专题02不等式原卷版及全解全析

专题02不等式【清单01】不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性⇒ac>bcc的符号⇒ac<bc5同向可加性⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正【清单02】基本不等式1．如果a>0，b>0，，当且仅当时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．【清单03】二次函数与一元二次方程、不等式的解关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象得等的集不式解y＞0{x|x＜x1_或x＞x2}{x|x1＜x＜x2}Ry＜0{x|x1＜x＜x2}∅∅【考点题型一】不等式的性质【例1】.下列不等式中成立的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若且，则【变式1-1】.已知都是实数，则下列命题中，真命题是（

）A．若，则． B．若，则．C．若，则． D．若，则．【变式1-2】.下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【变式1-3】.（多选）下列说法中，正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式1-4】.（多选）下列命题中，正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【考点题型二】基本不等式【例2】.（多选）已知x、y都是正数，则（

）A． B．若，则的最大值为2C．的最大值为 D．【变式2-1】.（多选）已知正数满足，则（

）A． B．C． D．【变式2-2】.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2-3】.（多选）下列命题中正确的是（）A．若，，，则的最大值为B．已知，，，则的最小值是C．若，则的最小值为4D．若，，，则的最小值为【变式2-4】.（多选）已知，，且，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C． D．的最小值为【考点题型三】一元二次不等式【例3】.已知，关于x的一元二次不等式的解集为.(1)求b，c的值；(2)解关于x的不等式.【变式3-1】.“不等式在上恒成立”的的取值范围（

）A． B．C． D．【变式3-2】.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．【变式3-3】.（多选）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（

）A．且B．C．不等式的解集为D．不等式的解集为【变式3-4】.已知关于x的不等式的解集为.(1)求的值.(2)若正实数满足，求的最小值.【变式3-5】.已知关于的不等式.(1)若该不等式的解集为，求a和b的值；(2)若，求该不等式的解集.1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（多选）下列说法正确的是（

）A．若，则的最大值为B．函数的最小值为C．已知，且，则的最小值为D．若正数，满足，则的最小值是3．（多选）已知函数，下列说法正确的是（

）A．若关于的不等式的解集是或，则B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为C．若，则的最大值为D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是4．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（

）A．若，则不等式的解集为B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是5．（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．当时，，上的值域为，则的取值范围是D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是6．（1）求关于的不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．7．已知函数.(1)若不等式的解集为，求实数，的值；(2)若，解关于的不等式；(3)若，对于，成立，求的最大值.8．已知关于x的不等式．(1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)当时，解关于x的不等式．9．已知关于的不等式的解集为或.(1)求a，b的值；(2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围.10．已知集合是不等式的解集，集合是不等式的解集，，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

专题02不等式【清单01】不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性⇒ac>bcc的符号⇒ac<bc5同向可加性⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正【清单02】基本不等式1．如果a>0，b>0，，当且仅当时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．【清单03】二次函数与一元二次方程、不等式的解关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象得等的集不式解y＞0{x|x＜x1_或x＞x2}{x|x1＜x＜x2}Ry＜0{x|x1＜x＜x2}∅∅【考点题型一】不等式的性质【例1】.下列不等式中成立的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若且，则【答案】B【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，若，由不等式的性质可知，故B正确；对于C，若，取，得，则，故C错误；对于D,若且，取，得，则，故D错误.故选：B.【变式1-1】.已知都是实数，则下列命题中，真命题是（

）A．若，则． B．若，则．C．若，则． D．若，则．【答案】D【详解】对于A，若时，不成立，故A错误；对于B，若时，不成立，故B错误；对于C，若时，无意义，不成立，故C错误；对于D，因为，所以，所以成立，故D正确.故选：D【变式1-2】.下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】B【详解】对于A，取，得，A错误；对于B，由，得，而，则，B正确；对于C，由，得，C错误；对于D，取，满足，而，D错误.故选：B【变式1-3】.（多选）下列说法中，正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BCD【详解】A选项，，所以A选项错误.B选项，若，则，则，所以B选项正确.C选项，若，则，所以C选项正确.D选项，若，则，所以，所以D选项正确.故选：BCD【变式1-4】.（多选）下列命题中，正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BD【详解】对于A，由，但，故A错；对于B，，又，所以，即，故B正确；对于C，由，即，故C错；对于D，由且，故，故D正确.故选：BD.【考点题型二】基本不等式【例2】.（多选）已知x、y都是正数，则（

）A． B．若，则的最大值为2C．的最大值为 D．【答案】BC【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A错误；对于B，，解得，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，当时，，D错误.故选：BC【变式2-1】.（多选）已知正数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对于选项A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故选项A正确；对于选项B：，当且仅当，即时取等号，故选项B错误；对于选项C：由选项A可知，所以，当且仅当，即时取等号，故选项C正确；对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误.故选：AC.【变式2-2】.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，，且，则，所以，当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，因为恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：B.【变式2-3】.（多选）下列命题中正确的是（）A．若，，，则的最大值为B．已知，，，则的最小值是C．若，则的最小值为4D．若，，，则的最小值为【答案】CD【详解】对于A，，解得，平方得，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故A错误；对于B，由，可得，得，则，当且仅当，即，故等号不成立，故B错误；对于C，，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为4，故C正确；对于D，，当且仅当，即时取等号，所认的最小值为，故D正确.故选：CD【变式2-4】.（多选）已知，，且，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C． D．的最小值为【答案】ACD【详解】解：由，得，所以，整理得，解得（舍去），当且仅当时，取得等号，A正确；由，得，即，解得（舍去），当且仅当时，取得等号，所以的最小值为，B错误；由，得，所以，解得，C正确；，，当且仅当，即时，取得等号，D正确．故选：ACD．【考点题型三】一元二次不等式【例3】.已知，关于x的一元二次不等式的解集为.(1)求b，c的值；(2)解关于x的不等式.【答案】(1)，(2)答案见解析【详解】（1）因为不等式的解集为，所以和是方程的两个根.根据韦达定理，可得，.解得，.（2）由（1）知，，则不等式为，即.当时，不等式化为，解得.当时，的解为或.当时，，不等式的解为.当时，不等式化为，即，此时不等式无解.当时，，不等式的解为.

综上所得，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为.【变式3-1】.“不等式在上恒成立”的的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】关于的不等式在上恒成立，若，即，不合题意，若，则，解得.故选：A.【变式3-2】.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．【答案】A【详解】因为关于的不等式的解集为，当，即时，解得，显然解集不为，故舍去；当，即时，，解得，综上可得实数的取值范围为.故选：A【变式3-3】.（多选）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（

）A．且B．C．不等式的解集为D．不等式的解集为【答案】AC【详解】依题意可得方程的两根分别为或，且；由韦达定理可得，即；对于A，由可得，即A正确；对于B，易知，即B错误；对于C，不等式即为，同时除以即可得，所以不等式的解集为，即C正确；对于D，不等式即为，也即；所以，解得或，即不等式的解集为或x>12，可得D错误.故选：AC【变式3-4】.已知关于x的不等式的解集为.(1)求的值.(2)若正实数满足，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得是方程的两根，则，解得.（2）由（1）得正实数满足，所以，当且仅当，且，即时等号成立，所以的最小值为.【变式3-5】.24．已知关于的不等式.(1)若该不等式的解集为，求a和b的值；(2)若，求该不等式的解集.【答案】(1)；(2)答案见解析.【详解】（1）由题设知是的两个根，则.（2）由题设，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题设，二次函数的对称轴为，则，且，即，所以，可得，所以.故选：B2．（多选）下列说法正确的是（

）A．若，则的最大值为B．函数的最小值为C．已知，且，则的最小值为D．若正数，满足，则的最小值是【答案】ACD【详解】对于A，，，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故A正确；对于B，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为，故B错误；对于C，因为，，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故C正确；对于D，因为，，，所以，则，当且仅当即时等号成立，此时，所以的最小值为.故D正确.故选：ACD.3．（多选）已知函数，下列说法正确的是（

）A．若关于的不等式的解集是或，则B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为C．若，则的最大值为D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是【答案】ACD【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或，则和是两根.由韦达定理，，解得，.则，所以A选项正确.对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，则方程有一个根，所以判别式，即，可得.把代入得：所以当时，取得最大值.所以B选项错误.对于C选项，若，则，即.令，则.所以.令，则.对求最大值，.根据均值不等式，当且仅当时取等号.所以，所以C选项正确.

对于D选项，当时，.因为不等式的解集中有且仅有三个正整数，令，则的解集中有且仅有三个正整数,所以,的解集为,所以的解集中有且仅有三个正整数，，，则，解得，所以D选项正确.故选：ACD.4．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（

）A．若，则不等式的解集为B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是【答案】BCD【详解】当时，由，解得，故A错误；若不等式对恒成立，则当时，恒成立，当时，，且，解得，综上，，则整数的取值集合为，故B正确；若不等式对恒成立，则，即解得，故C正确；若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为，且对称轴为，所以该整数解为，结合二次函数的图象，可得即解得，故D正确.故选：BCD5．（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．当时，，上的值域为，则的取值范围是D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是【答案】BC【详解】因的解集是−2,3，所以，A错误；－2，3是关于x的方程的两个根，且，于是得，，即，不等式化为：，解得，B正确；当时，因为，所以，则，，依题意，，由得，或，因在上的最小值为，从而得，或，，两种情况均有，C正确．，令，由对勾函数得在上单调递增，即有，因有解，则，解得或，D不正确；故选：BC6．（1）求关于的不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）【详解】令，，整理有，解得或，当，即时，不等式的解集为或，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为或；综上所述：时，不等式的解集为或，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为或.（2）当时，解得，若，原式化为，满足题意，若，原式化为，不合题意；当时，由题意得，解得，所以，综上所述，实数的取值范围为：.7．已知函数.(1)若不等式的解集为，求实数，的值；(2)若，解关于的不等式；(3)若，对于，成立，求的最大值.【答案】(1)，(2)答案见解析(3)【详解】（1）因为