专题3.1 函数的概念（考点清单3个考点梳理+12题型解读）（原卷版及全解全析）

专题3.1函数的概念【清单01】函数的概念1.给定是两个非空的实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈Ax称为自变量，y称为因变量.2.定义域：自变量的取值范围（即集合A）；3.值域：所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}．显然，值域是集合B的子集．4.相同的函数（同一函数）：两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的一个值，两个函数表达式表示得到的函数值相等）5.拓广：复合函数的认识，函数是由f(u)),u(x)=x+1复合而成的复合函数.【清单02】函数的表示方法1.表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．【清单03】分段函数分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．3.提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．【考点题型一】函数关系及相等函数的判断【例1】（多选）（24-25高一上·海南儋州·阶段练习）有以下判断，其中是正确判断的有（）A．与表示同一函数B．函数y=fx的图像与直线的交点最多有1个C．与是同一函数D．函数的定义域为，则函数的定义域为【变式1-1】（24-25高一上·贵州·期中）若函数y=fx的定义域为，值域为，则函数y=fx的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【变式1-2】（24-25高一上·广东·期中）下列各组函数中，是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．，与，【变式1-3】（24-25高一上·广东东莞·期中）下列各组函数中，与是相同函数的是（为自然对数的底数）（

）A． B．C． D．【变式1-4】（多选）（24-25高一上·河南许昌·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．与表示同一函数B．函数的图象与直线的交点至多有1个C．若，则D．关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是【考点题型二】求函数值【例2】（24-25高一上·浙江衢州·阶段练习）已知函数，则．【变式2-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，且对，，则（

）A． B． C． D．2【变式2-2】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）函数满足对任意的实数，，均有，且，则（

）A．1014 B．1012 C．2024 D．2025【变式2-3】（多选）（20-21高一上·福建泉州·期中）定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（

）A． B．C． D．【变式2-4】（24-25高一上·四川·期中）已知函数.(1)求的值;(2)计算和，猜想的值并加以证明.【考点题型三】求分段函数值【例3】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）已知，则【变式3-1】（24-25高一上·宁夏银川·期中）如图，是函数y=fx的图象上的三点，其中，则的值为（

）

A．0 B．1 C．2 D．3【变式3-2】（24-25高一上·甘肃·期中）已知函数则的值为（

）A．4 B．5 C．8 D．0【变式3-3】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【变式3-4】（24-25高一上·广西玉林·期中）已知函数，则.【考点题型四】求具体函数的定义域【例4】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（24-25高一上·浙江·期中）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【变式4-2】（24-25高一上·北京房山·期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【变式4-3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式4-4】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知函数的定义域为.【考点题型五】求抽象（复合）函数的定义域【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知函数的定义域为，求的定义域；（2）已知函数的定义域为，求的定义域．【变式5-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为.【变式5-3】（24-25高一上·天津·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是．【变式5-4】（2024高一·全国·专题练习）已知，函数的定义域是，求的定义域.【考点题型六】常见函数的值域【例6】（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【变式6-1】（多选）（24-25高一上·四川攀枝花·阶段练习）下列函数中值域为的是（）A． B．C． D．【变式6-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，那么函数的值域是．【变式6-3】（24-25高一上·山东菏泽·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则函数的值域是.【变式6-4】（23-24高一下·全国·课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)；【考点题型七】求函数的解析式【例7】（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知函数满足，求函数的解析式.【变式7-1】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知函数，求的解析式；【变式7-2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）求下列函数的解析式.(1)已知函数，求；(2)已知是一次函数，，求.【变式7-3】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式;（2）已知，求的解析式;（3）已知一次函数满足，求的解析式.【变式7-4】（24-25高一上·天津红桥·期中）已知函数，且．(1)写出函数的解析式；(2)求的值；(3)若，求实数的值．【考点题型八】由函数的定义域、值域求参数【例8】（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围；（2）的值域为，求实数的取值范围．【变式8-1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式8-2】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【变式8-3】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，的值域为，则的取值范围是．【变式8-4】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数，，若函数的值域为，则实数的取值范围是．【考点题型九】由函数值求自变量或参数【例9】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数．(1)求，；(2)若，求实数的值．【变式9-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，，则实数（

）A．1 B．-1 C． D．0或1【变式9-2】（24-25高一上·广东·期中）函数满足，若，则实数的值为（

）A．0 B．1 C． D．【变式9-3】（24-25高一上·北京通州·期中）已知函数，当时，则的值为.【变式9-4】（23-24高一上·甘肃武威·期中）已知函数．(1)点在的图象上吗?(2)当时，求的值；当时，求的值．【考点题型十】由分段函数值求自变量或参数【例10】（24-25高一上·北京东城·阶段练习）已知函数①若，则x的值是②若且，则的取值范围是【变式10-1】（多选）（24-25高一上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数，若，则x的取值可以是（

）A．3 B．20 C． D．5【变式10-2】（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知函数若，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．【变式10-3】（24-25高一上·浙江温州·期中）设，若，则（

）A． B． C． D．【变式10-4】（2024高二上·北京·学业考试）已知函数，若，则（

）A． B． C．2 D．【考点题型十一】分段函数的性质及其应用【例11】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知函数(1)的值；(2)若的值;(3)若的取值范围.【变式11-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数若当时，，则的最大值是（

）A．4 B．3 C．7 D．5【变式11-2】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式11-3】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数若实数满足且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式11-4】（多选）（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（

）A． B．若，则x的值是C．的解集为 D．的值域为【考点题型十二】分段函数的最值问题【例12】（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（）A．1 B． C． D．-【变式12-1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式12-2】（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为．【变式12-3】（23-24高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为；若在区间上的值域为，则的最大值为．【变式12-4】（23-24高一上·云南曲靖·期中）设.（1）当时，的最小值是；（2）若是的最小值，则a的取值范围是.

专题3.1函数的概念【清单01】函数的概念1.给定是两个非空的实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈Ax称为自变量，y称为因变量.2.定义域：自变量的取值范围（即集合A）；3.值域：所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}．显然，值域是集合B的子集．4.相同的函数（同一函数）：两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的一个值，两个函数表达式表示得到的函数值相等）5.拓广：复合函数的认识，函数是由f(u)),u(x)=x+1复合而成的复合函数.【清单02】函数的表示方法1.表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．【清单03】分段函数分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．3.提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．【考点题型一】函数关系及相等函数的判断【例1】（多选）（24-25高一上·海南儋州·阶段练习）有以下判断，其中是正确判断的有（）A．与表示同一函数B．函数y=fx的图像与直线的交点最多有1个C．与是同一函数D．函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】BCD【知识点】求函数值、抽象函数的定义域、判断两个函数是否相等【分析】根据定义域和对应关系可判断AC；根据函数定义可判断B；由抽象函数的定义域的求法求得定义域可判断D.【详解】A选项：定义域为，定义域为，A选项错误；B选项：因为函数的定义可知当时，要么没有定义，要么存在唯一确定的值，所以函数y=fx的图像与直线的交点最多有1个，B选项正确；C选项：和定义域均为且解析式相同，所以是同一个函数，C选项正确；D选项：因为函数的定义域为，所以时，令，即，所以定义域为.故选：BCD.【变式1-1】（24-25高一上·贵州·期中）若函数y=fx的定义域为，值域为，则函数y=fx的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【知识点】函数关系的判断、函数图像的识别【分析】根据题意，利用函数的基本概念，结合图象逐个分析即可.【详解】A选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，不合题意；B选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，值域为0,2，符合题意；C选项，此图表示的不是函数图象，不符合题意；D选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，值域不是0,2，不符合题意.故选：B【变式1-2】（24-25高一上·广东·期中）下列各组函数中，是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．，与，【答案】D【知识点】判断两个函数是否相等【分析】分别判断函数的定义域与对应法则，即可作出判断．【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故它们的定义域不同，故不是同一函数；对于B，与对应法则不同，故不是同一函数；对于C，由于的定义域为，的定义域为，故它们的定义域不同，故不是同一函数；对于D，与，定义域与对应法则均相同，故是同一函数．故选：D【变式1-3】（24-25高一上·广东东莞·期中）下列各组函数中，与是相同函数的是（为自然对数的底数）（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】判断两个函数是否相等【分析】根据两个函数相等的条件，定义域必须相同即可判断．【详解】对于A，fx定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数；对于B，fx定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数；对于C，fx定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数；对于D，fx和定义域均为，，所以两个函数为相同函数.故选：D.【变式1-4】（多选）（24-25高一上·河南许昌·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．与表示同一函数B．函数的图象与直线的交点至多有1个C．若，则D．关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是【答案】BC【知识点】求函数值、判断两个函数是否相等、解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题【分析】根据同一函数的概念即可判断A，根据函数的定义即可判断B，直接计算即可判断C，结合一元二次方程的性质，利用判别式和韦达定理即可判断D．【详解】对于A，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；对于B，根据函数的定义可知，当的定义域中含有1时，函数的图象与直线有一个交点；当的定义域中不含1时，函数的图象与直线没有交点．综上：函数的图象与直线的交点至多有1个，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，设方程的两根为，关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是，解得，故D错误．故选：BC．【考点题型二】求函数值【例2】（24-25高一上·浙江衢州·阶段练习）已知函数，则．【答案】【知识点】求函数值【分析】由，可知，则，进而可得解.【详解】由已知，则，则，设，则，即，则，故答案为：.【变式2-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，且对，，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【知识点】求函数值【分析】通过赋值，构造方程即可求解.【详解】分别令和得到：，解得：，故选：B【变式2-2】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）函数满足对任意的实数，，均有，且，则（

）A．1014 B．1012 C．2024 D．2025【答案】B【知识点】求函数值【分析】根据给定条件，利用赋值法可得，由此计算得解.【详解】依题意，对于，取，得，而，因此，所以.故选：B【变式2-3】（多选）（20-21高一上·福建泉州·期中）定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【知识点】求函数值【分析】利用赋值法逐项求解判断即可.【详解】令，得，因为，所以，即，故A正确；令，得，即，所以，所以，故B错误；，，所以，故C错误；，，，，所以，故D正确.故选：AD【变式2-4】（24-25高一上·四川·期中）已知函数.(1)求的值;(2)计算和，猜想的值并加以证明.【答案】(1)(2)，，证明见解析【知识点】求函数值【分析】（1）先求，再求即可；（2）先计算和，再猜想的值，并代入计算的值即可.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，所以，，猜想证明：【考点题型三】求分段函数值【例3】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）已知，则【答案】/【知识点】求分段函数解析式或求函数的值【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可.【详解】.故答案为：.【变式3-1】（24-25高一上·宁夏银川·期中）如图，是函数y=fx的图象上的三点，其中，则的值为（

）

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【知识点】求函数值、图象法表示函数【分析】根据图象先计算出的值，然后再计算出的值.【详解】由图象可知，所以，故选：D.【变式3-2】（24-25高一上·甘肃·期中）已知函数则的值为（

）A．4 B．5 C．8 D．0【答案】B【知识点】求分段函数解析式或求函数的值【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.【详解】因为所以，所以.故选：B【变式3-3】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求分段函数解析式或求函数的值【分析】利用分段函数求函数值即可得答案.【详解】由，又，因此可得.故选：C.【变式3-4】（24-25高一上·广西玉林·期中）已知函数，则.【答案】/【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值【分析】根据分段函数解析式直接计算即可.【详解】由题意可得，当时，，当时，，所以.故答案为：.【考点题型四】求具体函数的定义域【例4】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】具体函数的定义域【分析】求使式子有意义的实数的集合即可.【详解】要是函数式子有意义，则需要，解之可得，函数的定义域为.故选：C【变式4-1】（24-25高一上·浙江·期中）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】具体函数的定义域【分析】根据分式、根式以及零次方的意义列式求解即可.【详解】令，解得且，所以函数的定义域是.故选：D.【变式4-2】（24-25高一上·北京房山·期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】具体函数的定义域【分析】根据题意，列出使得函数有意义的不等式，求解即可.【详解】要使得函数有意义，则，解得，故定义域为.故选：C.【变式4-3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】具体函数的定义域【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得，解得，故定义域为.故选：C【变式4-4】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知函数的定义域为.【答案】【知识点】具体函数的定义域【分析】由解析式列出不等式求解即可.【详解】由题意得，即，即，解得，∴函数的定义域为.故答案为：.【考点题型五】求抽象（复合）函数的定义域【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知函数的定义域为，求的定义域；（2）已知函数的定义域为，求的定义域．【答案】（1）；（2）．【知识点】抽象函数的定义域【分析】根据抽象函数定义域的整体性代换求解即可.【详解】（1）因为函数中的相当于函数中的，所以，所以，所以所以的定义域为（2）因为的定义域为，即，所以，所以的定义域为即所以，所以的定义域为．【变式5-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】抽象函数的定义域【分析】根据抽象函数的定义域即可得到答案.【详解】因为函数的定义域为，所以，故，所以函数的定义域为.由，得.故选：B.【变式5-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【知识点】抽象函数的定义域【分析】根据题意得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得，得，则.故答案为：.【变式5-3】（24-25高一上·天津·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是．【答案】【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域【分析】先由抽象函数的定义域的求法求出的定义域，然后求解即可.【详解】函数的定义域是，所以，于是，所以的定义域为，由，解得，故的定义域为，故答案为：【变式5-4】（2024高一·全国·专题练习）已知，函数的定义域是，求的定义域.【答案】【知识点】抽象函数的定义域【分析】由求和的范围，然后结合解不等式组即可求解.【详解】由已知得，即，所以函数的定义域由确定.因为，所以，所以函数的定义域是.【考点题型六】常见函数的值域【例6】（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可.【详解】结合题意：，当时，；当时，，当且仅当，即，原式取得最小值；另一方面，因为，，所以，即；当时，，当且仅当，即，原式取得最大值；另一方面因为，令，则，所以，所以，所以，即；综上所述：函数的值域是.故选：A.【变式6-1】（多选）（24-25高一上·四川攀枝花·阶段练习）下列函数中值域为的是（）A． B．C． D．【答案】AB【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解．【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确；对于B，函数，值域为，B正确；对于C，函数的定义域为，值域为，C错误；对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误．故选：AB．【变式6-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，那么函数的值域是．【答案】【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、函数新定义【分析】根据取整函数的定义求函数的值域.【详解】设，其中，为的小数部分，则.所以.所以函数的值域为：故答案为：【变式6-3】（24-25高一上·山东菏泽·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则函数的值域是.【答案】【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数新定义【分析】令，利用判别式法可得的取值范围，即可得的值域，结合所给定义即可得的值域.【详解】令，由，则有，当时，有；当时，则有，解得，又，即或；综上可得，则，故的值域是.故答案为：.【变式6-4】（23-24高一下·全国·课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)；【答案】(1)(2)(3)【知识点】求二次函数的值域或最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域【分析】（1）根据函数的解析式以及x的取值，即可求得答案；（2）根据函数解析式结合根式的性质，即可得答案；（3）利用二次函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）由于，且，则．所以函数的值域为.（2）函数的定义域为，由，得，所以的值域为.（3）函数图象的对称轴为，当时，，所以函数的值域为．【考点题型七】求函数的解析式【例7】（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知函数满足，求函数的解析式.【答案】（1）或；（2）；（3），.【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解；（2）设，利用换元法求解析式即可；（3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可.【详解】（1）因为为一次函数，可设.所以.所以，解得或.所以或.（2）设，则，，即，所以，所以．（3）由①，用代替，得②，得：，即，.令，则，.则：，.所以，.【变式7-1】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知函数，求的解析式；【答案】（1）或；（2）【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由换元法代入计算，即可得到结果.【详解】（1）设，则.，解得，或，或.（2）令，则，，即.【变式7-2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）求下列函数的解析式.(1)已知函数，求；(2)已知是一次函数，，求.【答案】(1)(2)【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式【分析】（1）用换元法，设，代入已知式求解；（2）设，代入已知条件求得参数值得解．【详解】（1）因为函数，令则，因为，所以，所以.（2）设，由得，则，又因为，所以，解得，所以．【变式7-3】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式;（2）已知，求的解析式;（3）已知一次函数满足，求的解析式.【答案】（1），（2），（3）【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式【分析】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）.【详解】（1）设，因为，所以，则.由题意可知:，对照系数可得，解得.所以.（2）令，则，所以.所以.（3）设，因为，所以，对照系数可得，解得，所以.【变式7-4】（24-25高一上·天津红桥·期中）已知函数，且．(1)写出函数的解析式；(2)求的值；(3)若，求实数的值．【答案】(1)(2)(3)【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数解析式或求函数的值、求函数值【分析】（1）根据已知的函数值求待定系数的值.（2）根据函数解析式求函数值.（3）分情况讨论求实数的值.【详解】（1）由于，故，解得，所以.（2），.（3）当时，，解得，舍去.当时，，解得或，其中不符合题意，舍去.综上：【考点题型八】由函数的定义域、值域求参数【例8】（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围；（2）的值域为，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【知识点】根据值域求参数的值或者范围、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数【分析】（1）由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合判别式运算求解；（2）由题意可知：的值域包含，分和两种情况，结合二次函数运算求解.【详解】（1）由题意可知：在上恒成立，当，即时，，即，不合题意；当，即时，，解得，综上所述：的取值范围是；（2）由题意可知：的值域包含，当时，，因为，可得，所以的值域为，符合题意；当时，则，解得，综上所述：实数的取值范围是．【变式8-1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据值域求参数的值或者范围、求二次函数的值域或最值【分析】分、及，结合函数值域定义与二次函数性质计算即可得解.【详解】若函数的值域为，则内函数有定义，故内函数大于或等于0，当时，函数其定义域为，值域为符合题意；当时，函数开口向上，若要满足题意则需，解得；当时，函数开口向下，不可能符合题意；综上所述：.故选：A.【变式8-2】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】对分情况，分段求函数的值域，再求并集，即可求解.【详解】当时，函数在单调递减，，，，，此时函数的值域是，不是，不符合条件，当时，函数的范围为，的范围是0,+∞，所以函数的值域是，符合条件；当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件；当时，函数的范围为，的范围是1,+∞，所以函数的值域是，符合条件；当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域不是，不符合条件；所以.故选：D【变式8-3】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，的值域为，则的取值范围是．【答案】【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】函数的表达式中含有绝对值，讨论去绝对值化成分段函数，结合函数图象求解.【详解】由，可得分段函数，画出对应函数图象：

的值域为，且，,所以的值能使得取得最小值；由图可知：.故答案为：.【变式8-4】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数，，若函数的值域为，则实数的取值范围是．【答案】【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、解不含参数的一元二次不等式、根据值域求参数的值或者范围【分析】首先化简函数，根据，，列不等式求实数的取值范围.【详解】，则有，，由，，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：【考点题型九】由函数值求自变量或参数【例9】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数．(1)求，；(2)若，求实数的值．【答案】(1)4；2(2)或．【知识点】求函数值、已知函数值求自变量或参数【分析】（1）将代入解析式求解即可；（2）根据，求解即可.【详解】（1）由，可知，，所以．（2）函数的定义域为，因为，即，解得或．故或．【变式9-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，，则实数（

）A．1 B．-1 C． D．0或1【答案】A【知识点】已知函数值求自变量或参数、已知f（g（x））求解析式【分析】根据给定条件，求出函数，再由给定函数值求出.【详解】令，则，由，得，于是，由，得，，所以.故选：A【变式9-2】（24-25高一上·广东·期中）函数满足，若，则实数的值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式【分析】利用换元法求出，代入即可求.【详解】令，则，所以，即，所以，解得.故选：D【变式9-3】（24-25高一上·北京通州·期中）已知函数，当时，则的值为.【答案】或【知识点】已知函数值求自变量或参数【分析】根据已知条件列方程，从而求得的值.【详解】依题意，，则，解得或.故答案为：或【变式9-4】（23-24高一上·甘肃武威·期中）已知函数．(1)点在的图象上吗?(2)当时，求的值；当时，求的值．【答案】(1)不在(2)当时，；当时，.【知识点】求函数值、已知函数值求自变量或参数【分析】（1）计算出的值，即可得出结论；（2）代值计算可得出的值，解方程，可得出的值.【详解】（1）解：因为，所以，点不在的图象上.（2）解：当时，；若，则，即，解得.【考点题型十】由分段函数值求自变量或参数【例10】（24-25高一上·北京东城·阶段练习）已知函数①若，则x的值是②若且，则的取值范围是【答案】或【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、已知分段函数的值求参数或自变量【分析】（1）根据函数值求自变量的值.（2）设，根据函数解析式，把转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解.【详解】（1）若，由；若，由；所以或；（2）设，由题意：，；，，；所以，，所以.故答案为：或；.【变式10-1】（多选）（24-25高一上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数，若，则x的取值可以是（

）A．3 B．20 C． D．5【答案】CD【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量【分析】根据自变量分段求解即可.【详解】当时，，解得；当时，，解得.故选：CD【变式10-2】（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知函数若，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．【答案】BC【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数值【分析】根据分段函数和已知等式求出的值，再求的值即得.【详解】当时，由可得，不合题意；当时，由可得；当时，由可得或,故.当时，；当时，.故选：BC.【变式10-3】（24-25高一上·浙江温州·期中）设，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论、计算即可.【详解】当时，则，由，得，整理得，解得或0（舍去）；当时，则，由，得，无解.综上，.故选：B【变式10-4】（2024高二上·北京·学业考试）已知函数，若，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【知识点】分段函数的性质及应用、已知分段函数的值求参数或自变量【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当时，，当时，，故由，得，故选：A【考点题型十一】分段函数的性质及其应用【例11】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知函数(1)的值；(2)若的值;(3)若的取值范围.【答案】(1)，，．(2)或；(3)或．【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量、解分段函数不等式【分析】（1）根据分段函数表达式求函数值；（2）由分段函数分段列方程求解；（3）由分段函数分段列不等式求解；【详解】（1）由已知，；，则；（2）时，，无解；时，，解得或（舍去）；时，，解得，综上，或；（3）时，恒成立，∴，时，，或，∴或；时，，，所以，综上，的取值范围是或．【变式11-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数若当时，，则的最大值是（

）A．4 B．3 C．7 D．5【答案】C【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】画出的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题.【详解】根据题意，作出y=f(x)的图象如下所示：

数形结合可知，要使y=f(x)的值域为，且取得最大值，则只需，即可，故的最大值为.故选：C.【变式11-2】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】分段函数的性质及应用【分析】根据题意得出分段函数，分类解不等式即可．【详解】由题意，，当时，不等式，即，解得，又，则；当时，不等式，即，解得或，又，则；当时，不等式，即，解得，又，则；综上，实数的取值范围是．故选：D．【变式11-3】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数若实数满足且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的性质及应用【分析】先分析分段函数每一段的性质，得到分段函数的图像，根据，得到的取值，即可求得结果.【详解】如图所示：因为且，从图像可得，因为，所以，即，因为，所以，则，所以的取值范围为，故选：C.【变式11-4】（多选）（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（

）A． B．若，则x的值是C．的解集为 D．的值域为【答案