第12章 曲线积分与曲面积分

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课题第12章曲线积分与曲面积分课时12课时（540min）教学目标知识技能目标：（1）掌握对弧长的曲线积分（2）掌握对坐标的曲线积分（3）掌握格林公式及其应用（4）掌握对面积的曲面积分（5）掌握对坐标的曲面分（6）掌握高斯公式和斯托克斯公式素质目标：（1）培养学生善于洞察研究对象本质的能力，掌握数学知识间的逻辑结构，形成恰当的推理并作出正确的猜想（2）通过积分的运算，训练学生的逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度教学重难点教学重点：对弧长、坐标的曲线积分、格林公式及其应用、对面积、坐标的曲面积分、高斯公式和斯托克斯公式教学难点：对弧长、坐标的曲线积分、对面积、坐标的曲面积分教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：课前搜集弧长公式、格林公式的由来相关资料，课上分享对弧长公式、格林公式的理解？【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分、格林公式及其应用等知识12.1对弧长的曲线积分12.1.1对弧长的曲线积分的概念与性质1．引例——曲线形构件的质量2．概念与性质12.1.2对弧长的曲线积分的计算定理设函数在曲线弧上连续，的参数方程为，若在上具有一阶连续导数且不同时为零，则曲线积分存在，且．【学生】聆听、思考【问题讨论】教师提问1．对弧长的曲线积分有哪些性质？2．已知空间曲线弧的参数方程为，其参数方程满足什么条件时，可对弧长进行曲线积分的计算？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论12.2对坐标的曲线积分12.2.1对坐标的曲线积分的概念与性质1．引例——变力沿曲线做功【教师】通过引例，提出对坐标的曲线积分的概念2．概念与性质12.2.2对坐标的曲线积分的计算定理设在有向曲线弧上连续，且的参数方程为当参数单调地从变到时，点从的起点沿运动到终点．若在以及为端点的区间上连续且不同时为零，则曲线积分存在，且．【学生】聆听、思考12.2.3两类曲线积分的关系【问题讨论】教师提问1．对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分有何不同？2．对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分一定满足吗？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论12.3格林公式及其应用12.3.1格林公式定理1（格林公式）设函数，在闭区域上具有一阶连续偏导数，则有其中为的正向边界曲线．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点对于连续曲线，如果除了外，当时，与总是相异的，则称是无重点的曲线．【学生】聆听、思考12.3.2平面上曲线积分与路径无关的等价条件【教师】讲解曲线积分与路径无关的等价条件定理2设是单连通区域，若函数在内具有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价：（1）对于内任意光滑闭曲线，有；（2）在区域内与路径无关，只与起止点有关；（3）为某二元函数的全微分，即；（4）在内每一点处有成立．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．通过格林公式，我们得到的一种新的计算曲线积分的方法是什么？2．平面上曲线积分与路径无关的等价条件是什么？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分格林公式及其应用【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题12.1、12.2、12.3【学生】完成课后任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分、高斯公式和斯托克斯公式等知识12.4对面积的曲线积分12.4.1对面积的曲面积分的概念与性质1．引例——曲面状构件的质量2．概念与性质12.4.2对面积的曲面积分的计算定理设积分曲面由方程给出，为在面上的投影区域，在上具有一阶连续偏导数，被积函数在上连续，则对面积的曲面积分可表示为面上投影区域上的二重积分，即；；．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习【问题讨论】教师提问1．对面积的曲面积分有哪些性质？2．如何将对面积的曲面积分转化为二重积分？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论12.5对坐标的曲面积分12.5.1曲面的侧12.5.2对坐标的曲面积分的概念与性质1．引例——流向曲面一侧的流量2．概念与性质3．对坐标的曲面积分的计算定理设函数是定义在曲面上的连续函数，在面上的投影区域为，函数在上具有一阶连续偏导数，则有；；．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习12.5.3两类曲面积分的关系两类曲面积分的关系为．【问题讨论】教师提问1．对坐标的曲面积分有哪些性质？2．两类曲面积分的关系是怎样的？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论12.6高斯公式和斯托克斯公式12.6.1高斯公式定理1（高斯公式）设空间闭区域是由分片光滑的曲面所围成，若函数在上具有连续的一阶偏导数，则有其中，取外侧，是在点处法向量的方向余弦．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习12.6.2斯托克斯公式定理2（斯托克斯公式）设以分段光滑的有向连续闭曲线为边界的有向光滑曲面为，且的正向与的侧符合右手法则，函数，，在曲面及边界上具有一阶偏导数连续，则．其中是在点处法向量的方向余弦．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习【问题讨论】教师提