北京市西城外国语学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试题（含答案）

2025北京西城外国语学校初三（上）期中数学2025.11班级姓名学号成绩第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.抛物线的顶点坐标为（）.A． B． C． D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（）.A. B. C.D.3．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移正确的是（）.ABDCEA．先向左平移ABDCEB．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位4．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（）.A.55°B.60°C.65°D.70°5．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是（）．A.100°B.80°C.50°D.40°6．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）.A．3000(1+x2)=5000 B．3000x2=5000C．3000(1+x)2=5000 D．3000(1-x)2=50007．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m1027075015003500700014000成活数n823566213353180629212628成活的频率(精确到0.001)0.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902下列说法正确的是（）.A．若移植100棵幼树，成活数一定为90棵B．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900C．移植的幼树越多，成活率越高 D．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵8．如图，抛物线交x轴于点A(a,0)和B(b,0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m=0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝－1，则b＝4；④抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2.其中所有正确结论的序号是（）.A．①② B．②③ C．①③ D．①②④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在平面直角坐标系中，点A（-4，1）关于原点对称的点的坐标为__________.10.已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点（0，1），写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式________.11.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为__________.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB=25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于_______.13.已知是方程的一个根，则代数式的值是．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是将△DCE绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是．第第14题图第15题图第16题图二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足不等式的的取值范围是．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，，（其中），点P在以点为圆心，半径等于2的圆上，如果点P满足，则m的最小值为．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．解方程：．18．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使得PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点Q；②以点Q为圆心，OQ的长为半径作圆，交⊙O于点A和点B；③作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝①（②）（填推理的依据）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线（③）（填推理的依据）．19．已知二次函数y=-x2-2x+3．（1）将y=-x2-2x+3化成y=a(x-h)2+k的形式，并写出它的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）当y<0时，结合图象，直接写出自变量x的取值范围．20．小慧家的圆形桌面被损坏，残留下的一部分如图所示．小慧想重新配块同样大小的圆形桌面，进行了如下操作：首先在残留桌面的圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，其次测量出AB＝40cm，CD＝10cm，请帮助小慧求出此圆形桌面的半径．21．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=110°，求∠BED的度数．22．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围．23．2023年7月北京遭遇特大暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到A组(信息登记)，B组(物资发放)，C组(垃圾清运)的其中一组．（1）小东被分配到A组是事件(填“必然”，“随机”或“不可能”)；小东被分配到A组的概率是．（2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率．24．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠ADC＝60°，BC=4，求CD的长．25．乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：cm）与水平距离x（单位：cm）近似满足函数关系式．乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/cm04080120160竖直距离y/cm2035403520（1）根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系．（2）小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：cm）与水平距离x（单位：cm）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内：（填“是”，“否”）.26．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线x=t（1）当t=1时，①直接写出b与a满足的数量关系；②m与n的大小关系是：m____n．（填“>”，“<”或“=”）（2）已知点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围．27.如图，在△ABC中，，．是边上一点，交的延长线于点．（1）用等式表示与的数量关系；（2）连接，延长至，使．连接，，．①依题意补全图形；②判断△DCF的形状，并证明． 28．我们规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的k倍，那么点M就是点P的k倍关联点．（1）当点P的坐标为（-1，0）时，①如果点P的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是；②如果直线上存在点P的2倍关联点，求b的取值范围；（2）如果点P到原点O的距离为2，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段AB上所有的点都是点P的倍关联点，直接写出b的取值范围．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案ACBCCCBD二、填空题（共16分，每题2分）题号9101112答案（4，-1）例：（答案不唯一）440°题号13141516答案4（2，2）3三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.解：a2，b9，c10．△b2-4ac=1.…………………3分∴，.……5分18.解：（1）补全图形，如图所示；…2分（2）90°，………3分直径所对的圆周角是直角；………4分经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.…5分19．解：（1）顶点坐标是（-1，4）；…2分（2）图象如图所示； 4分（3）x＜-3或x>1． 6分20．解：设所在圆的圆心为O，半径为rcm，连接OA，OB．∵,CD是AB的垂直平分线，∴点O在直线CD上．…1分∵AB＝40，CD＝10，∴DB＝20，OD=r-10．在中，∠ODB=90.∵，∴．…4分…5分解得…5分答：此圆形桌面的半径为25cm．21．（1）证明：∵AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE∴AE=AD，∠EAD=60°……1分∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=60°∴∠EAB=∠DAC∴∴∠AEB=∠ADC……3分（2）证明：连接ED∵∠ADC=110°∴∠AEB=∠ADC=110°……4分∵AE=AD，∠EAD=60°∴△EAD是等边三角形∴∠AED=60°∴……5分22．（1）证明：所以方程总有两个实数根．……2分（2）解：……5分23.解：（1）随机；……2分答：小东和小北被分配到同一组的概率的是.……5分24.（1）证明：连接OD∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°……1分∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCB=45°∴∠AOD=2∠ACD=90°∴AB⊥OD∵DE∥AB∴OD⊥DE又∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线……3分（2）过B作BF⊥CD于F∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∵∠ADC＝60°∴∠CDB=30°在Rt△CBF中，BC=4，∴……4分在Rt△DBF中，∴CD=DF+CF=……6分解：（1）40；……1分由表中数据可得顶点（80，40）设……2分把（40，35）代入得∴∴所求函数关系为……4分（2）是.……6分26．解：（1）①b=-2a……1分②＞……2分（2）∵a>0，对称轴为直线x=t∴当x≥t时，y随x的增大而增大，当x≤t时，y随x的增大而减小.∵时，∴∵时，∴即……3分设点A(-2,m)关于抛物线对称轴x=t的对称点为点，∵m>p∴∴……5分综上所述，t的取值范围是.……6分27.解：（1）．……1分（2）①如图所示：……2分②结论：是等边三角形．……