专题04 幂函数、指数函数与对数函数（原卷版及全解全析）

专题04幂函数、指数函数与对数函数题型1求幂函数的解析式（常考点）题型9由指数函数的单调性求解参数（常考点）题型2幂函数图象特征与幂指数的关系题型10求对数函数的定义域（难点）题型3幂函数及幂函数型复合函数图象过定点题型11求对数型复合函数的定义域（重点）题型4由幂函数的单调性求解参数题型12对数函数图象特征与底数的关系（常考点）题型5求解幂函数的奇偶性题型13求对数函数及对数型复合函数的单调性题型6指数函数的值域题型14求对数函数及对数型复合函数的最值题型7指数函数图象特征与底数的关系题型15对数值大小的比较题型8求指数函数及指数型复合函数的单调性题型1求幂函数的解析式（共6小题）例1（2025•上海宝山区校级期末）幂函数的图象过点，则（4）A．64 B．16 C．8 D．2【变式1-1】（2025•上海浦东新区校级期末）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式为．【变式1-2】（2025•上海金山区期末）已知点在某一个幂函数的图像上．求幂函数的表达式为．【变式1-3】（2025•上海浦东新区期末）若幂函数为整数）的定义域为，则的值为．【变式1-4】（2025•上海宝山区校级期末）已知幂函数图象经过点，则．【变式1-5】（2025•上海青浦区期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值．题型2幂函数图象特征与幂指数的关系（共3小题）例2（2025•上海宝山区校级期末）下列关于幂函数的描述中，正确的是A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数 D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点【变式2-1】如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图象，其中，，则曲线，，，对应的值依次是A．、2、、 B．2、、、 C．、、2、 D．2、、、【变式2-2】（2024•上海闵行区期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数、、从小到大的排列顺序为．（请用“”连接）题型3幂函数及幂函数型复合函数图象过定点（共4小题）例3（2024•上海静安区校级期末）记函数所过定点为，若位于幂函数的图像上，则．【变式3-1】，函数的图像恒过定点，则点的坐标为．【变式3-2】当时，函数的图像恒过定点，则点的坐标为．【变式3-3】幂函数的图象过点，则函数，的图象经过定点．题型4由幂函数的单调性求解参数（共6小题）例4（2025•上海浦东新区校级期末）已知幂函数在上是严格减函数，则．【变式4-1】已知，则实数的取值范围是．【变式4-2】（2025•上海松江区期末）已知幂函数在上是严格减函数，则实数．【变式4-3】（2024•上海杨浦区校级期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则．【变式4-4】（2024•上海黄浦区校级期末）若幂函数在，上是增函数，则实数．【变式4-5】已知幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数．（1）求的值；（2）求满足不等式的实数的取值范围．题型5求解幂函数的奇偶性（共4小题）例5已知，若幂函数为偶函数，则实数．【变式5-1】（2024•上海普陀区校级期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数的值为．【变式5-2】若幂函数为奇函数，则的值为．【变式5-3】已知幂函数在是单调减函数，且为偶函数．（1）求的解析式；（2）讨论的奇偶性，并说明理由．题型6指数函数的值域（共5小题）例6（2025•上海闵行区期末）已知，则函数的值域为．【变式6-1】（2024•上海长宁区期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是．【变式6-2】（2024•上海浦东新区校级期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是．【变式6-3】（2025•上海青浦区期末）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为．【变式6-4】（2025•上海静安区校级期末）已知函数，，若对任意的，，存在，，使得，则整数的取值集合真子集的个数为．题型7指数函数图象特征与底数的关系（共4小题）例7（2025•上海杨浦区校级期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．【变式7-1】（2025•上海宝山区校级期末）函数（常数且的图像总是经过点．【变式7-2】（2025•上海奉贤区期末）函数且的图像恒过定点的坐标是．【变式7-3】（2025•上海嘉定区期末）若函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是．题型8求指数函数及指数型复合函数的单调性（共3小题）例8下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A． B． C． D．【变式8-1】（2025•上海普陀区校级期末）函数的严格递减区间为．【变式8-2】函数的单调递增区间是：．题型9由指数函数的单调性求解参数（共3小题）例9（2025•上海黄浦区校级期末）设函数和，若两函数在区间，上的单调性相同，则把区间，叫做的“稳定区间”，已知区间，为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为A． B． C． D．【变式9-1】已知是上的单调递增函数，则实数的取值范围是．【变式9-2】（2025•上海闵行区校级月考）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是．题型10求对数函数的定义域（共5小题）例10（2025•上海浦东新区校级期末）函数的定义域为．【变式10-1】（2025•上海浦东新区校级期末）函数的定义域为．【变式10-2】（2025•上海浦东新区期末）函数的定义域为【变式10-3】（2025•上海松江区期末）函数的定义域是．【变式10-4】（2025•上海徐汇区校级期末）已知集合，集合．（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围．题型11求对数型复合函数的定义域（共3小题）例11（2025•上海奉贤区期末）函数的定义域为．（用区间表示）【变式11-1】（2025•上海杨浦区校级期末）函数的定义域为．【变式11-2】（2025•上海青浦区期末）函数的定义域是．题型12对数函数图象特征与底数的关系（共4小题）例12（2025•上海松江区期末）已知常数且，假设无论取何值，函数的图像恒经过一个定点，则此点的坐标是．【变式12-1】（2025•上海静安区校级期末）已知函数过定点，则的最小值为．【变式12-2】（2025•上海青浦区期末）若对任意，且，函数的图像均过一个定点，则此定点的坐标为．【变式12-3】（2025•上海闵行区期末）若，对任意且，函数的图像必过定点．题型13求对数函数及对数型复合函数的单调性（共3小题）例13（2025•上海宝山区校级期末）已知，函数．（1）当时，解不等式；（2）若函数的值域为，求的取值范围．【变式13-1】（2025•上海校级期末）已知常数，函数的表达式为．（1）证明：函数是奇函数；（2）若函数在区间，上的最大值为2，求实数的值．【变式13-2】已知函数．（1）当时，求函数最小值；（2）当，时，函数有意义，求实数的取值范围．题型14求对数函数及对数型复合函数的最值（共3小题）例14求函数的最大值与最小值．【变式14-1】已知为实常数，求函数的最小值．【变式14-2】（2025•上海金山区期末）已知，函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，当，时，，求函数的最小值；（3）当且时，关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围．题型15对数值大小的比较（共3小题）例15（2024•上海杨浦区校级期末）若，而，则下列不等式正确的是A． B． C． D．【变式15-1】已知，则下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【变式15-2】如果，那么，，的大小顺序为A． B． C． D．

专题04幂函数、指数函数与对数函数题型1求幂函数的解析式（常考点）题型9由指数函数的单调性求解参数（常考点）题型2幂函数图象特征与幂指数的关系题型10求对数函数的定义域（难点）题型3幂函数及幂函数型复合函数图象过定点题型11求对数型复合函数的定义域（重点）题型4由幂函数的单调性求解参数题型12对数函数图象特征与底数的关系（常考点）题型5求解幂函数的奇偶性题型13求对数函数及对数型复合函数的单调性题型6指数函数的值域题型14求对数函数及对数型复合函数的最值题型7指数函数图象特征与底数的关系题型15对数值大小的比较题型8求指数函数及指数型复合函数的单调性题型1求幂函数的解析式（共6小题）例1（2025•上海宝山区校级期末）幂函数的图象过点，则（4）A．64 B．16 C．8 D．2【答案】【分析】由题意求得，进而代入求值即可．【解答】解：因为幂函数的图象过点，所以，即，则，则，故．故选：．【变式1-1】（2025•上海浦东新区校级期末）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式为．【答案】．【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．【解答】解：设幂函数，它的图像过点，，即，求得，则此函数的解析式为，故答案为：．【变式1-2】（2025•上海金山区期末）已知点在某一个幂函数的图像上．求幂函数的表达式为．【分析】设出幂函数，将点代入，即可求解．【解答】解：设幂函数的解析式为，点在该幂函数的图象上，则，解得，故幂函数的表达式为．故答案为：．【变式1-3】（2025•上海浦东新区期末）若幂函数为整数）的定义域为，则的值为．【答案】1．【分析】根据已知条件列出约束式即可求解．【解答】解：若幂函数为整数）的定义域为，则，解得，而是整数，则只能，经检验符合题意．故答案为：1．【变式1-4】（2025•上海宝山区校级期末）已知幂函数图象经过点，则．【答案】．【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，进而求出．【解答】解：因为幂函数图象经过点，所以，所以，所以，所以．故答案为：．【变式1-5】（2025•上海青浦区期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值．【答案】0或2．【分析】结合幂函数的性质，即可求解．【解答】解：幂函数在区间上是严格增函数，则，即，解得，，则，1，2，当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意，当时，，不满足函数的图像关于原点中心对称，故舍去，当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意，综上所述，或2．题型2幂函数图象特征与幂指数的关系（共3小题）例2（2025•上海宝山区校级期末）下列关于幂函数的描述中，正确的是A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数 D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点【答案】【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可．【解答】解：对于，不过原点，故错误；对于，过第三象限，故错误；当，幂函数为，在定义域单调递增，当，幂函数为，在定义域单调递增，当，幂函数为，在定义域单调递增，故正确；若幂函数的图像过点，则，所以幂函数为，当时，此时，故错误．故选：．【变式2-1】如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图象，其中，，则曲线，，，对应的值依次是A．、2、、 B．2、、、 C．、、2、 D．2、、、【答案】【分析】根据幂函数在第一象限内的图象特征，结合题意，即可得出正确的判断．【解答】解：根据幂函数在第一象限内的图象，知；当时，幂函数在第一象限内是增函数，图象向上靠近轴，符合特征；当时，幂函数在第一象限内是增函数，图象向右靠近轴，符合特征；当时，幂函数在第一象限内是减函数，图象向右靠近轴，符合特征；当时，幂函数在第一象限内是减函数，图象向右更靠近轴，符合特征．综上，曲线，，，对应的值依次是2、、、．故选：．【变式2-2】（2024•上海闵行区期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数、、从小到大的排列顺序为．（请用“”连接）【答案】．【分析】利用幂函数的性质判断，，的大小即可判断．【解答】解：对于，由其图象可知，例如，对于，由其图象可知，例如，对于，由其图象可知，例如，所以．故答案为：．题型3幂函数及幂函数型复合函数图象过定点（共4小题）例3（2024•上海静安区校级期末）记函数所过定点为，若位于幂函数的图像上，则．【答案】．【分析】由题意，根据指数函数的图象经过定点问题，得到点的坐标，再根据幂函数的定义和性质，用待定系数法求出幂函数的解析式，从而得到的值．【解答】解：函数所过定点为，位于幂函数的图像上，，，则，故答案为：．【变式3-1】，函数的图像恒过定点，则点的坐标为．【答案】．【分析】令，结合求解即可．【解答】解：令，则，所以（2），所以函数的图像恒过定点．故答案为：．【变式3-2】当时，函数的图像恒过定点，则点的坐标为．【答案】．【分析】令幂函数的底数等于1，求得、的值，可得函数图像经过定点的坐标．【解答】解：当时，对于函数的图像，令，可得，故函数的图像恒过定点，故答案为：．【变式3-3】幂函数的图象过点，则函数，的图象经过定点．【分析】由题意求出幂函数的解析式，再化简函数，求出的图象经过的定点．【解答】解：设幂函数，图象过点，则，；，；函数，其中，且；令，得，此时；函数的图象经过定点．故答案为：．题型4由幂函数的单调性求解参数（共6小题）例4（2025•上海浦东新区校级期末）已知幂函数在上是严格减函数，则．【答案】．【分析】根据题意，由幂函数的定义以及单调性列出方程，代入计算，即可得到结果．【解答】解：由题意可得，解得．故答案为：．【变式4-1】已知，则实数的取值范围是．【答案】且．【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解．【解答】解：幂函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，所以，等价于，即，化简得，解得，即且，所以实数的取值范围是且．故答案为：且．【变式4-2】（2025•上海松江区期末）已知幂函数在上是严格减函数，则实数．【答案】1．【分析】由已知结合幂函数定义及性质即可求解．【解答】解：因为幂函数在上是严格减函数，所以且，所以或（舍．故答案为：1．【变式4-3】（2024•上海杨浦区校级期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则．【答案】1．【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，求解即可得答案．【解答】解：幂函数在区间上是严格增函数，，解得．故答案为：1．【变式4-4】（2024•上海黄浦区校级期末）若幂函数在，上是增函数，则实数．【答案】．【分析】由题意，利用幂函数的定义和单调性，即可求出的值．【解答】解：幂函数在上是增函数，，解得．故答案为：．【变式4-5】已知幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数．（1）求的值；（2）求满足不等式的实数的取值范围．【答案】（1），（2）．【分析】（1）根据的图象与性质判断是偶函数，且指数，由此求得的值，写出的解析式，（2）把不等式转化，结合第一问的结论，即可求解结论．【解答】解：（1）由于的图象关于轴对称，则是偶函数，即是偶数，由于在内单调递增，所以，即，又，故可取1，2，3，分别代入得3，4，3，故取，所以，（2）由（1）可得：不等式，故实数的取值范围是．题型5求解幂函数的奇偶性（共4小题）例5已知，若幂函数为偶函数，则实数．【答案】．【分析】根据幂函数的定义与性质，判断即可．【解答】解：时，幂函数是定义域，，上的奇函数；时，幂函数是定义域上的偶函数；时，幂函数的定义域为，，是非奇非偶函数．故答案为：．【变式5-1】（2024•上海普陀区校级期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数的值为．【答案】．【分析】由幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，可得，且为偶数．解出即可．【解答】解：幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，，且为偶数．解得或2，只有时满足且为偶数．，故答案为：．【变式5-2】若幂函数为奇函数，则的值为．【答案】0．【分析】利用幂函数的定义及性质，列式求解即得．【解答】解：由是幂函数，得，解得或，当时，函数是偶函数，不符合题意，当时，是奇函数，符合题意，所以．故答案为：0．【变式5-3】已知幂函数在是单调减函数，且为偶函数．（1）求的解析式；（2）讨论的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据幂函数的性质，幂函数在是单调减函数，且为偶函数，得幂指数小于0，再由可求的值；（2）由知，分，，且三种情况利用定义分别判断函数的奇偶性．【解答】解：（1）由幂函数在是单调减函数，得：，又，或1或2，时；时，时，又函数是偶函数，．（2），当时，，，函数是奇函数；当时，，，函数是偶函数；当且时，（1），，（1），函数对，，，不成立，也不成立，函数是非奇非偶函数．题型6指数函数的值域（共5小题）例6（2025•上海闵行区期末）已知，则函数的值域为．【答案】．【分析】根据指数函数的图象与性质，求解即可．【解答】解：时，，所以函数的值域为．故答案为：．【变式6-1】（2024•上海长宁区期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是．【答案】．【分析】由指数函数的性质可知，进而得解．【解答】解：依题意，在上恒成立，则，解得．故答案为：．【变式6-2】（2024•上海浦东新区校级期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是．【答案】，，．【分析】根据指数函数时，函数单调递增，可得，求解即可．【解答】解：若时，指数函数的值总大于1，则，解得或．则实数的取值范围是，，．故答案为：，，．【变式6-3】（2025•上海青浦区期末）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为．【答案】．【分析】利用待定系数法求解．【解答】解：设指数函数的解析式为且，，解得，，故答案为：．【变式6-4】（2025•上海静安区校级期末）已知函数，，若对任意的，，存在，，使得，则整数的取值集合真子集的个数为．【答案】3．【分析】由的值域是的值域的子集确定的值，然后由子集定义得出结论．【解答】解：当，时，，，，时，，由对任意的，，存在，，使得，可得：，，，所以，解得，其中整数和0，即整数的取值集合为，，真子集有3个．故答案为：3．题型7指数函数图象特征与底数的关系（共4小题）例7（2025•上海杨浦区校级期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】举反例判断；利用不等式性质判断；利用指数函数的单调性判断．【解答】解：，，且满足，对于，当，时，，故错误；对于，，，且满足，，故正确；对于，当时，，故错误；对于，当，时．，故错误．故选：．【变式7-1】（2025•上海宝山区校级期末）函数（常数且的图像总是经过点．【答案】．【分析】令函数的幂指数等于零，求得、的值，可得结论．【解答】解：对于函数，令，可得，，可得它的图像恒经过一个定点．故答案为：．【变式7-2】（2025•上海奉贤区期末）函数且的图像恒过定点的坐标是．【答案】．【分析】由已知结合指数函数的性质即可求解．【解答】解：令可得，此时（2），所以的图象恒过定点．故答案为：．【变式7-3】（2025•上海嘉定区期末）若函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是．【答案】，．【分析】先根据指数函数性质得函数过点，再根据题意列不等式，解得结果．【解答】解：函数过点，若图像不经过第二象限，则，即实数的取值范围为，．故答案为：，．题型8求指数函数及指数型复合函数的单调性（共3小题）例8下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A． B． C． D．【分析】根据奇函数和减函数的定义判断即可．【解答】解：对于，则是偶函数．对于，根据指数函数的性质可知，是减函数．不是奇函数．对于定义为，，，在其定义域内不连续，承载断点，在和在是减函数．对于，则是奇函数，根据幂函数的性质可知，是减函数．故选：．【变式8-1】（2025•上海普陀区校级期末）函数的严格递减区间为．【答案】，．【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解．【解答】解：由题意指数函数在定义域内严格单调递减，若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可，而二次函数对称轴为，且开口向上，故它的严格单调递增区间为，，即函数的严格递减区间为，．故答案为：，．【变式8-2】函数的单调递增区间是：．【分析】令，则，函数的增区间就是的减区间，问题转化为求的减区间．【解答】解：令，，，，故的减区间为，，函数的增区间为，．题型9由指数函数的单调性求解参数（共3小题）例9（2025•上海黄浦区校级期末）设函数和，若两函数在区间，上的单调性相同，则把区间，叫做的“稳定区间”，已知区间，为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】【分析】题目等价于函数与函数在区间，上同增或者同减，分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解．【解答】解：函数和，若两函数在区间，上的单调性相同，把区间，叫做的“稳定区间”，函数在上单调递减，函数在上单调递增，若区间，为函数的“稳定区间”，则函数与函数在区间，上同增或者同减，①若两函数在区间，上单调递增，则在区间，上恒成立，可得，解得；②若两函数在区间，上单调递减，则在区间，上恒成立，即，无解，综上所述；的范围为．故选：．【变式9-1】已知是上的单调递增函数，则实数的取值范围是．【分析】利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数的取值范围．【解答】解：由题意，，解得故答案为：【变式9-2】（2025•上海闵行区校级月考）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是．【答案】．【分析】根据严格减函数定义可知，即可求解．【解答】解：由已知得，，得，所以实数的取值范围是．故答案为：．题型10求对数函数的定义域（共5小题）例10（2025•上海浦东新区校级期末）函数的定义域为．【答案】且．【分析】列出使函数有意义的不等式组，即可求解．【解答】解：函数，则，解得且，故函数的定义域为且．故答案为：且．【变式10-1】（2025•上海浦东新区校级期末）函数的定义域为．【答案】，，．【分析】由解析式可得函数的定义域应满足，求解即可．【解答】解：函数的定义域应满足：，解得且，所以函数的定义域为，，．故答案为：，，．【变式10-2】（2025•上海浦东新区期末）函数的定义域为【答案】．【分析】根据对数函数的定义域列不等式求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为．故答案为：．【变式10-3】（2025•上海松江区期末）函数的定义域是．【答案】．【分析】根据对数函数定义域及根式求解即可．【解答】解：因为函数，所以要使函数有意义，则需，解得，函数定义域为．故答案为：．【变式10-4】（2025•上海徐汇区校级期末）已知集合，集合．（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意可知，，求出的范围即可；（2）由集合可知，分，，三种情况讨论，分别求出集合，再结合求解的范围即可．【解答】解：（1）由题意可知，，解得，即集合；（2）对于集合集合，则，①当，即时，集合或，此时满足，所以，②当，即时，集合或，此时不可能满足，③当，即时，集合，此时满足，所以符合题意，综上所述，实数的取值范围为．题型11求对数型复合函数的定义域（共3小题）例11（2025•上海奉贤区期末）函数的定义域为．（用区间表示）【答案】．【分析】结合对数函数有意义的条件即可求解．【解答】解：由题意可得，，解得．故答案为：．【变式11-1】（2025•上海杨浦区校级期末）函数的定义域为．【答案】．【分析】利用给定的函数的意义，列出不等式组求解即得．【解答】解：函数，则，解得，所以原函数的定义域为．故答案为：．【变式11-2】（2025•上海青浦区期末）函数的定义域是．【答案】，．【分析】由已知结合函数有意义的条件建立关于的不等式组，即可求解．【解答】解：由题意可得，解得．故答案为：，．题型12对数函数图象特征与底数的关系（共4小题）例12（2025•上海松江区期末）已知常数且，假设无论取何值，函数的图像恒经过一个定点，则此点的坐标是．【答案】．【分析】结合对数函数的性质，即可求解．【解答】解：当时，故，故此点的坐标为．故答案为：．【变式12-1】（2025•上海静安区校级期末）已知函数过定点，则的最小值为．【答案】2【分析】先利用函数过定点得到，再根据，展开后利用基本不等式求解即可．【解答】解：函数过定点，（4），化简可得，由基本不等式性质得：，当且仅当时等号成立，的最小值为2．故答案为：2．【变式12-2】（2025•上海青浦区期末）若对任意，且，函数的图像均过一个定点，则此定点的坐标为．【答案】．【分析】由已知结合对数函数的性质即可求解．【解答】解：令可得，，即函数的图像均过一个定点．故答案为：．【变式12-3】（2025•上海闵行区期末）若，对任意且，函数的图像必过定点．【答案】．【分析】由已知结合对数函数的性质即可求解．【解答】解：令，即，此时（2），即函数图像过定点．故答案为：．题型13求对数函数及对数型复合函数的单调性（共3小题）例13（2025•上海宝山区校级期末）已知，函数．（1）当时，解不等式；（2）若函数的值域为，求的取值范围．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）由题意得到对数不等式，求解不等式即可；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数的不等式，求解即可．【解答】解：（1）时，，不等式等价于，所以，解得，所以不等式的解集为．（2）因为函数的值域为，即的值域为，故能取到一切正数，当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，根据二次函数的图象和性质可得△，解得或，所以；综上所述：的取值范围是，．【变式13-1】（2025•上海校级期末）已知常数，函数的表达式为．（1）证明：函数是奇函数；（2）若函数在区间，上的最大值为2，求实数的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）利用奇偶性的定义可证明；（2）利用单调性知识可证明．【解答】解：（1）证明：函数的表达式为，定义域，，都有，，则函数是奇函数．（2）当，在单调递增，又在区间，上的最大值为2，则（1），即，则．【变式13-2】已知函数．（1）当时，求函数最小值；（2）当，时，函数有意义，求实数的取值范围．【