专题03 等式与不等式（考题猜想易错必刷54题9种题型）（原卷版及全解全析）

专题03等式与不等式（易错必刷54题9种题型专项训练）不等关系与不等式解一元二次不等式由一元二次不等式的解求参数一元二次不等式恒成立问题一元二次方程的根的分布与系数的关系运用基本不等式比较大小运用基本不等式求最值运用“1”的代换构造基本不等式运用基本不等式解决实际问题一．不等关系与不等式1．（2023秋•海淀区期末）若实数，满足，则下列不等式成立的是A． B． C． D．2．（2023秋•那曲市期末）若，则下列不等式成立的是A． B． C． D．3．（2023秋•阿勒泰地区期末）如果，，，，则正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则4．（2024春•临汾期末）若，则A． B． C． D．5．（2024春•龙潭区校级期末）已知实数，，则下列结论一定正确的是A． B． C． D．6．（2024春•海淀区期末）已知、、，则下列选项可能成立的是A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、7．（2024春•泸县校级期末）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是A． B． C． D．8．（2023秋•许昌期末）关于实数，，，下列结论正确的有A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么9．（2023秋•广州期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为A． B． C． D．二．解一元二次不等式10．（2023秋•颍上县校级期末）不等式的解集是A． B． C． D．11．（2024春•达州期末）已知集合，则A． B． C．， D．12．（2023秋•山西期末）不等式的解集为A． B． C．，， D．，，13．（2024春•阜阳期末）设集合，集合，，，1，2，，则A．，，1，2， B．， C．，， D．14．（2024春•长治期末）已知集合，，若，则集合的个数有A．2 B．3 C．4 D．515．（2023秋•迪庆州期末）不等式的解集为A．或B． C．或 D．16．（2024春•海淀区期末）已知命题：关于的不等式与的解集相同，命题，则是成立的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件17．（2023秋•中牟县期末）二次函数的部分对应值如表所示：340则关于的不等式的解集为A． B． C．，， D．，，三．由一元二次不等式的解求参数18．（2023秋•云南期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为A． B． C． D．19．（2024春•秀英区校级期末）已知，关于的不等式的解集是，则的最小值为A．2 B． C．4 D．20．（2023秋•渭南期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为A． B．或 C． D．或21．（2023秋•亭湖区校级期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是A．13 B．14 C．15 D．1622．（2024春•本溪期末）已知甲正确解出不等式的解集为，乙正确解出不等式的解集为，且，，则A． B． C．0 D．1223．（2023秋•谯城区校级期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为A． B． C． D．四．一元二次不等式恒成立问题24．（2024春•商丘期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是A． B． C． D．25．（2023秋•鄠邑区期末）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是A． B．， C．， D．，26．（2023秋•大通县期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是A． B． C．，或 D．27．（2023秋•丰台区期末）能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为．28．（2024春•相山区校级期末）已知，若关于的不等式的解集是．（1）求的值；（2）若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．29．（2023秋•呼和浩特期末）（1）若关于的不等式对都成立，求的取值范围；（2）已知二次不等式的解集为，且，求的值．五．一元二次方程的根的分布与系数的关系30．（2023秋•阳江期末）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是A． B． C． D．，，31．（2023秋•钱塘区校级期末）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是A． B． C． D．32．（2023秋•孝南区校级期末）已知集合，，若中元素至多有1个，则的取值范围是．33．（2023秋•嘉定区校级期末）已知方程的两根为、，则．34．（2024春•辽宁期末）已知关于的方程的两个实数根同号，则实数的取值范围为．35．（2023秋•普陀区校级期末）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则实数的值为．六．运用基本不等式比较大小36．（2024秋•松江区期末）已知，以下四个数中最大的是A． B． C． D．37．（2023春•泉州期末）若，，，则下列不等式恒成立的是A． B． C． D．38．（2022秋•富锦市校级期末）已知，，则，之间的大小关系是A． B． C． D．不确定七．运用基本不等式求最值39．（2024春•红桥区期末）已知，，且，则的最小值为A．2 B． C． D．40．（2024春•台州期末）已知，为正实数，，则A．的最小值为4 B．的最大值为4 C．的最小值为2 D．的最大值为241．（2024春•金安区校级期末）已知正实数，满足，则的最小值为A． B． C． D．42．（2024春•胶州市期末）已知，，，则的最小值为A．2 B．4 C．6 D．843．（2024春•和平区校级期末）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为A．1 B．2 C．4 D．844．（2023秋•河南期末）已知，，且，则的最大值是．45．（2023秋•涪城区校级期末）已知，，，则的最小值为．八．运用“1”的代换构造基本不等式46．（2024春•张家口期末）已知，，且，则的最小值为A． B． C． D．47．（2024春•鞍山期末）若正数，满足，则的最小值为A．2 B． C．3 D．48．（2024春•福州期末）已知正实数，满足，则的最小值为A．24 B．25 C．26 D．2749．（2024春•聊城期末）已知正数，满足，则的最小值为．50．（2024春•舟山期末）已知实数，，且，则的最小值为．51．（2024春•临汾期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为A． B．， C． D．，九．运用基本不等式解决实际问题52．（2023秋•西山区期末）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为A． B． C． D．53．（2022秋•西安区期末）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则最小值是万元．54．（2023秋•松山区期末）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．

专题03等式与不等式（易错必刷54题9种题型专项训练）不等关系与不等式解一元二次不等式由一元二次不等式的解求参数一元二次不等式恒成立问题一元二次方程的根的分布与系数的关系运用基本不等式比较大小运用基本不等式求最值运用“1”的代换构造基本不等式运用基本不等式解决实际问题一．不等关系与不等式1．（2023秋•海淀区期末）若实数，满足，则下列不等式成立的是A． B． C． D．【解析】由，取，，则可排除，，当时，，故错误，由，可得，故正确．故选：．2．（2023秋•那曲市期末）若，则下列不等式成立的是A． B． C． D．【解析】因为，所以，正确；当，时，满足，但是，，不正确；当，时，满足，但是，不正确．故选：．3．（2023秋•阿勒泰地区期末）如果，，，，则正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则【解析】对于，令，，满足，但，故错误，对于，当时，，故错误，对于，，，由不等式的可加性可得，，故正确，对于，令，，，，满足，，但，故错误．故选：．4．（2024春•临汾期末）若，则A． B． C． D．【解析】对选项，，，所以，所以，错误；对选项：取，，，，则，，错误；对选项，且，，所以，所以，正确；对选项：取，，，，则，，错误．故选：．5．（2024春•龙潭区校级期末）已知实数，，则下列结论一定正确的是A． B． C． D．【解析】，当，，时，则，错误，，当，，时，则，错误，，当，时，则，错误，，，，，，正确，故选：．6．（2024春•海淀区期末）已知、、，则下列选项可能成立的是A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、【解析】因为、，故，排除；因为，所以，，又，所以，故错误，正确．故选：．7．（2024春•泸县校级期末）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是A． B． C． D．【解析】不妨设，，，，此时，错误，，错误；因为，，根据不等式的基本性质，同向可加性得到：，正确；，，，时，，显然错误．故选：．8．（2023秋•许昌期末）关于实数，，，下列结论正确的有A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么【解析】对于，当时，，，故不成立；对于，由不等式的加法法则可得如果，那么，故成立；对于，时，，故不成立；对于，由不等式的倒数法则可得：如果，那么，故不成立．故选：．9．（2023秋•广州期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为A． B． C． D．【解析】这一事实表示成一个不等式为：，证明如下：，，则，即．，故选：．二．解一元二次不等式10．（2023秋•颍上县校级期末）不等式的解集是A． B． C． D．【解析】不等式可化为，解得，所以不等式的解集为．故选：．11．（2024春•达州期末）已知集合，则A． B． C．， D．【解析】因为，所以或，故错误；所以，故错误；所以，，故正确；所以不是的子集，故错误．故选：．12．（2023秋•山西期末）不等式的解集为A． B． C．，， D．，，【解析】不等式，转换为，解得：，故不等式的解集．故选：．13．（2024春•阜阳期末）设集合，集合，，，1，2，，则A．，，1，2， B．， C．，， D．【解析】，则或，，，1，2，，则．故选：．14．（2024春•长治期末）已知集合，，若，则集合的个数有A．2 B．3 C．4 D．5【解析】，，，1，2，，因为，所以集合可以为，，，1，，，2，，，1，2，共4个．故选：．15．（2023秋•迪庆州期末）不等式的解集为A．或B． C．或 D．【解析】由不等式可得，或，故不等式的解集为或，故选：．16．（2024春•海淀区期末）已知命题：关于的不等式与的解集相同，命题，则是成立的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】若，则可化为，则与的解集不同，必要性不成立，若、的解集都为空集，如、，此时两不等式解集都为空集，不满足，充分性不成立，综上所述，是成立的既不充分又不必要条件．故选：．17．（2023秋•中牟县期末）二次函数的部分对应值如表所示：340则关于的不等式的解集为A． B． C．，， D．，，【解析】由（4），得图象的对称轴为直线，又因为（3），所以因为，所以的图象开口向下，所以的解集为．故选：．三．由一元二次不等式的解求参数18．（2023秋•云南期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为A． B． C． D．【解析】因为关于的不等式的解集为，所以2和3是方程的解，由根与系数的关系得，，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为，故选：．19．（2024春•秀英区校级期末）已知，关于的不等式的解集是，则的最小值为A．2 B． C．4 D．【解析】因为不等式的解集是，所以，是的两不同根，△，由韦达定理可得，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：．20．（2023秋•渭南期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为A． B．或 C． D．或【解析】因为不等式的解集为或，所以，是的根，所以，解得，，不等式，解得．故选：．21．（2023秋•亭湖区校级期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是A．13 B．14 C．15 D．16【解析】设方程的两根为，，则的解集为，．由题有．又，，则，则的值不可能是16．故选：．22．（2024春•本溪期末）已知甲正确解出不等式的解集为，乙正确解出不等式的解集为，且，，则A． B． C．0 D．12【解析】因为不等式的解集为，不等式的解集为，且，，则方程与方程的根组成集合，，2，，由方程的根与系数关系可知，则其两根为，6，所以，方程的两根为，2，则，所以，所以．故选：．23．（2023秋•谯城区校级期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为A． B． C． D．【解析】据题意可知，，，则，，所求的不等式可化为：，即，解得：或．故选：．四．一元二次不等式恒成立问题24．（2024春•商丘期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解析】因为的解集为，即恒成立，当时，即，不符合题意；当时，则解得．综上所述，实数的取值范围是．故选：．25．（2023秋•鄠邑区期末）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是A． B．， C．， D．，【解析】不等式恒成立，即不等式恒成立，①当时，不等式化为，显然恒成立，符合题意，②当时，则，解得，综上所述，的取值范围是，．故选：．26．（2023秋•大通县期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是A． B． C．，或 D．【解析】当时，显然成立；当时，要使问题成立，则，解得，所以实数的取值范围为．故选：．27．（2023秋•丰台区期末）能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为．【解析】当“关于的不等式在上恒成立”为假命题时，命题“存在，使不等式”为真命题，记，则的最小值小于或等于0，即，，整理得，即或，因此，的取值范围是，，，符合题意的的一个取值为．故答案为：0（答案不唯一）．28．（2024春•相山区校级期末）已知，若关于的不等式的解集是．（1）求的值；（2）若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由题知1和是的两根，所以，解得；（2）由（1）可知不等式在，上恒成立，即在，上恒成立，因为函数在，上单调递减，所以时，所以，即实数的取值范围为，．29．（2023秋•呼和浩特期末）（1）若关于的不等式对都成立，求的取值范围；（2）已知二次不等式的解集为，且，求的值．【解析】（1）时，不等式为，满足题意；时，应满足，解得，所以的取值范围是；（2）由题意知，、是方程的实数根，且，由根与系数的关系知，，因为，所以，解得．五．一元二次方程的根的分布与系数的关系30．（2023秋•阳江期末）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是A． B． C． D．，，【解析】设函数，根据二次函数性质，作图：根据关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则有，解得．故选：．31．（2023秋•钱塘区校级期末）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解析】一元二次方程的两根都在内，令，，解得，故选：．32．（2023秋•孝南区校级期末）已知集合，，若中元素至多有1个，则的取值范围是．【解析】由题意，方程，的解至多有1个①时，方程，只有一个解；②时，方程，的解至多有1个则△，综上所述，的取值范围是或故答案为：或33．（2023秋•嘉定区校级期末）已知方程的两根为、，则．【解析】方程的两根为、，，，则．故答案为：7．34．（2024春•辽宁期末）已知关于的方程的两个实数根同号，则实数的取值范围为．【解析】根据题意得到，即，解得．故答案为：，．35．（2023秋•普陀区校级期末）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则实数的值为．【解析】一元二次方程的两个实根分别为、，，，△．，则实数，故答案为：5．六．运用基本不等式比较大小36．（2024秋•松江区期末）已知，以下四个数中最大的是A． B． C． D．【解析】由题意，所以，由已知有，则，，而、都是正数，所以．故选：．37．（2023春•泉州期末）若，，，则下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【解析】：由，得，错误；，当且仅当时取等号，所以，错误；，当且仅当且，即，时取等号，错误；恒成立，故选：．38．（2022秋•富锦市校级期末）已知，，则，之间的大小关系是A． B． C． D．不确定【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，因为，所以．故选：．七．运用基本不等式求最值39．（2024春•红桥区期末）已知，，且，则的最小值为A．2 B． C． D．【解析】因为，，且，所以，所以，所以；所以，所以，所以，当且仅当，即时取“”，所以的最小值为2．故选：．40．（2024春•台州期末）已知，为正实数，，则A．的最小值为4 B．的最大值为4 C．的最小值为2 D．的最大值为2【解析】因为，为正实数，，又，当且仅当，即，时取等号，所以，即的最小值为4．故选：．41．（2024春•金安区校级期末）已知正实数，满足，则的最小值为A． B． C． D．【解析】因为，所以，解得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为．故选：．42．（2024春•胶州市期末）已知，，，则的最小值为A．2 B．4 C．6 D．8【解析】因为，，所以，，则，当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值为6．故选：．43．（2024春•和平区校级期末）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为A．1 B．2 C．4 D．8【解析】在上，，当且仅当，即时，取得等号，所以有最小值为，因为不等式在上恒成立，所以，解得，所以的最小值为4．故选：．44．（2023秋•河南期末）已知，，且，则的最大值是．【解析】因为，，，所以，所以．当且仅当，即时，等号成立．所以的最大值是．故答案为：．45．（2023秋•涪城区校级期末）已知，，，则的最小值为．【解析】，，，，，故，故，当且仅当，时取等，此时，，故的最小值为．故答案为：．八．运用“1”的代换构造基本不等式46．（2024春•张家口期末）已知，，且，则的最小值为A． B． C． D．【解析】因为，，且，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故选：．47．（2024春•鞍山期末）若正数，满足，则的最小值为A．2 B． C．3 D．【解析】由正数，满足，得，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．故选：．48．（20