专题03 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合应用（12大题型）（期末专项训练）高一数学上学期苏教版（原卷版及全解全析）

2/24专题03函数单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合应用2/24题型一函数的单调性及单调区间（共5小题）1．（24-25高一上·上海松江·期末）下列函数中，对任意的、时，均有的是（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·吉林长春·期末）函数的单调递增区间为（

）A．B．C．D．3．（24-25高一上·四川绵阳·期末）下列函数，满足“对任意，且，都有”的是（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·湖南·期末）已知函数.(1)若，求的值；(2)判断在上的单调性并利用定义法证明；(3)求在上的最大值.5．已知函数，且，设．(1)求函数的解析式；(2)用定义法判断的单调性．题型二复合函数的单调性（共5小题）6.（23-24高一上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．8．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．9．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是10．（24-25高一上·河南信阳·期末）已知函数，则的单调递增区间是（

）A． B．C． D．题型三利用函数单调性求参（共5小题）11．（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．13．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是14．定义在上的函数对任意的两个不相等的实数总有成立，并且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．15．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为．题型四利用函数单调性解不等式（共4小题）16．已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（

）A． B．C． D．17．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．18．，其中，若，则得取值范围是19．（24-25高一上·江西·期末）已知函数(1)用定义法证明函数在区间上是增函数；(2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围.题型五判断函数的奇偶性（共4小题）20．（24-25高一上·海南·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．21．（2025高一上·全国·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是偶函数22．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线C．是奇函数 D．若，则23．（24-25高一下·云南昭通·期末）函数在区间上的图象大致是（

）A．B．C．D．题型六利用函数奇偶性求函数解析式（共5小题）24．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（

）A． B． C． D．25．（24-25高一上·江西·期末）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，A． B． C． D．26．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（

）．A． B． C． D．27．若是定义在上的奇函数，且，对任意的恒成立，若对任意的，，则当时，的解析式为（

）A． B． C． D．28．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）已知函数图像关于原点对称，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．题型七利用函数奇偶性求参（共5小题）29．（24-25高一上·山东菏泽·期末）已知为偶函数，则的值为（

）A． B． C． D．30．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为（

）A．0 B．-1 C．1 D．231．（24-25高一下·河南漯河·期末）若函数为奇函数，则（

）A． B．0 C．1 D．232．（24-25高一上·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（

）A． B．38 C．26 D．33.（24-25高一上·湖南·期末）“”是“函数为偶函数”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件题型八抽象函数的奇偶性、单调性与周期性（共4小题）34.（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，．(1)求的值；(2)判断的奇偶性和单调性；(3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围．35．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且.(1)求的值；(2)令，求证:函数为奇函数；(3)求的值.36．（24-25高一上·辽宁·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，．(1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明；(3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围．37．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，对任意的都有，且时,,时,.(1)求的值并判断函数的奇偶性；(2)讨论的单调性并证明；(3)若对任意的成立，求实数的取值范围.题型九利用函数单调性与奇偶性解不等式（共9小题）38．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知奇函数的定义域为，在区间上单调递增，，且为偶函数.若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（

）A． B．C． D．39．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（

）A． B．函数是奇函数C．若，则 D．函数在单调递减40．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（

）A．B．C．D．41．设函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．42．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．43.已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B44．（24-25高一上·四川德阳·期末）若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．45．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．46.（24-25高一上·江西·期末）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型十最大值与最小值及f（a）+f(-a）（共5小题）47．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则（

）A．2 B．4 C．6 D．848．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（

）A．8 B．4 C．2 D．049.（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知是定义在R上的奇函数，设函数的最大值为M，最小值为m，则50．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则51．（23-24高一上·辽宁鞍山·期末）若函数的最大值为，最小值为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型十一函数单调性、奇偶性、周期性与对称性综合（共4小题）52.（24-25高一上·江苏·期末）已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（

）A．的图象关于点对称B．为偶函数C．的图象关于直线对称D．若，则53．（多选）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（

）A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数C．是周期为4的函数 D．54.（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性：（2）用定义证明函数在上为减函数：（3）已知，且，求x的值.55．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有．(1)求使得成立的x的取值集合；(2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式；(3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．题型十二函数新定义（共6小题）56．（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数．(1)若为区间上的方正函数，求实数的值；(2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由．57．（24-25高一上·四川遂宁·期末）如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点.（1）证明点是函数的对称中心；（2）已知函数（且，）的对称中心是点.①求实数的值；②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.58．（24-25高一上·重庆长寿·期末）数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题.函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系.当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢.例如：，当时是增函数，且随着的增大的变化越来越慢，我们称这个函数在时为“上凸函数”.此性质还可以表达为：成立，则称此函数在内为“上凸函数”.已知函数.(1)请说明的单调性（无需证明过程）；(2)证明此函数在内是“上凸函数”；(3)已知，且，求的最大值.59．（24-25高一上·四川成都·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”．(1)用定义证明函数在为单调递增函数；(2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由；(3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围．60.（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”．(1)试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由；(2)若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围；(3)试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由．61．（24-25高一下·广东广州·期末）若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心．(1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值；(2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由．(3)运用第（2）问的结论，求的值，其中．

专题03函数单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合应用题型一函数的单调性及单调区间（共5小题）1．（24-25高一上·上海松江·期末）下列函数中，对任意的、时，均有的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先确定函数的单调性，再对所给函数进行判断即可.【详解】因为，对任意的、时，均有，所以函数在上单调递增.对A：因为，所以幂函数在上单调递减，不合题意；对B：因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意；对C：因为，所以指数函数在上单调递增，在上就是单调递增，符合题意；对D：因为，所以对数函数在上单调递减，不合题意.故选：C2．（24-25高一上·吉林长春·期末）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间.【详解】函数，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选：A3．（24-25高一上·四川绵阳·期末）下列函数，满足“对任意，且，都有”的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，即函数在上单调递减，逐个选项判断即可.【详解】由对任意的，且，都有，即函数在上单调递减.对于A，，而函数在上单调递增，故A错误；对于B，由余弦函数在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确；对于C，在上单调递增，故C错误；对于D，在R上单调递增，故D错误.故选：B.4．（24-25高一上·湖南·期末）已知函数.(1)若，求的值；(2)判断在上的单调性并利用定义法证明；(3)求在上的最大值.【答案】(1)；(2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明见解析；(3).【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解.（2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可.（3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解.【详解】（1）因为，所以，即因为，所以．（2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下：任取，且，则，因为，且，所以，当时，，所以，即，当时，，所以，即，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．（3）当时，由（2）知在上单调递减，所以；当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增，因为，所以若，则，若，则．综上，.5．已知函数，且，设．(1)求函数的解析式；(2)用定义法判断的单调性．【答案】(1)(2)在区间和和上分别单调递减【分析】（1）直接根据题意代入求值即可；（2）根据定义法判断函数的单调性即可.【详解】（1）因为，所以，则，故．（2）易得的定义域为，，则，①当时，，则，即，故在区间上单调递减；②当时，，则，即，故在区间单调递减，③当时，，则，即，故在区间单调递减，综上，在区间和和和上分别单调递减题型二复合函数的单调性（共5小题）6.（23-24高一上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解.【详解】由，，解得或，所以函数的定义域为，令，则函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为．故选：C.7．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用复合函数单调性的判定，求解内层函数的定义域，进而再求出单调性即可.【详解】设，即，在上单调递增，故取，且的单调递增的部分，可求出的递增区间，可得，即，解得.故选：A.8．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间.【详解】对于函数，由可得或所以，函数的定义域为，因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数，外层函数在上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数的减区间为.故选：A.9．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是【答案】【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案.【详解】内函数，其在上单调递增，而外函数在上单调递减，则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为，10．（24-25高一上·河南信阳·期末）已知函数，则的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用复合函数的单调性，结合函数定义域，求单调递增区间.【详解】由，得，解得，所以的定义域为．由复合函数的单调性可知，的单调递增区间即为函数在区间上的单调递减区间，令，解得，所以的单调递增区间为．故选：D．题型三利用函数单调性求参（共5小题）11．（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解.【详解】当在上单调递减，设任意，且，则，又，所以可得，故“”是“在上单调递减”的充要条件，故选：C12．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案.【详解】不妨设，，故，令，则，所以在R上单调递增，因为，所以，，所以，解得.故选：C13．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是【答案】【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可.【详解】因为对任意，当时，都有成立，所以函数在上单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围是.14．定义在上的函数对任意的两个不相等的实数总有成立，并且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得出函数的单调性，利用单调性解不等式，同时须注意定义域．【详解】解：∵函数对任意的两个不相等的实数总有，∴函数在上单调递增，∵∴，解得，故选：B．15．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为．【答案】【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围．【详解】对任意的实数，都有，即成立，可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；可得：，解得，故答案为：．题型四利用函数单调性解不等式（共4小题）16．已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件得到或，然后由单调性解不等式，即可求解.【详解】不等式等价或，又是函数图象上两点，即，，且是定义在上的减函数，故或，所以或，即不等式解集为.故选：A17．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题设有在定义域上单调递减，结合已知判断的区间符号，进而求不等式的解集.【详解】由题设，在定义域上单调递减，且，所以，在上，在上，所以，当时，当时，当时，由，可得解集为.故选：C18．，其中，若，则得取值范围是【答案】【分析】画出函数图像，结合对称性构造不等式即可求解；【详解】

画出函数的图像，当时，，,即，同理：当时，也可得，所以的图像的图像关于对称；所以等价于，即，解得：或，又，所以得取值范围是，19．（24-25高一上·江西·期末）已知函数(1)用定义法证明函数在区间上是增函数；(2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)或【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解.【详解】（1）任取，且，，则，又，，，则，，所以，，得到，即，所以函数在区间上是增函数.（2）因为函数的定义域为，且在区间上是增函数，由，得到，解得或，所以实数的取值范围为或.题型五判断函数的奇偶性（共4小题）20．（24-25高一上·海南·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据奇函数定义及应用解析式的单调性判断各个选项.【详解】对于A：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，A选项错误；对于B：函数定义域为，，所以函数是奇函数，在定义域内单调递增，B选项正确；对于C：在区间上单调递减的，C选项错误；对于D：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误；故选：B.21．（2025高一上·全国·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是偶函数【答案】D【分析】根据奇偶性的定义逐项判断即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以；是定义在上的偶函数，所以，对于A，，所以为奇函数，故A错误；对于B，，所以为偶函数，故B错误；对于C，，与和均不相等，所以为非奇非偶函数，故C错误；对于D，，故为偶函数，故D正确.故选：D.22．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线C．是奇函数 D．若，则【答案】B【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答.【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确；对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确；对于C，，令，，，所以不是奇函数，C不正确；对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确.故选：B23．（24-25高一下·云南昭通·期末）函数在区间上的图象大致是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据奇偶性可排除CD，根据范围可排除B.【详解】，故为奇函数，则其图象关于原点对称，可排除CD，当时，，故可排除B，故选：A题型六利用函数奇偶性求函数解析式（共5小题）24．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式.【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，，则.故选：A25．（24-25高一上·江西·期末）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，A． B． C． D．【答案】【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可.【详解】因为函数为偶函数，所以.当时，，所以当时，.26．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】首先设，根据偶函数的性质，即可求解函数的解析式.【详解】设，，，因为函数是定义在上的偶函数，所以.故选：B27．若是定义在上的奇函数，且，对任意的恒成立，若对任意的，，则当时，的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可知的周期为4，根据函数的奇偶性可知，结合函数周期性即可求解.【详解】由，得，所以，即的周期为4.又，为奇函数，所以，所以当时，，则.故选：D28．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）已知函数图像关于原点对称，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性的定义即可得到答案.【详解】因为函数图像关于原点对称，所以为奇函数，即.当时，得，则，即，.所以当时，.故选：B.题型七利用函数奇偶性求参（共5小题）29．（24-25高一上·山东菏泽·期末）已知为偶函数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用偶函数的定义可求出的值.【详解】由可得，故函数的定义域为，因为函数为偶函数，则，即，所以对任意的恒成立，故，解得.故选：A.30．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为（

）A．0 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】由奇函数定义域关于原点对称求出，再由奇函数性质求出，即可得解.【详解】因为定义域为的奇函数，所以，解得，又由奇函数可知，解得，所以，所以，故选：A31．（24-25高一下·河南漯河·期末）若函数为奇函数，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】由题意可知函数的定义域为，根据奇函数定义取特值可得，并结合奇函数定义检验即可.【详解】令，解得，可知函数的定义域为，若函数为奇函数，则，可得，即，则，可得，即，可知函数为奇函数，所以.故选：B.32．（24-25高一上·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（

）A． B．38 C．26 D．【答案】C【分析】根据奇函数定义域的夜店求出b，继而根据为奇函数求出a，即可求得答案.【详解】根据奇函数的定义，设函数的定义域为D，则对，都有，即定义域关于原点对称，所以，即，解得.要使函数在上为奇函数，需满足，即，，则，即，则所以，故选：C.33.（24-25高一上·湖南·期末）“”是“函数为偶函数”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】应用偶函数定义结合对数运算计算，再应用充要条件定义判断.【详解】因为为偶函数，所以，即，即，即，所以，“”是“函数为偶函数”的必要条件；当“”时，，即函数为偶函数，“”是“函数为偶函数”的充分条件；综上，“”是“函数为偶函数”的充要条件，故选：A.题型八抽象函数的奇偶性、单调性与周期性（共4小题）34.（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，．(1)求的值；(2)判断的奇偶性和单调性；(3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围．【答案】(1)(2)为奇函数；函数是上的减函数(3)或．【分析】（1）在已知等式中令，可得；（2）令，可得奇偶性，再用单调性的定义证明单调性；（3）由奇函数性质及已知变形的形式，然后在中由的单调性化简得，即，作出函数的图象，它与直线的交点个数得结论．【详解】（1）令，代入得，所以．（2）令，代入，可得，所以，可得函数为奇函数；任取，且又因为时，，且，所以，所以，即，所以函数是上的减函数．（3），即所以，令，即，因为函数是上的减函数，所以，即令作出的图象如图，结合图象，可得：当或时，函数有2个零点，即实数m的取值范围为或．35．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且.(1)求的值；(2)令，求证:函数为奇函数；(3)求的值.【答案】(1)(2)证明见解析；(3).【分析】（1）应用赋值法即可；（2）应用奇函数的定义即可判断；（3）结合（2）转化为求，即可求解.【详解】（1）当时，，则；（2）当时，，则；设，则，则，则，即，即函数为奇函数.（3）由（2）知，为奇函数，则.36．（24-25高一上·辽宁·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，．(1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明；(3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围．【答案】(1)奇函数(2)在上单调递增，证明见解析(3)．【分析】（1）令，结合得，利用奇函数定义即可证明；（2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可；（3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可.【详解】（1）函数为R上的奇函数.证明如下：易知函数的定义域为，令，则，又，所以，所以函数为奇函数.（2）在上的单调递增，证明如下：由（1）知，，当时，，所以，从而，，则，因为，所以，又当时，，所以，所以，所以，故在上的单调递增.（3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以，由（2）知，当时，，且在上的单调递增，所以在上的单调递增，所以当时，函数的最大值为，最小值为，又任意，总有恒成立，所以，即，由题意，对恒成立，令，则，所以，解得或，故实数的取值范围是.37．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，对任意的都有，且时,,时,.(1)求的值并判断函数的奇偶性；(2)讨论的单调性并证明；(3)若对任意的成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，奇函数(2)增函数，证明见解析(3)【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得；（2）先证明时,，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数；（3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的成立问题，结合一次函数的图象即可求得.【详解】（1）因对任意的都有.当时,令,则，因，则；再令,则，即，因，则.令,则,故是奇函数.（2）在上是增函数.以下提供证明:当时,则，由，可得，又，且时,，故时,.又因是定义在上的奇函数,所以.任取,则,从而在上单调递增,又因是上的奇函数,则在上单调递增,且，故在上是增函数;（3）在中，令，可得，因，则，由可得，即因在上是增函数，即得对任意的成立，设，则解得或即实数的取值范围为.题型九利用函数单调性与奇偶性解不等式（共9小题）38．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知奇函数的定义域为，在区间上单调递增，，且为偶函数.若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性，周期性，单调性进行求解即可.【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则，又为偶函数，则，故关于对称，则，则，是周期为4的周期函数，又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减，又，则，因此，又关于的不等式对恒成立，则，因此，可得，，故选：C.39．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（

）A． B．函数是奇函数C．若，则 D．函数在单调递减【答案】B【分析】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断.【详解】对于A，令，可得，解得，故A错误；对于B，令，可得，又，则，所以函数是奇函数，故B正确；对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误；对于D，令，，且，则，即，而时，与2大小不定，故D错误.故选：B.40．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性得到，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集.【详解】在R上是奇函数，故，故，当时，单调递增，令，解得，故，结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示.由得或，由图象得或，所以或，即不等式的解集是故选：B41．设函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造新函数，判断函数的奇偶性及其单调性，利用函数的单调性求解不等式即可.【详解】已知函数，令，又，可得：为定义在上的奇函数.当时，，由于二次函数开口向上，且对称轴为，可得：函数在上单调递增；又为奇函数且，可得：函数在上单调递增.又，得：，即，移项得：，由为奇函数，得：，由在上单调递增，得：，解得：.综上可得：实数的取值范围为.故选：B42．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知得到，结合偶函数的对称性及区间单调性得，即可求参数范围.【详解】由题意，知，所以，又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，所以，即或，所以或.故选：B43.已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式.【详解】由可得，设函数，，则在上单调递增，又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减，而不等式，又因为，所以，所以不等式的解集为.故选：B44．（24-25高一上·四川德阳·期末）若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知不等式和偶函数性质判断出在定义域上的单调性，将转化为，，结合含绝对值不等式的解法求解即可.【详解】由可知：当时，，即当时，，可得在上单调递增，因为是定义在上的偶函数，偶函数的图象关于轴对称，所以在上单调递减，且，，可得，即，又因为，，所以，易知，恒成立，因此，，即，,的值域是，的值域是，解得.故选：D.45．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】已知时，根据指数和对数函数的性质可知在上单调递增，根据零点讨论的范围，得出当时，；根据函数的奇偶性，即为定义在上的奇函数，得出当时，，合并确定不等式的解集.【详解】当时，，易得在上单调递增，又，所以当时，，当时，，又为定义在上的奇函数，所以当时，，当时，，当或时，.综上，不等式的解集为.故选：A.46.（24-25高一上·江西·期末）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性与单调性，根据函数性质，把函数不等式转化为代数不等式在给定区间恒成立，从而求参数的取值范围.【详解】因为，所以函数为奇函数.又因为函数，，都是上的增函数，所以也是上的增函数.所以.所以问题转化为：当时，即恒成立.设，由时，恒成立得：.故选：A题型十最大值与最小值及f（a）+f(-a）（共5小题）47．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】由题意可得，可求的值.【详解】由，得，函数的定义域为，令，定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，所以，则的图象关于点对称，所以.故选：C.48．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（

）A．8 B．4 C．2 D．0【答案】B【分析】根据赋值法可得，进而根据奇函数的性质得为奇函数，即可根据奇函数的性质求解.【详解】令，则，得；令，则，所以；令，则，所以为奇函数，故，即，所以．故选：B．49.（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知是定义在R上的奇函数，设函数的最大值为M，最小值为m，则【答案】2【分析】由题意可得的最大，最小值分别为，，由奇函数的性质可得，变形可得答案．【详解】，令，因为是奇函数，所以，，所以函数是奇函数，所以函数的最大值为，最小值为，由奇函数得性质可得，，解得.50．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则【答案】2【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案.【详解】因为，，令，则，设，，则，所以是奇函数，最大值为，最小值为，则，由，解得.51．（23-24高一上·辽宁鞍山·期末）若函数的最大值为，最小值为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】将函数解析式化为，令，判断的奇偶性，然后利用函数的奇偶性求解即可.【详解】，令，则其定义域为，又，所以为奇函数，则，所以，则.故选：B.题型十一函数单调性、奇偶性、周期性与对称性综合（共10小题）52.（24-25高一上·江苏·期末）已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（

）A．的图象关于点对称B．为偶函数C．的图象关于直线对称D．若，则【答案】ACD【分析】由可判断A，根据平移变换得为奇函数判断B，由题干等量函数关系得判断C，根据单调性及对称性列不等式求解判断D.【详解】由知，故的图象关于点对称，A正确；的图象由的图象向左平移一个单位得到，故的图象关于点对称，即为奇函数，B错误；由，知：，所以的图象关于直线对称，C正确；因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，若，且，由的图象关于直线对称知，平方化简得，解得，D正确.故选：ACD53．（多选）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（

）A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数C．是周期为4的函数 D．【答案】ACD【分析】运用奇函数性质和对称性得到原函数的周期性，借助赋值可解.【详解】为奇函数，得到，向右平移1个单位得到，则的图象关于点中心对称,则A正确.则，的图象关于直线对称,则，则,则，则是周期为4的函数.则C正确.令，则由，知，则..故D正确.前面式子推不出，故B错误.故选：ACD.54.（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性：（2）用定义证明函数在上为减函数：（3）已知，且，求x的值.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）或.【解析】（1）由已知得函数的定义域关于原点对称，再由，可得结论；（2）任取，作差，判断其差的符号，可得证；（3）由三角函数的值域和（1），（2）的结论可得在也是减函数，由此可得，解之可得答案．【详解】解.（1）奇函数；证明：函数，定义域，关于原点对称，又，故为奇函数；（2）任取，，因为，，，所以，则，所以在上为减函数.（3），，，又在R上为奇函数且在为减函数，所以在也是减函数，所以，又，则或.55．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有．(1)求使得成立的x的取值集合；(2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式；(3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)证明见详解，(3)【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解；（2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数的性质求解析式；（3）先利用换元令，结合二次函数求得，再根据的性质求的最大值，再利用基本不等式求得，结合恒成立问题分类讨论分析求解.【详解】（1）由题意可得：，则，解得，则，故使得成立的x的取值集合.（2）∵，即，则，∴为周期为4的周期函数，又∵是定义在R上的奇函数，则，即，当时，则，故；又∵是定义在R上的奇函数，则有：当时，则，故；当时，则，故；综上所述：当时，则.（3）对于，令，则的对称轴为，故当时，取到最大值，故当时，取到最小值，故，由（2）可知：在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，则的最大值为，又∵为周期为4的周期函数，则当时，则的最大值为，∴的最大值为，则对任意恒成立，又∵，当且仅当，即时等号成立，则有：当时，则，不合题意，舍去；当时，则，解得，综上所述：实数a的取值范围为.题型十二函数新定义（共7小题）56．（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数．(1)若为区间上的方正函数，求实数的值；(2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)不存在；理由见解析.【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值.（2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况.【详解】（1）因为，函数图象开口向上，且对称轴为，所以函数在上单调递增，由题意，为区间上的方正函数，所以当时，；当时，，解得或（舍去）.因此，若为区间上的方正函数，则实数的值为.（2）不存在，理由如下：对函数，因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，又当时，，所以函数在上单调递减，由奇函数性质可知，函数在上单调递减.如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数，则，即，又，显然，所以，，所以，即，解得，这与矛盾.故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数.57．（24-25高一上·四川遂宁·期末）如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点.（1）证明点是函数的对称中心；（2）已知函数（且，）的对称中心是点.①求实数的值；②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）①，②.【分析】（1）求得，根据函数的定义，即可得到函数的图象关于点对称.（2）①根据函数函数的定义，利用，即可求得.②由在上的值域，得到方程组，转化为为方程的两个根，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，所以函数的图象关于点对称.（2）①因为函数（且，）的对称中心是点，可得，即，解得（舍）.②因为，∴，可得，又因为，∴.所以在上单调递减，由在上的值域为所以，，即，即，即为方程的两个根，且，令，则满足，解得，所以实数的取值范围.58．（24-25高一上·重庆长寿