已知：①AD⊥BC;②点D是BC中点结论：AB=ACAD平分∠BAC。ABCDEP例13如图所示，△ABC和△ADE其中一点重合，且AD正好经过BC中点P，而点C也正好是边DE的中点。已知∠BAD=∠ABCDEP（1）证明∠ABD是直角；（2）求∠CBD的度数。【答案】（1）见解析（2）25°【分析】本题主要考查用“三线合一”的逆定理证明三角形是等腰三角形，同时考查了全等的证明和全等三角形的性质，等腰三角形的性质。本题第（1）小题中，结合中点P和中点C，以及角平分线AP和AC可以分别证明△ABC和△ADE均为等腰三角形，通过等腰三角形腰相等的性质可以得到△ABD≌△ACE，再根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ACE=90°；第（2）小题中，要求∠CBD的度数，只要求出∠ABC的度数即可，在已知顶角∠BAC=25°+25°=50°的情况下，结合等腰三角形的性质马上可以求出∠ABC的度数，进而求解。【详解】（1）证明：点P是BC的中点，所以PB=PC，因为∠BAD=∠DAC所以△ABC是等腰三角形，所以AB=AC；同理△ADE也是等腰三角形,所以AD=AE，AC⊥DE，即∠ACE=90°.在△ABD与△ACE中，AB=所以△ABD≌△ACE（SAS）所以∠ABD=∠ACE=90°，∠ABD是直角。（2）等腰△ABC中，∠BAC=25°+25°=50°，所以∠ABC=（180°－50°）÷2=65°，所以∠CBD=90°-65°=25°。三、直角三角形1.直角三角形相关的求角问题错误：对直角三角形的性质不熟悉，求角时不能使用性质得到相关条件。注意：直角三角形的性质中，两锐角互余可以快速求出直角三角形内角；斜边中线定理则可以获得两个等腰三角形，再结合等腰三角形的性质求角。例14等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为40°，则顶角的度数为（

）A．50° B．120° C．50°或120° D．50°或130°【答案】D【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数．【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图①，高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；②当等腰三角形为钝角三角形时，如图②，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°，所以该等腰三角形的顶角为50°或130°，故选：D．例15（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=32°，以AC为斜边作等腰直角三角形ADC【答案】13°或103°【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出∠BAC，分△ADC与△ABC【详解】解：∵在△ABC中，∠B=90°∴∠BAC∵△ADC∴∠ADC=90°，∴∠DAC当△ADC与△ABC在斜边AC的两侧时，∠BAD当△AD'C与△ABC∠BA综上所述，∠BAD的度数为13°或103°故答案为：13°或103°．2.斜边中线定理在计算中的运用错误：斜边中线定理为我们带来很多等量关系，不能作出有关推论的，在求角问题和求边问题中会导致条件不足。注意：斜边中线定理说明：斜边上的中线是斜边的一半，那么斜边上的中线将直角三角形分为两个等腰三角形。如下图所示，CD是Rt△ABC斜边上的中线，那么CD=AD=BD=12AB，所以△DBC与△DAC都是等腰三角形，即有：∠B=∠BCD；∠A=∠ACD例16（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B=30°，DE=2【答案】6【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，中垂线的性质，等腰三角形的性质，根据中垂线的性质，得到AE=BE，含30度角的直角三角形的性质，求出BE,【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴BE=∴∠BAE∴BE=∵∠C=90°，∴∠BAC∵AE平分∠BAC∴∠CAE∴CE=∴BC=故答案为：6．3.斜边中线定理在证明中的运用错误：斜边中线定理为我们带来很多等量关系，不能作出有关推论的，在几何证明过程中中会导致条件不足。注意：在“2”我们知道了，斜边中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，同时对于特殊的直角三角形还有更多的结论：①如果直角三角形中有一个角是30°，那么30°所对的边是斜边的一半（如图，只要证明△BCD是等边三角形即可得证），即BC=123030°②如果直角三角形中有一个角是45°，那么直角三角形是等腰直角三角形，且斜边中线将其分成了两个全等的小等腰直角三角形，且该直角三角形直角边与斜边比为1：2.4545°CBAD例17如图，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D为【答案】见解析【分析】根据在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半得，BD=DF，∠DFB=∠DBF【详解】解：∵BE⊥∴∠∵点D是AB边上的中点，∴DF=∴∠DFB∵BE平分∠ABC∴∠FBC∴∠DFB∴DF∥例如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与AC边的延长线交于点E(1)求证：△ABC(2)求证：BF=【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据AD垂直平分BC得AB=AC，再根据EF⊥AB，（2）先根据AD垂直平分BC得出BD=CD=【详解】（1）证明：∵AD垂直平分BC∴AB∵EF⊥AB∴∠BAC∴△ABC（2）解：AE=6∵AD垂直平分BC，∴BD=∵△ABC∴∠B又∵∠BFD∴∠BDF=30°，又∵∠E∴CE=∴在直角△BDF中，BF∴AE=∴BF=4.用“勾股定理”时注意分类讨论错误：在使用“勾股定理”计算直角三角形的边长时，没有明确已知边是直角边还是斜边，导致列式错误，尤其的，如果没有指明，不进行讨论。注意：使用勾股定理计算直角三角形的边长时，一先确认已知边长和所求是直角边还是斜边，如果没有明确则进行分类讨论；然后再结合勾股定理进行计算。例18△ABC中，AB=15，AC=13，高AD【答案】14或4【分析】本题考查了勾股定理在三角形中的应用，解题的关键是考虑高AD的位置（在三角形内部或外部），分情况计算BC的长度．利用勾股定理分别在Rt△ABD和Rt△ACD中求出BD和DC的长度；分AD在△ABC内部和外部两种情况，计算BC【详解】解：∵AD是△ABC∴△ABD和△ACD均为直角三角形，在Rt△ABD即BD2解得BD=9在Rt△ACD即DC2解得DC=5分两种情况讨论：①当AD在△ABC内部时，②当AD在△ABC外部时，BC故答案为：14或4．5.用方程思想构建“勾股定理”等量关系，并求解错误：只会直接用勾股定理列计算式求线段长，不会通过设未知数列方程求线段长。注意：直接告知两边求直角三角形第三条边长的，可以直接进行计算；但如果只告知了一条边长的，那么就需要再增加其他的已知条件才行，典型的比如告诉你另外两条边长的和，或者倍数关系，这时候只要设未知的其中一条边为x，另一条边就能用x表示，然后用勾股定理的等式列方程计算即可。这列题目最典型出现在折叠问题中。例19（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将【答案】3【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出BD的长，折叠得到CD=DF，CE=EF，∠EFD【详解】解：∵∠ACB=90°，∴CD=∴BD=∵将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F∴CD=∴BF=设CE=x，则在Rt△BFE中，由勾股定理，得：解得：x=∴CE=故答案为：326.用“勾股定理”证明三角形是直角三角形错误：只知道用直角三角形的定义或简单性质证明三角形是直角三角形，不知道结合勾股定理证明三角形是直角三角形。注意：“勾股定理”的逆定理成立，即，如果三角形的三边a，b，c满足a²+b²=c²，那么三角形是直角三角形，且c是斜边，c所对的角是直角。例20如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为【答案】45°/45度【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算AC=12+2【详解】解：设小正方形边长为1，连接AC，由勾股定理可得：AB2=12+∴AC2+∴△ABC是等腰直角三角形，∠故答案为：45°例21如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,AB(1)判断△ACD(2)求四边形ABCD的面积．【答案】(1)直角三角形；理由见解析(2)4+4【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算，解题的关键是通过勾股定理求出AC的长度，再利用逆定理判断△ACD（1）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长度；通过计算AC2+（2）将四边形ABCD的面积转化为△ABC和△【详解】（1）△ACD理由：∵∠B∴A∴A∴△ACD（2）由（1）可知，AC=∴S7.“HL”可以证明两个直角三角形全等错误：混淆SAS和HL证明两个直角三角形全等的区别。注意：两个直角三角形一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等，是“HL”证明两个直角三角形全等，但不是所有的直角三角形的全等都是用“HL”为依据证明的，比如若已知直角三角形两直角边分别对应相等，是根据“SAS”证明两个直角三角形全等。例22如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OPA．SSS B．SAS C．ASA D．HL【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和【详解】解：∵PM⊥∴∠OMP在Rt△OMP和OM=∴Rt△∴∠MOP∴OP是∠AOB故选：D．1．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，∠B=∠E=90°,AB=DE，若要直接依据“

A．BC=EF B．AC=DF C．【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．用“HL”判定△ABC【详解】解：添加条件：AC=∵∠在Rt△ABC和AB=∴Rt△故选：B．2．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）下列命题的逆命题不成立的是（

）A．两条直线平行，同位角相等B．全等三角形的对应角相等C．平行四边形的对角线互相平分D．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上【答案】B【分析】本题考查了命题与逆命题，真命题与假命题的判定，掌握平行线及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质是解题的关键．根据平行线及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质进行判定即可求解．【详解】解：A、“两条直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两条直线平行”，是真命题，不符合题意；B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“两个三角形对应角相等，则两个三角形全等”，逆命题是假命题，符合题意；C、“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，不符合题意；D、“在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题为“在角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等”，是真命题，不符合题意；故选：B．3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°，CD

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，根据AB=AC得△ABC为等腰三角形，进而得∠B=∠ACB=72°，再根据角平分线定义得∠DCA=∠【详解】解：∵AB=∴△ABC∵∠A∴∠B∵CD平分∠ACB∴∠DCA∴∠DCA∴△ACD∵∠CDB∴∠CDB∴△CDB综上所述：图中共有3个等腰三角形．故选：C．4．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图网格中每个小正方形边长为1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D，ED=A．5 B．6 C．2 D．2【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理，先连接AD，根据题意可知AD,AE【详解】解：连接AD，根据题意可知AD=根据勾股定理，得DE=故选：A.5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°,△ABC≌△ADEA．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出∠EAC的度数是解题的关键．由全等三角形的性质可得∠DAE=∠BAC=50°，AE【详解】解：∵△ABC∴∠DAE=∠BAC∵AD∥∴∠DAE∵AE=∴∠AEC∴∠EAC∴∠BAE故选：C．6．（19-20八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE=CD，则∠EA．15° B．20° C．30° D．40°【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据等边三角形的性质可得∠ACB=60°，再根据等边对等角的性质求出∠E【详解】解：∵△ABC∴∠ACB∵CD=∴∠E∵∠BCD∴∠E故选：C．7．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，连接AA'，BB'，CC'，其中BB'分别交AC，A'C'于点D，D'，下列结论：①A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．【详解】解：∵△ABC和△A'∴AA'∥∵△ABC和△A'点D与点D'关于直线l∴∠ADB=∠A∵△ABC和△A'∴线段AA'、∴直线l垂直平分AA'，故∵△ABC和△A'∴线段AC、A'C'所在直线的交点一定在直线l∴正确的有①②③．故选：A．8．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑xm时，梯足B沿CB方向滑动ym，则xA．x=y B．x>y C．【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．设AC=BC【详解】解：设AC=由勾股定理得：AB∴a2化简得：2a∵x>0，y∴x2∴2a∵a>0∴x-∴x>故选：B．9．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，△ABC中，∠CAB=90°，∠C=36°，D为BC【答案】72°/72度【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质，可得AD=DC，从而利用等腰三角形的性质可得【详解】解：∵Rt△CAB，∠CAB=90°，∠∴AD∴∠C∴∠ADB故答案为：72°．10．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF∥AC交BC于点F，若BC=a【答案】a【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠EBD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠EDB，等量代换得∠EBD【详解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∴∠ABD=∠∵DE∥AB∴∠ABD=∠∴∠EBD=∠∴BE=DE∴△DEF的周长为：∵BC∴△DEF的周长为：a故答案为：a．11．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A【答案】3×【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，图形规律问题，掌握探究的方法再确定规律是解题的关键．根据∠MON=30°，△A1B1A【详解】解：∵∠MON=30°，△A1∴∠B1A1A同理可得，A2A3∴An∴△AnB故答案为：3×212．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，等边三角形ABC中，AB=16，BD⊥AC于点D，点E、F分别是BC、DC上的动点，沿EF所在直线折叠△CEF，使点C落在BD上的点C【答案】323或【分析】设BE=x，则EC=EC'=16-x，当本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解方程，分母有理化，熟练掌握性质和解方程是解题的关键．【详解】解：∵等边三角形ABC中，AB=16，BD∴∠ABC=根据折叠的性质，得EC=设BE=x，则当∠BE∴EC∴BE∴x=解得x=24-8当∠B∴EC∴x=2解得x=综上所述，当△BEC'是直角三角形时，BE的值为3213．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出△A1B1C(2)在直线l上找一点P，使得PA+(3)△ABC的面积为__________【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)5【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键；（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）连接AC1，交直线l于点P，则点（3）利用矩形减去三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：如图，△A（2）解：如图，连接AC1，交直线l于点P，连接此时PA+则点