特殊角的正弦用计算器求锐角的正弦课件湘教版（2012）九年级数学上册

2025-2026学年湘教版数学九年级上册第4章

锐角三角形4.1.2特殊角的正弦、用计算器求锐角的正弦猜谜语

一对双胞胎，一个高，一个胖，

3个头，尖尖角，我们学习少不了思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？情境引入人教版九年级数学《4.1.1正弦》教学实用资料包人教版九年级数学《4.1.1正弦》教学实用资料包（含教学过程、PPT分页内容、课堂案例、练习设计，不含教学目标/作业）一、教学过程（45分钟，可直接课堂实施）（一）情境导入（5分钟）1.展示生活情境图：学校旗杆旁有一根1.5米长的竹竿，阳光照射下，竹竿影子长1米，旗杆影子长8米。提问：“不用爬旗杆，怎么算出旗杆的高度？”2.引导学生观察：同一时刻，竹竿高度与影子长度的比值和旗杆高度与影子长度的比值有什么关系？（预设：比值相等）3.引出课题：这种“对边与斜边的比值”就是我们今天要学的——正弦。（二）新知探究（15分钟）1.构建直角三角形模型-课件出示含30°角的直角三角形ABC（∠C=90°，∠A=30°），让学生测量：BC（∠A的对边）、AB（斜边）的长度，计算BC/AB的值。-再出示另一个含30°角的直角三角形DEF（∠F=90°，∠D=30°），重复测量计算。-提问：“两个三角形中，30°角的对边与斜边的比值有什么特点？”（预设：都是1/2）2.类比推广到45°角-出示含45°角的直角三角形，让学生自主测量计算：45°角的对边与斜边的比值（预设：√2/2）3.定义正弦概念-明确：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。-符号表示：sinA=∠A的对边/斜边=BC/AB-强调：①正弦是一个比值，没有单位；②只与锐角的度数有关，与三角形的大小无关。（三）例题讲解（10分钟）例题1：直接运用定义计算如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA和sinB的值。-步骤拆解：1.确定∠A的对边（BC=6）和斜边（AB=10），所以sinA=BC/AB=6/10=3/5；2.确定∠B的对边（AC），先由勾股定理算AC：AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=8；3.所以sinB=AC/AB=8/10=4/5。-易错提醒：别把“对边”找错，∠A的对边是BC，不是AC。例题2：结合生活实际应用如图，某山坡的坡度为30°（即山坡与水平面的夹角为30°），山坡上有一条小路，从山脚到山顶的路程（斜边）为200米，求山顶到水平面的垂直高度（即30°角的对边）。-解题思路：1.设垂直高度为h米，根据正弦定义，sin30°=h/200；2.已知sin30°=1/2，所以h=200×sin30°=200×1/2=100米。-总结：生活中求“垂直高度”“对边长度”时，可利用正弦定义快速计算。（四）课堂练习（12分钟）1.基础题（全员必做）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，求sinA、sinB的值。（答案：sinA=5/13，sinB=12/13）2.提升题（小组讨论）：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，BC=6，求AB和AC的长度。（答案：AB=10，AC=8）3.实际应用题（拓展）：小明站在地面上看教学楼顶，视线与水平线的夹角为45°，小明到教学楼底部的水平距离为15米（视线为斜边），求教学楼的高度。（答案：15√2/2米，或约10.6米）（五）课堂小结（3分钟）1.核心知识点：正弦的定义（sinA=对边/斜边）；2.关键技巧：找对“对边”和“斜边”，结合勾股定理计算；3.应用场景：求直角三角形中对边长度、高度等实际问题。二、PPT分页内容（直接复制使用）第1页：标题页-标题：4.1.1正弦-副标题：人教版九年级数学下册-背景图：直角三角形与旗杆测量情境图第2页：情境导入-问题：如何不爬旗杆，计算旗杆高度？-图片：竹竿（1.5米）、影子（1米）、旗杆、影子（8米）-思考：同一时刻，物体高度与影子长度的比值有什么规律？第3页：探究1：30°角的对边与斜边的比-图：两个大小不同的含30°角的直角三角形-测量任务：1.测量BC、AB的长度；2.计算BC/AB的比值。-结论：所有含30°角的直角三角形中，30°角的对边与斜边的比都是1/2。第4页：探究2：45°角的对边与斜边的比-图：含45°角的直角三角形-自主计算：测量对边和斜边长度，求比值。-结论：45°角的对边与斜边的比是√2/2。第5页：正弦的定义-定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。-公式：sinA=∠A的对边/斜边=BC/AB-注意：①比值无单位；②只与角度有关，与三角形大小无关。第6页：例题1-题目：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA和sinB。-图：标注直角、边的长度-解答步骤：1.sinA=BC/AB=6/10=3/5；2.由勾股定理得AC=8；3.sinB=AC/AB=8/10=4/5。第7页：例题2-题目：山坡坡度30°，山脚到山顶路程200米，求山顶垂直高度。-图：山坡（标注30°角、斜边200米、垂直高度h）-解答：sin30°=h/200→h=200×1/2=100米。第8页：课堂练习-基础题：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，求sinA、sinB。-提升题：Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，BC=6，求AB和AC。-应用题：小明看教学楼顶，仰角45°，水平距离15米，求楼高。第9页：课堂小结-核心：sinA=对边/斜边-技巧：找对边、用勾股、算比值-应用：求高度、对边长度等实际问题第10页：结束页-文字：谢谢观看！-背景图：简洁的数学几何图案三、课堂案例（补充拓展，增强趣味性）案例1：古代测高故事古代工匠建造宫殿时，需要测量一根巨大立柱的高度，但无法直接攀爬。工匠们在立柱旁立了一根1米长的木杆，测得木杆影子长0.8米，立柱影子长12米。通过“木杆高度/木杆影子=立柱高度/立柱影子”，算出立柱高度=12×(1/0.8)=15米。其实，这就是正弦的雏形——同一时刻，太阳光线与地面夹角相同，对边（物体高度）与斜边（光线长度）的比值相等。案例2：登山安全计算某登山队攀登一座山峰，已知山峰某段坡面与水平面的夹角为30°，这段坡面的长度为400米。为了准备安全绳，需要计算这段坡面的垂直高度。利用正弦定义，sin30°=垂直高度/400，所以垂直高度=400×1/2=200米，据此可确定安全绳的最短长度。四、关键易错点提醒（课堂重点强调）1.对边找错：∠A的对边是与∠A不相邻的直角边，不是邻边；2.混淆斜边和直角边：正弦定义中分母必须是斜边，不能用直角边代替；3.比值化简不彻底：如6/10要化简为3/5，避免保留分数；1.忽略单位统一：若题目中边的单位不同，需先统一单位再计算。五、4.1.2特殊角的正弦、用计算器求锐角的正弦（教学实用拓展内容）（一）教学过程（45分钟，可直接课堂实施）1.复习导入（5分钟）1.回顾提问：上节课我们学习了正弦的定义，谁能说说在Rt△ABC中，∠C=90°时，sinA的表达式是什么？（预设：sinA=∠A的对边/斜边）2.衔接问题：我们知道30°、45°、60°是几何中常用的特殊角，它们的正弦值是否有固定规律？除了特殊角，任意锐角的正弦值又该如何快速计算？引出本节课课题——特殊角的正弦、用计算器求锐角的正弦。2.新知探究一：特殊角（30°、45°、60°）的正弦值（15分钟）-探究30°角的正弦值-探究45°角的正弦值-探究60°角的正弦值-总结特殊角正弦值表格3.新知探究二：用计算器求锐角的正弦值（12分钟）-计算器操作前提说明-具体操作步骤（以常见科学计算器为例）-计算整数度数的正弦值（如sin25°）：先按“sin”键，再输入“25”，最后按“=”键，屏幕显示的数值即为sin25°的近似值（约0.4226）。-计算含分的锐角正弦值（如sin36°30′）：先将分转化为度（30′=30/60=0.5°，即36°30′=36.5°），再按“sin”键，输入“36.5”，按“=”键，得近似值（约0.5958）；或部分计算器支持直接输入分，按“sin”“36”“°′″”“30”“°′″”“=”，结果一致。-计算含分、秒的锐角正弦值（如sin18°25′12″）：先将秒转化为分（12″=12/60=0.2′），再将分转化为度（25.2′=25.2/60=0.42°，即18°25′12″=18.42°），按“sin”“18.42”“=”，得近似值（约0.3156）。-逆向应用：已知正弦值求锐角4.例题讲解与课堂练习（10分钟）-例题3：特殊角正弦值的计算-例题4：计算器的实际应用-课堂练习-基础题：计算sin60°×sin45°-sin30°（答案：(√3/2)×(√2/2)-1/2=√6/4-1/2≈0.612-0.5≈0.112）-提升题：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=0.7，AB=15，求AC的长度（结果保留两位小数）（答案：AC=AB×sinB=15×0.7=10.50）-实际题：某起重机的吊臂与水平面的夹角为35°，吊臂端点到地面的垂直距离为8米，求吊臂的长度（结果保留一位小数，sin35°≈0.5736）（答案：吊臂长度=8/sin35°≈8/0.5736≈13.9米）5.课堂小结（3分钟）1.核心知识：30°、45°、60°的正弦值（准确记忆表格）；2.技能掌握：计算器“度”模式切换，求锐角正弦值及逆向求角的操作；3.应用技巧：结合正弦定义，解决含特殊角或任意锐角的直角三角形问题。（二）PPT分页内容（直接复制使用）第11页：标题页（4.1.2）-标题：4.1.2特殊45°45°90°60°30°90°思考：你能用所写的知识，算出图中表示角度的三角函数值吗？问题1：如何求

sin45°的值？如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.于是∠B=45°.从而

AC=BC．根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.于是

AB=BC.因此特殊角的正弦值问题2：如何求

sin60°的值？如图所示，构造一个

Rt△ABC，使∠B=60°，则∠A=30°，从而

.根据勾股定理得AC2=AB2-

BC2=AB2-于是因此30°、45°、60°角的正弦值如下表：

锐角a三角函数30°45°60°sina归纳：例1

计算：sin230°－sin45°＋sin260°解：原式典例精析通常我们把(sin30°)2简记为sin230°利用计算器求正弦值例如：求

50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键，显示结果为0.7660…

至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角

α

的正弦值，我们可以利用计算器来求.

求sin18°．第一步：按计算器键，sin第二步：输入角度值18，屏幕显示结果sin18°=0.309016994（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.操作演示例2：用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；解：根据题意用计算器求出：(1)sin47°≈0.7314.(2)sin12°30′≈0.2164.典例精析

如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．

已知sinA=0.5018，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：还以以利用键，进一步得到∠A＝30°07'08.97"第一步：按计算器键，2ndFsin第二步：然后输入函数值

0.5018屏幕显示答案：

30.11915867°

°＇″2ndF操作演示例3已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，