《实际问题与二次函数(第一课时)》教案

《实际问题与二次函数（第一课时）》教案教学目标学习目标：能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系，会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）．学习重点：探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法．教学过程时间教学环节主要师生活动2min复习回顾1.复习二次函数的概念.2.复习二次函数的图象和性质.5min引入新知问题1从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？在这个问题中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2=-5t2+30t（0≤t≤6），是二次函数关系。根据二次函数的性质，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最高点。当时，二次函数y=ax2+bx+c有最大值。而此问题有0≤t≤6的范围限制，当所给范围在对称轴左侧或右侧时，最值在离对称轴最近的位置达到，如图所示。或当对称轴在所给范围内时，最值在顶点处达到，如图所示。或在这个问题中，满足0≤t≤6，所以当时，。小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．其实，我们可以发现和x轴的两个交点为（0,0）和（6,0），所以当时，为最大值。5min探究新知问题2用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？对于此问题，我们可以画图来分析。l矩形一边长为l，总长为60，则另一边长为，面积为，同时我们要考虑l的取值范围，得到，整理得在这个问题中，满足，所以当时，。当l是15m时，场地的面积S最大．同样，我们可以发现和x轴的两个交点为（0,0）和（30,0），所以当时，为最大值。10min应用新知问题3了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如下图）．设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？对于此问题，我们也通过画图来分析。x绿化带一边靠墙，三边总长为40，所以，另两边长相等为。这样面积为，同时我们要考虑x的取值范围，得到，整理得在这个问题中，满足，所以当时，。当x是20m时，场地的面积y最大．同样，我们可以发现和x轴的两个交点为（0,0）和（40,0），所以当时，为最大值。问题3变式为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为60m的栅栏围住（如下图）．设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？绿化带一边靠墙，三边总长为60，所以，另两边长相等为。这样面积为，同时我们要考虑x的取值范围，得到，整理得在这个问题中，不满足，所以不在顶点处达到最大值。抛物线开口向下，由图像可知，离对称轴越近函数值越大。或所以当时，面积达到最大值为.或者和x轴的两个交点为（0,0）和（60,0），不满足，不在顶点处达到最大值。1min课堂小结（1）如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？（2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学到了哪些思考问题的方法？归纳：1．由于抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，当时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值.2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.1min课堂练习如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．解答：设花圃的宽AB＝x米，知BC应为(24－3x)米，故面积y与x的关系式为y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x．当y＝45时，－3x2＋24x＝45，解出x1＝3，x2＝5．当x1＝3时，BC＝24－3×3＞10，不合题意，舍去；当x2＝5时，BC＝24－3×5＝9，符合题意．故AB长为5米．(2)能围成面积比45m2更大的矩形花圃．由(1)知，y＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48．，由抛物线y＝－3(x－4)2＋48知，在对称轴x＜4的左侧，y随x的增大而增大，当x＞4时，y随x的增大而减小．∴当时，y＝－3（x－4)2＋48有最大值，且最大值为此时，BC＝10m，即围成长为10米，宽为米的矩形ABCD花圃时，其最大面积为布置作业1.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s=60t-1.5t2．飞机着陆后滑行多远才能停下来？2.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？知能演练提升一、能力提升1.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中每月获得的利润y和月份n之间的函数解析式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是()A.1月、2月、3月 B.2月、3月、4月C.1月、2月、12月 D.1月、11月、12月2.如图,在正方形ABCD中,AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动.设运动时间为t(单位:s),△OEF的面积为S(单位:cm2),则S与t的函数关系可用图象表示为()3.某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y,则果园里增种棵橘子树,橘子总个数最多.

4.某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为.

5.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用周长为30m的篱笆围成.已知墙长为18m(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm.(1)若苗圃园的面积为72m2,求x.(2)若平行于墙的一边长不小于8m,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.(3)当这个苗圃园的面积不小于100m2时,直接写出x的取值范围.二、创新应用6.某商家正在热销一种商品,其成本为30元/件,在销售过程中发现随着售价增加,销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时,改变销售策略,此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商品销售量y(单位:件)与售价x(单位:元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70,且x为整数).(1)直接写出y与x的函数解析式;(2)当售价为多少时,商家所获利润最大,最大利润是多少?

知能演练·提升一、能力提升1.C∵y=-n2+14n-24=-(n-2)(n-12),∴当y=0时,n=2或n=12.又该函数的图象开口向下,∴1月,y<0;2月、12月,y=0.∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月.故选C.2.B设△OEF中EF边上的高为h,则易知h=12EF于是S△OEF=12h·EF=14EF2=14(EC2+FC2)=14[(8-t)2+t2]=12t2-4t+16(0故选B.3.104.0<a<6根据题意,设每天缴纳电商平台推广费用后的利润为W元,则每件获得的利润为(110-40-a-t)=(70-a-t)元,而件数为(20+4t),因此W=(70-t-a)(4t+20)=-4t2+(260-4a)t+1400-20a,其图象的对称轴为直线t=260-4a8,因为W随t的增大而增大,所以260所以a<6,故答案为0<a<6.5.解(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)m.依题意可列方程x(30-2x)=72,即x2-15x+36=0.解得x1=3,x2=12.当x=3时,30-2x=30-6=24>18,不符合题意,舍去.故x=12.(2)依题意,得8≤30-2x≤18,解得6≤x≤11.面积S=x(30-2x)=-2x-1522+225①当x=152时,S有最大值,S最大=2252(m②当x=11时,S有最小值,S最小=11×(30-22)=88(m2).(3)令x(30-2x)=100,得x2-15x+50=0.解得x1=5,x2=10.又30-2x≤18,x≥6,故x的取值范围是6≤x≤10.二、创新应用6.解(1)设线段AB的解析式为y=kx+b(k≠0,40≤x≤60),将点(40,300),(60,100)代入上式,得300=40解得k故函数的解析式为y=-10x+700(40≤x≤60).设线段BC的解析式为y=mx+n(m≠0,60<x≤70),将点(60,100),(70,150)代入上式,得60解得m故函数的解析式为y=5x-200(60<x≤70),y与x的函数解析式为y=-(2)设获得的利润为w元,①当40≤x≤