《圆周角(第二课时)》教案

《圆周角（第二课时）》教案教学目标教学目标：掌握圆内接四边形的有关概念及性质，圆内接多边形的概念，能应用圆周角的性质及圆内接四边形的性质,进行计算、证明和探究；渗透“由特殊到一般”的数学思想方法.教学重点：圆内接四边形的概念及性质.教学难点：圆内接四边形性质与圆周角性质的综合应用.教学过程时间教学环节主要师生活动1min复习回顾一、定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.二、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.及其推论：1.同弧或等弧所对的圆周角相等.2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.3min引入新知直径所对的圆周角都相等（都是直角）.直径是特殊的弦，那么对于一般情况的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？有没有和第一条推论类似的结论呢？即同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？我们来研究“同弦”的情形（“等弦”与“同弦”类似）：弦AC所对的圆周角都相等吗？我们任意画出弦AC所对的几个圆周角：∠B，∠D，∠E，∠F.问题1:请同学们观察这四个角，思考这些圆周角的大小关系.这四个圆周角按位置可以分两类，角的顶点在弦的上方，或者在弦的下方.其中两对角的关系：∠B=∠F，∠D=∠E.问题2:能否用学过的知识加以证明呢？通过观察我们可以发现，∠B和∠F的顶点在弦的上方，它们都对着同一条弧：劣弧ADC，由圆周角定理的第一条推论可知，同弧所对的圆周角相等，所以∠B=∠F.∠D和∠E的顶点在弦的下方，都对着同一条优弧ABC.所以同理可得：∠D=∠E.问题3:∠B与∠D的关系呢？也相等吗？不一定相等.只有当弦AC是直径时，由圆周角定理的第二条推论：直径所对的圆周角都是直角，∠B与∠D相等.当弦AC不是直径时，∠B与∠D不相等.我们来研究此时∠B和∠D的数量关系.问题就变成了研究这个四边形的一组对角之间的关系.在研究这个问题之前，我们先来观察四边形ABCD有什么特点？它的四个顶点都在圆上，四个内角都是圆周角，四条边都是圆的弦.我们把这样的四边形叫做圆内接四边形.什么样的四边形呢？引出圆内接四边形的定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.概念辨析：如下图所示，四边形ACBO是不是圆内接四边形？5min探究性质圆内接四边形ABCD的对角有什么关系？请同学们自己画一个圆，再画出它的任意一个内接四边形，测量一组对角的度数，并猜想：圆内接四边形ABCD的对角有什么关系.可能有同学已经有了猜想：圆内接四边形ABCD的对角互补.证明：连接OA，OC.性质：圆内接四边形的对角互补.延伸：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.再回到最开始的问题，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗?正确答案是：相等或互补.圆的内接四边形也可以扩展到圆的内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.7min巩固练习例1如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB=，则∠ACB=_______.变式：当∠AOB为时，∠ACB=_______.当∠AOB为时，∠ACB=_______.小结：不同于圆内接四边形，四边形ACBO的三个顶点在圆上，一个顶点为圆心，若练习如图，点A，B是⊙O上两点，C为⊙O上任一点，若∠AOB=，则∠ACB=__________.下面请同学们试一试这道提高题吧.例2如图,在圆内接四边形ABCD中,(1)求证：(2)求四边形ABCD的面积.解答如下：（1）证明证法一：连接BD.证法二：eq\o(\s\up8(︵),\s\do1(AB))=eq\o(\s\up8(︵),\s\do1(AD))，四边形ABCD是圆内接四边形，（2）解：∵四边形ABCD内接于⊙O.又5min拓展提升（一）平行四边形请同学们画一个圆内接平行四边形，观察一下你画出的平行四边形有什么特点？1.画一个圆；2.画一条弦AD；3.画AD的平行线段BC，使BC=AD，点B在圆上；4.平行移动线段BC，使点C落在圆上.此时，四边形ABCD即为圆内接平行四边形.接下来我们看一下演示视频.观察图形，圆内接平行四边形是矩形.这是我们的猜想，还需要进行证明.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴圆内接平行四边形是矩形.（二）菱形研究思路与圆内接平行四边形是一样的.因为圆内接平行四边形是矩形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以圆内接菱形就是有一组邻边相等的矩形，即正方形.∴圆内接菱形是正方形.请同学们课下探究圆内接梯形.1min课堂小结下面我们对本节课所学的知识进行小结，在今天这节课上，我们利用圆周角性质，研究了圆内接四边形的定义、性质及应用.定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.第二个图不是圆内接四边形，但也是很重要的基本图形.性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.应用：利用性质进行计算、证明和探究.1min布置作业1.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若，则∠BCD的度数是_________.2.如图，已知∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC.求证：AD平分∠EAC.知能演练提升一、能力提升1.如图,☉O中,OC⊥AB,∠APC=28°,则∠BOC的度数为()A.14° B.28° C.42° D.56°2.如图,A是☉O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在☉O上且平分BC,则DC的长为()A.22 B.5 C.25 D.103.如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为()A.100° B.110° C.115° D.120°4.如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,AB=AD,AC交BD于点G.若∠COD=126°,则∠AGB的度数为(A.99° B.108° C.110° D.117°5.如图,已知BC是☉O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与OA交于点E.设∠AED=α,∠AOD=β,则()A.3α+β=180° B.2α+β=180°C.3α-β=90° D.2α-β=90°6.如图,☉O的半径为5,AB为弦,点C为AB的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的长为.

(第6题图)7.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为.

8.如图,已知AB=BC=AC,点P(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC.★9.如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,并且点C是优弧AmB上一点(点C不与点A,B重合).设∠OAB=α,∠C=β.(1)当α=35°时,求β的度数;(2)猜想α与β之间的关系,并给予证明.二、创新应用★10.我们知道:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,叫做圆周角.因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.类似地,我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫圆外角.如图,∠DPB是圆外角,那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧BD和(1)请把你的结论用文字表述为(不能出现字母和数字符号):.

(2)证明你的结论.

知能演练·提升一、能力提升1.D2.D3.B如图,连接AC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠AED=20°,∴∠ACD=20°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°,故选B.4.B5.D6.53如图,连接OC,OA,∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.∵AB为弦,点C为AB的中点,∴OC⊥AB.在Rt△OAE中,AE=53∴AB=53.7.88°∵AB=AC=AD,∴∠ABC=∠ACB,点B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆周上,∴∠BDC=12∠BAC∠CAD=2∠CBD.∵∠BAC=44°,∴∠BDC=22°,∵∠CBD=2∠BDC=44°,∴∠CAD=88°.8.(1)解∵AB=∴AB=BC=AC.∴∠BAC=60°.又∠BPC+∠BAC=180°,∴∠BPC=120°.(2)证明如图,在PA上截取PD=PC,连接DC,∵AB=AC=BC,∴∠APB=∠APC=60°.∴△PCD为等边三角形.∴∠ADC=120°.又∠CAD=∠PBC,且AC=BC,∴△ACD≌△BCP.∴AD=PB.∴PA=AD+PD=PB+PC.9.解(1)如图,连接OB,则OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=35°,∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=110°.∴β=∠C=12∠AOB=55°(2)α与β之间的关系是α+β=90°.证法一:如图,连接OB,则OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=α,∴∠AOB=180°-2α.∴β=∠C=12∠=12(180°-2α)=90°-α∴α+β=90°.证法二:如图,连接OB,则OA=OB,∴∠AOB=2∠C=2β.过点O作OD⊥AB于点D,则OD平分∠AOB,∴∠AOD=12∠AOB=β在Rt△AOD中,∠OAD+∠AOD=90°,∴α+β=90°.证法三:如图,延长AO交☉O于点E,连接BE,则∠E=∠C=β.∵AE是☉O的直径,∴∠AOE=180°,∴∠ABE=90°,∴∠BAE+∠E=90°,即α+β=90°.二、创新应用10.分析本题是一道结论探索题,解题的关