向量数量积的坐标运算课件-高一下学期数学人教B版

8.1.3向量数量积的坐标运算人教B版（2019）（必修第三册）学习目标CONTENTS1.掌握用坐标形式表示平面向量数量积，会进行平面向量数量积的坐标运算,体现逻辑推理能力（重点）2.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，体现数学计算和逻辑推理能力（重难点）课程引入我们前面学习了两个向量数量积以及它们之间的运算律，那么根据前面学习的知识，如果给两个向量坐标，如何根据数量积的运算表示出两个向量的数量积、夹角以及垂直关系呢？课程内容教学向量a的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1,e2之后，如果对于平面内的向量a，有则(x，y)就是向量a的坐标，记作a＝(x，y)．而且，{e1,e2}是一组单位正交基底.a=xe1+ye2

课程内容教学向量a在正交基底坐标表示

由e1·e1=e2·e2=1，e1·e2=e2·e1=0因此a·e1=(xe1+ye2)·e1=xe1·e1+ye2·e1=x，a·e2=(xe1+ye2)·e2=xe1·e2+ye2·e2=y,也就是说，在单位正交基底{e1,e2}下的坐标为(a·e1,a·e2)，如图所示.这也可通过向量数量积的几何意义看出来.ya·e2xa·e1e1e2O课程内容教学尝试与发现设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，能否用a，b的坐标表示a·b？由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{e1,e2},使得a=x1e1+y1e2，b=x2e1+y2e2因此a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2e1·e1+x1y2e1·e2+y1x2e2·e1+y1y2e2·e2=x1x2+y1y2从而a·b=x1x2+y1y2课程内容教学尝试与发现设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，能否用a，b的坐标表示a·b？当a=(x1,y1)，b=(x2,y2)都不是零向量时，因为|a|2=a·a=x12+y12，|b|2=b·b=x22+y22所以课程内容教学在平面直角坐标系中，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则从而因此这就是说，利用向量的数量积，同样可以方便地得出平面直角坐标系中两点之间的距离公式.课程内容教学向量数量积的坐标相关定义

设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2|a|2=a·a=x12+y12，|b|2=b·b=x22+y22课程内容教学例1：已知a＝(3,-1)，b＝(1,-2)，求a·b，|a|，|b|，<a,b>.由题意可知a·b=(3,－1)·(1,－2)=3×1+(-1)×(-2)=5，又因为所以<a,b>=

课程内容教学例2：已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，求∠BAC的余弦值．因为

＝(3－1，4－2)＝(2，2)，

＝(5，-1，0－2)＝(4，-2)，所以

＝2×4＋2×(－2)＝4因此课程内容教学尝试与发现设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，能否用a，b的坐标表示出a⟂b的充要条件？因为a⟂b的充要条件是a·b=0，因此a⟂b⇔x1x2+y1y2=0课程内容教学用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a⟂b的充要条件是a⟂b⇔x1x2+y1y2=0这就是说，利用向量的坐标与向量的数量积，可以方便地表达出向量垂直的条件.课程内容教学例3：已知点A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证：因为=(2，3)－(1，2)＝(1，1)，=(－2，5)－(1，2)＝(－3，3)所以=(1，1)·(－3，3)＝1×(－3)＋1×3＝0因此课程内容教学例4：如图所示，已知点A(2，1)，将向量

绕原点O逆时针旋转得到

，求点B的坐标．yxBAO由已知可得又因为=(2，1)，设B(x，y)，则＝(x，y)，从而有解得或又因为由图可知x＜0，所以B(－1，2)．课程内容教学例5：如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF，求证：DP⊥EF．ABCDEFPyxO以A为原点，AB所在直线为x轴，正方形的边长为单位长，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，D(0，1)，从而＝(1，0)，

＝(0，1)．由已知，可设P(a，a)，其中0＜a＜1，则E(a，0)，F(1，a)，因此

＝(a，a－1)，

＝(1－a，a)课程内容教学例5：如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF，求证：DP⊥EF．ABCDEFPyxO又因为

＝a(1－a)＋(a－1)a＝0，所以，因此DP⊥EF．例5的启示：建立合理的平面直角坐标系之后，可以方便地借助向量的坐标来解决有关几何问题．课程内容教学拓展：利用向量处理几何问题的一般步骤为：1.建立平面直角坐标系；2.设点的坐标；3.求出有关向量的坐标；4.利用向量的运算计算结果；5.得到结论．课程内容教学拓展：向量的数量积与三角形的面积1.△OAB的面积：yxB(x2,y2)A(