《直线和圆的位置关系(第四课时)》教案

《直线和圆的位置关系（第四课时）》教案教学目标教学目标：了解切线长的概念，探索并证明切线长定理，理解三角形内切圆、内心的概念，通过与三角形的外接圆进行比较，让学生明确“切”和“接”的含义，在对比中加深理解.教学重点：切线长定理的探索及推导.教学难点：切线长的概念及三角形的内切圆与外接圆的概念.教学过程时间教学环节主要师生活动复习引入探究新知切线长定理的应用巩固落实课堂小结布置作业问题1在同一个平面内，有一点P和⊙O，过点P能否作⊙O的切线？如果能，可以作几条切线？如果不能，说明理由.点P与⊙O有三种位置关系：点P在⊙O内；点P在⊙O上；点P在⊙O外.若点P在⊙O内过一点P的直线都与圆相交，所以不存在过P点的直线与圆相切.若点P在⊙O上已知：点P在⊙O上求作：过P的直线l与⊙O相切.作法：=1\*GB3①连接OP,=2\*GB3②过P点作线段OP的垂线l,则直线l即⊙O的切线.作图依据：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.若点P在⊙O外已知：⊙O及圆外一点P求作：过点P的圆的切线.分析：先画出目标图形.若PM是⊙O的切线，则PM与⊙O有一个交点A,PMOA.作法：连接OP,作线段OP的中点M.作以M为圆心,OM长为半径的⊙M,与⊙O交于A,B两点.作直线PA,PB，则直线PA,PB即为⊙O的两条切线.作图依据：=1\*GB3①直径所对的圆周角是直角.=2\*GB3②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.=3\*GB3③两点确定一条直线.总结：点P在⊙O内，过P点，不存在圆的切线；点P在⊙O上，过P点，可以作一条圆的切线；点P在⊙O外，过P点，可以作圆的两条切线.圆外一点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.线段PA,PB的长就叫点P到⊙O的切线长.问题2请同学们思考圆的切线与切线长的区别.区别：切线是直线，无法度量；切线长是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，切线长可以度量.问题3从圆外一点P引圆的两条切线长PA，PB，有什么关系？教师演示沿着直线PO将图形对折，学生通过几何直观猜图中PA与PB，的相等关系.再用几何推理证明这个猜想.证明：连接OA,OB.在⊙O中，OA=OBPA和PB是⊙O的两条切线，OP=OPOA=OB.由此可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.（文字语言）符号语言PA和PB是⊙O两条切线，A,B为切点，（图形语言）切线长定理的基本图形中,连接OA,OB,通过切线长的证明,还能得到什么结论?°.连接两切点A，B，还能得什么结论？=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④设OP与⊙O的交点分别为H，G，还能得什么结论？引导学生思考：如双垂直图中重要结论.问题4如何在一块三角形的铁皮上面截下一块圆形的用料，并且使得截下来的圆与三角形的三边都相切？分析：符合条件的圆要与三角形的三边相切，即目标图形为：怎么作这个圆呢？抓住作圆的关键“确定圆心的位置和半径”.=1\*GB3①确定圆心：根据圆与三边均相切这个条件，可以得出：圆心到三边的距离必相等.我们以前学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三边的距离相等.因此，我们只要选择三角形的三个角中的任意两个角，分别作它们的角平分线BM，CN，两条角平分线的交点I即为所求作的圆的圆心I.=2\*GB3②确定半径：根据圆与三边均相切这个条件，可以得出：圆心I到三边的距离ID即为圆的半径.圆I就是所求作的圆.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.如圆I是△ABC的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心.例1如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F.若AB=10，CA=17，BC=21.=1\*GB3①求AF，BD，CE的长.解：⊙O是△ABC的内切圆，AB，BC，CA都与⊙O相切.由切线长定理，可得AF=AE，BD=BF，CD=CE.设AF=x，则AE=x,CD=CE=AC-AE=17-x,BD=BF=AB-AF=10-x.由BD+CD=BC,可得（10-x）（17-x）=21解得x=3.因此AF=3，BD=7，CE=14.=2\*GB3②若三角形的面积为，试求三角形的内切圆的半径.解：三角形内切圆半径公式：，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.特别地，如图，中，°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.求的内切圆半径r.解法（2）：AE=AF=AC-CF=b-r.BD=BE=BC-CD=a-r.AB=AE+BE=(a-r)＋(b-r).c=a-r＋b-r.归纳：=1\*GB3①三角形内切圆半径公式：=2\*GB3②特殊的直角三角形内切圆半径或或其中a，b是直角边长，c是斜边长.问题5三角形的内切圆与三角形的外接圆，有什么区别呢？三角形的外接圆、内切圆的比较图形名称性质位置角度关系外心：三角形外接圆的圆心（或三角形三边中垂线的交点）.三角形外心到三角形的三个顶点的距离相等.即OA=OB=OC.锐角三角形的外心在形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在形外.内心：三角形内切圆的圆心（或三角形三内角平分线的交点）.三角形内心到三角形的三边的距离相等.即ID=IE=IF.三角形的内心一定在三角形内.对照图形，我们发现：“接”或“切”是说明多边形的顶点或边与圆的位置关系：多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”.课堂总结我们通过过一点能否作已知圆的切线，发现从圆外一点可以引圆的两条切线，得出切线长定理，探索了切线长定理及在三角形中的应用，得出一般三角形和特殊直角三角形的内切圆的半径，在与三角形外接圆的比较中加深对三角形内切圆理解.课后作业：1.如图，O是的内心.（1）若°，求的度数；（2）若内切圆半径为r，的周长为l,求的面积.2.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，.求的度数.3.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的长.知能演练提升一、能力提升1.已知☉O的半径为R,直线l和☉O有公共点,若圆心到直线l的距离是d,则d与R的大小关系是()A.d>R B.d<RC.d≥R D.d≤R2.若☉O的直径为5,直线l与☉O相交,圆心O到直线l的距离是d,则d的取值范围是()A.4<d<5 B.d>5C.2.5<d<5 D.0≤d<2.53.已知☉O的半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则☉O上到直线AB的距离为3的点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.44.如图,在平面直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=-x+2和☉O的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.以上三种情形都有可能5.已知直线l与☉O相切,若圆心O到直线l的距离是5,则☉O的半径是.

6.如图,☉O的半径OC=10cm,直线l⊥CO,垂足为H,交☉O于A,B两点,AB=16cm,为使直线l与☉O相切,则需把直线l.

7.如图,给定一个半径为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4.由此可知:(1)当d=3时,m=;

(2)当m=2时,d的取值范围是.

8.如图,∠AOB=60°,M为OB上的一点,OM=5,若以M为圆心,2.5为半径画☉M,请通过计算说明OA和☉M不相切.★9.已知等边三角形ABC的面积为33,若以A为圆心的圆和BC所在的直线l:(1)没有公共点;(2)有唯一的公共点;(3)有两个公共点.求这三种情况下☉A的半径r的取值范围.二、创新应用★10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AO=x,☉O的半径为1,问:当x在什么范围内取值时,AC所在的直线和☉O相离、相切、相交?知能演练·提升一、能力提升1.D2.D3.C4.C直线y=-x+2与x轴的交点A的坐标为(2,0),与y轴的交点B的坐标为(0,2),则AB=2,△ABO的面积为1.由等面积法得点O到直线y=-x+2的距离为1.因此d=r,故相切.5.56.向左平移4cm或向右平移16cm连接OA,设CO的延长线交☉O于点D.因为l⊥OC,所以OC平分AB.所以AH=8cm.在Rt△AHO中,OH=AO2-A所以CH=4cm,DH=16cm.所以把直线l向左平移4cm或向右平移16cm时可与圆相切.7.(1)1(2)1<d<3(1)当d=3时,由于圆的半径为2,故只有圆与OM的交点符合题意,所以m=1;(2)当m=2时,即圆上到直线l的距离等于1的点的个数为2,当d<1时,m=4,当d=1时,m=3,当d=3时,m=1,当d>3时,m=0,故m=2时,1<d<3.8.解如图,过点M作MC⊥OA于点C.在Rt△OMC中,∠AOB=60°,∴∠OMC=30°.∴OC=12OM=2.5∴MC=52-2.52=532>9.解在等边三角形ABC中,过点A作AD⊥BC,垂足为D(图略),得BD=12BC在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD=AB2-B由三角形面积公式,得12BC·AD=12BC·32BC=所以BC=23.所以AD=32BC=3(1)当☉A和直线l没有公共点时,r<AD,即0<r<3(如图①);(2)当☉A和直线l有唯一公共点时,r=AD,即r=3(如图②);(3)当☉A和直线l有两个公共点时,r>AD,即r>3(如图③).二、创新应用