第2章 特殊三角形（举一反三单元测试·拔尖卷）（教师版）-浙教版(2024)八上

第二章特殊三角形·拔尖卷【浙教版2024】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABDC中，AB=AC，∠BAC=124∘，点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，连接A．24° B．28° C．30° D．38°【答案】B【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质．解决问题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．连接BE，依据垂直平分线的性质可得AB=AE，从而得到AC=AE，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得∠CAF=∠EAF【详解】解：连接BE，∵点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，∴AD垂直平分BE，∴AB=∴∠EAD∵AB=∴AC=又∵AF为△ACE∴∠CAF∴∠EAF∴∠DAF∵∠AFE∴在Rt△AFD中，∴∠ADB故选B．2．（3分）（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（）A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392【答案】C【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解即可．【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称，则该汽车的号码是E6395，故选：C．3．（3分）（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边ACA．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作AD⊥BC于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出AD，根据垂线段最短可知：当BP⊥【详解】解：作AD⊥BC于点∵AB=AC=5∴BD=∴AD=∵当BP⊥AC时，∴S△∴6×4=5×BP解得BP=4.8即BP的最小值是4.8．故选：D．4．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE，DEA．124° B．102° C．92° D．88°【答案】C【分析】根据题意由SAS可证△ABD≌△AEC，得到∠ABD=∠ACE，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出∠ABD=∠BCA【详解】解：∵∠DAE∴∠DAE-∠DAC∵AB=AC，∴△ABD∴∠ABD∵CE∥∴∠ABD∴∠ABD∵AB=∴∠ABD∴∠ABD∴△ABC∴∠BAC∵AE=∴△ADE∴∠ADE∵∠BAD∴∠OAD∴∠DOC故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．5．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，△ABC的两条高AD，BF交于E，连接EC，∠AEB=105°，∠ABC=45°A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】D【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，先证明∠ABC=∠BAD，得出AD=BD，再证明△EBD≌△CAD，得出【详解】解：∵△ABC的两条高AD，BF交于E∴∠ADB∵∠ABC∴∠BAD∴∠ABC∴AD=∵∠EBD∴∠EBD∴△EBD∴DE=∴∠DEC∵∠AEB∴∠BED∴∠FEC故选：D．6．（3分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（）A．△ABD B．△ADC C．△BCD D【答案】A【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可．【详解】解：A．∵AB2=5，BD2=5，ADB．∵AD2=10，CD2=5，AC．∵BD2=5，CD2=5，BD．∵AB2=5，AC2=13，B故选：A．7．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F在△ABC内部，点D在AE上，点E在BF上，点F在CD上，且∠BAEA．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据题意设∠BAE=x，则∠CBF=2x，【详解】解：∵∠∴设∠BAE=x，则∵△ABC∴∠BAC∴∠∠∠∴∠∠∠∴∠∴△DEF故选：A．8．（3分）（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若FA．12 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识．连接BF，过点C作CH⊥BF，交BF的延长线于H，AB和CH交于点G，当点F与点H重合时，CF取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得AB=12，再证明△ACG是等边三角形，进而可得【详解】解：如下图，连接BF，过点C作CH⊥BF，交BF的延长线于H，AB和CH交于点∵△BDE是等边三角形，点F是DE∴∠ABF∴点F在射线BF上运动，当点F与点H重合时，CF取最小值，此时点D、∵∠ACB∴∠A∵∠ABF∴∠BGH∴△ACG∴AG=∴BG=∴△BDE的周长为3×6=18故选：C．9．（3分）（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知∠MON=30°，点A1,A2,A3,A4在射线ON上，点A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键．由等边三角形的性质可得∠B1A1A2=∠A1B1A2=60°、A1【详解】解：∵△A∴∠B1A∵∠∴∠∴∠MON∴A1∴A同理可得：AO3=∴A1故选B．10．（3分）（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是CB的延长线和BA的延长线上的点，AE=BD，延长DA交CE于点F，G是AD上一点，且CG=CA，CG交AB于点H．下列结论：①∠DFC=60°；A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．①证明△ABD≌△CAE，可得∠BAD=∠ACE，∠D=∠E，再结合等边三角形的性质即可判断①正确；②由CG=CA，可得∠CAD=∠CGA，即∠BAC+∠BAD=∠DCG+∠D，即可判断②正确；③作∠BCG的平分线交AD于点K，可证得△CFK是等边三角形，得出CF=FK=CK【详解】解：①∵△∴∠BAC=∠ABC∴∠ABD在△ABD和△AB=∴△∴∠BAD=∠ACE∵∠ACE∴∠BAD∵∠BAD∴∠EAF∵∠DFC∴∠DFC=60°；故②∵∴∠CAD=∠CGA∵∠BAC∴∠E∵∠D∴∠DCG=2∠ACE③如图，作∠BCG的平分线交AD于点K，则∠∵∠DCG∴∠DCK∴∠DCK+∠ACK∵∠DFC∴∠ECK∴△CFK∴CF在△ACF和△CF∴△ACF∴AF∴FK∴CF-AF④∵△∴BD=AE，∠∴∠由③得∠GCK=∠ACE∴∠GCK∴∠HCE∴EH∴AH∴AH∴GH∴GH+BD故正确的有①②③，3个，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=45°，在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角△ABD，连接CD，若BC=3【答案】9【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，过A作AH⊥BC于H，过D作DE⊥BC于E，过AAF⊥DE于F，则四边形AHEF是长方形，得出AF=EH，EF=AH，证明△BDE≌△DAFAAS，得出BE=DF，【详解】解∶如图，过A作AH⊥BC于H，过D作DE⊥BC于E，过点A作则四边形AHEF是长方形，∴AF=EH，∵AH⊥BC，∴∠HAC∴AH=∵DE⊥BC，∴∠E∵以AB为斜边作等腰直角△ABD∴∠ADB=90°，∴∠BDE∴△BDE∴BE=DF，设BE=a，DE=b，则∴BH=∴EH∴3-b解得b=∴S△故答案为：9412．（3分）（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D【答案】1【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．过P作PF∥BC交AC于F，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得△APF是等边三角形，于是可得AP=PF=AF，由三线合一可得AE=EF【详解】解：如图，过P作PF∥BC交AC于∵△ABC∴∠BAC∵PF∴∠APF=∠ABC=60°，又∠PAF∴△APF∴AP∵PE∴AE∵AP=PF∴PF在△PFD和△∠PDF∴△PFD∴FD∵AE∴EF∴AE∵AC∴DE故答案为：1．13．（3分）（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，如果你在南京路和中山路交叉口，想去动物园（环西路与曙光路交叉口），沿街道行走的最近距离是m．（结果保留整数）【答案】340【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，难度一般．首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据含30°角的直角三角形解直角三角形求出AE的长度，求出两条到达动物园的路线，选择较近的即可．【详解】解：如图，∵AC=294m∴AB在Rt△ABC中，∴∠EAD在△AED中，∵∠∴∠AED∴AE∴BE则想去动物园有两条路：①由南京路→环西路→动物园：170+170=340m②由中山路→环西路→动物园：294+170=462m∴线路①最近，距离为340m故答案为：340．14．（3分）（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=25°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE，DE交【答案】95°/95度【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．先证明∠CAE=∠BAD，进而可依据“SAS”判定△ACE和△ABD全等，则∠ACE=∠B，再根据CE∥AB得∠ACE=∠BAC，则∠B=∠【详解】解：∵∠DAE∴∠DAC∴∠CAE在△ACE和△AB=∴△ACE∴∠ACE∵CE∴∠ACE∴∠B∴BC∴AB∴△ABC∴∠DAE∵AE∴△ADE∴∠ADE∵∠BAD∴∠DAC∴∠DOC故答案为：95°．15．（3分）（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，∠BCA=90°，在AC上取一点E，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A'【答案】5【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质及用勾股定理列方程是解题的关键．设AE=x，根据轴对称的性质可得A'B=AB=5，A【详解】解：设AE=∵△ABE沿BE翻折得到△∴A'B∴A∵∠BCA∴AC∴CE在Rt△A'CE∴2解得x=∴AE故答案为：5216．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB【答案】150°【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理逆定理，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等、对应角相等，以及等边三角形和直角三角形的判定方法是解题的关键．连接PQ，先利用旋转的性质得到对应边相等和对应角相等，再结合等边三角形的判定与性质，最后通过勾股定理逆定理判断△PQC的形状，得到∠CQP的度数，进而求出【详解】解：连接PQ，如图，∵△APB绕点B逆时针旋转得到△CQB，PA=3，PB∴BP=BQ，AP=CQ=3又∵△ABC∴∠ABC=60°，即∴∠CBQ+∠PBC∵BP=BQ且∴△PBQ∴PQ=PB=4在△PQC中，CQ=3，PQ=4∵32+42∴△PQC是直角三角形，∠∴∠CQB又∵∠APB∴∠APB故答案为：150°．第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．(1)在图①中，画一格点E，使得∠ABE(2)在图②中的CD上找一点H，使得∠BHD【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）构造等腰直角三角形的底角解答即可；（2）根据题意，得AB⊥CD，取格点F，连接BF交CD于点H，根据作图，得本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂直的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键．【详解】（1）解：构造等腰直角三角形的底角，如图所示，则∠ABE则点E即为所求．（2）解：根据题意，得AB⊥取格点F，连接BF交CD于点H，根据作图，得AB⊥得到∠AFB=45°故∠故点H即为所求．18．（6分）（24-25八年级下·全国·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点之间的距离CA，CB分别为300km，400km，AB=500km，以台风中心为圆心周围(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若海港C受台风影响，且台风中心移动的速度为20km/h，台风影响海港C【答案】(1)受台风影响，理由见解析；(2)台风影响海港C持续的时间为7h【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间．（1）通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，利用面积法求出C到AB的距离CD，比较CD与250（2）以C为圆心、250km为半径作圆，交AB于E、F，利用勾股定理求出ED的长度，得到EF【详解】（1）解：海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于点因为AC=300km，BC=400km，所以△ABC是直角三角形．∠由三角形面积相等可得：12即300×400=500×CD所以CD=因为以台风中心为圆心周围250km以内(包括250km)为受影响区域，所以海港（2）如图，设台风中心移动到点E，F处时刚好影响海港C，连接CE，CF，则EC=所以ED=EC所以EF=2因为台风中心移动的速度为20km140÷20=7h所以台风影响海港C持续的时间为7h19．（8分）（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知一张三角形纸片ABC（如甲图），其中∠B=∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的点E处，折痕为BD（如乙图），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D(1)请直接找出丙图中除△ABC(2)请求出甲图△ABC【答案】(1)丙图中除△ABC外的所有等腰三角形：(2)∠A=36°【分析】本题考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠ABC（1）根据等腰三角形的特征，可作出判断；（2）由等腰三角形的性质，可得∠ABC=∠C，由折叠，得∠BED=∠C，∠EDF【详解】（1）解：丙图中除△ABC外的所有等腰三角形：△（2）解：∵AB=∴∠ABC由折叠，得∠BED=∠C∴∠BED∴∠ABC∵∠ABC∴2∠A∴∠A∴∠ABC故甲图△ABC中各角的度数分别为∠20．（8分）（24-25八年级下·广西贵港·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm，AC=5cm，动点P从点B出发沿射线(1)求BC的长度；(2)当△ABP为直角三角形时，求t(3)是否存在这样的t，使△ABP为等腰三角形？若存在，求t【答案】(1)BC(2)t=6s(3)存在，t=132s【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．（1）根据勾股定理求解即可；（2）分为两种情况：当∠APB为直角时；当∠（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当AB=AP时；③【详解】（1）解：∵∠C=90°，AB=13∴BC（2）①当∠APB为直角时，点P与点C此时BP=∴t=12÷2=6②当∠BAPBP=2tcm，CP=2在Rt△ACP中，在Rt△BAP中，∴13解得t=综上，当t=6s或16924（3）如图∶①当AB=BP=13时，②当AB=AP时，BP=2BC③当BP=AP时，AP=BP=2t在Rt△ACP中，所以2解得：t=综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t=13221．（10分）（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=(1)如图1，若∠BAC与∠ACD互余，则∠BCD=______(用含有(2)如图2，若∠BAC与∠ACD互补，过点C作CE⊥AD于点(3)若△ABC与△ACD的面积相等，则【答案】(1)1(2)见解析(3)若△ABC与△ACD的面积相等，则∠ACD的度数为【分析】（1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出∠ACB=∠ABC=90°-12n°（2）过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形性质BC=2CF，先证明∠ACF=∠ACE=90°-12（3）依题意有以下两种情况：①当△ABC与△ACD都是锐角三角形时，过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，先由△ABC与△ACD的面积相等得BM=DN，进而依据“HL”判定Rt△ABM和Rt△CDN全等得∠BAM=∠DCN，即∠ACD=∠BAC=n°；②当△ABC是锐角三角形，△ACD是钝角三角形时，过点B作HB⊥AC【详解】（1）解：在△ABC中，AB∴∠∴∠BAC与∠∴∠∴∠故答案为：12（2）证明：过点A作AF⊥BC于点F，如图在△ABC中，AB∴∠∴BC在Rt△ACF中，在△ACD中，AC=CD∴∠∵∠BAC与∠∴∠∴1∴1即∠ACE∴∠∵AF⊥BC于点F∴∠在△AFC和△∠AFC∴△AFC∴CF又∵BC∴BC（3）若△ABC与△ACD的面积相等，则∠ACD的度数为n依题意有以下两种情况：①当△ABC与△过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点∴∠∴S∵△ABC与△∴1∴BM∵AB∵AB在Rt△ABM和AB=∴Rt∴∠即∠ACD②当△ABC是锐角三角形，△过点B作HB⊥AC于点H，过点D作DK⊥AC，交AC的延长线于点∴∠∴S∵△ABC与△∴1∴BH∵AB∴AB在Rt△ABH和AB=∴Rt∴∠即∠∵∠∴∠综上所述：若△ABC与△ACD的面积相等，则∠ACD的度数为n【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，列代数式，余角和补角，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，余角和补角定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形，分类讨论是解决问题的难点．22．（10分）（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+a-b2(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=0.8千米，HB【答案】(1)见解析(2)新路CH比原路CA少0.2千米【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．（1）利用梯形ABCD的面积的两种表示方法即可证明；（2）设AB=AC=x千米，在Rt△ACH中，根据勾股定理CA【详解】（1）证明：梯形ABCD的面积为12也可以表示为12∴1即a2（2）设AB=∴AH在Rt△ACH中，根据勾股定理得：∴x2=即CA=1∴CA答：新路CH比原路CA少0.2千米．23．（12分）（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）等边△ABC中，BC=4,AH⊥BC于点H，点D为BC边上一动点，连接AD，点B关于直线AD(1)如图1，点E恰好落在AH的延长线上，则求∠BCE=______(2)过点D作DG∥AC交AB于点G，连接GE交AD于点①如图2，试判断线段AF、EF和②如图3，直线GE交AH于点M，连接BM，D点运动的过程中，当BM+GM取最小值时，请直接写出线段【答案】(1)15(2)①AF=CE+【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，最短距离问题，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是问题的关键与难点．（1）由折叠的性质AB=（2）①延长CE,AD交于点N，证明△EFN为等边三角形，再证明△AGF≌△②连接CM，取AB中点P，连接CP，则当C、M、G三点共线且与CP重合时，BM+GM最短，此时点D与H点重合，即可求得【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，AH∴AB=∴∠CAH由折叠性质得：AB=