专题02 不等式与基本不等式（9知识+14大题型+分层验收）（期末复习讲义）高一数学上学期苏教版（原卷版及全解全析）

3/3专题02不等式与基本不等式（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律作差法比大小与不等式的基本性质回顾利用作差法比大小以及掌握依据不等式性质进行简单的数值比较和不等式推导基础考点，常出现在选择题，填空题基本不等式的推导与最值定理回顾基本不等式的推导，理解其几何意义，掌握最值定理的使用要求基础考点，常出现在选择题，填空题基本不等式求最值的常用方法回顾“配凑法”“换元法”““1”的代换法”等方法在基本不等式中的应用重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题基本不等式的情境应用能熟练根据实际问题建立函数模型，并利用基本不等式求解最值重要考点，常出现在解答题一元二次不等式的解法回顾一元二次不等式与方程和函数之间的联系，能熟练运用“化正→求根→画图→写解集”的步骤求解基础考点，常出现在选择题，填空题含参一元二次不等式的解法能根据二次项系数、判别式Δ、根的大小进行分类讨论重要考点，常出现在选择题，填空题分式不等式的解法回顾分式不等式与一元二次不等式间的转化规则，能熟练通过移项、通分化为商的形式，再利用符号法则转化为整式不等式组求解基础考点，常出现选择题，填空题，解答题不等式的恒成立与有解问题能准确将“恒成立”与“有解”问题转化为函数最值问题，并求解参数范围重难必考点，常出现在选择题，填空题，解答题知识点01作差法比较大小作差法的依据：①；②；③步骤：(1)作差；(2)变形；（目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论）(4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论）知识点02不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正知识点03基本不等式（1）重要不等式①若任意，则 当且仅当时，等号成立②公式变形：.当且仅当时，等号成立（2）基本不等式①如果，当且仅当时，等号成立。其中，叫作正数的算术平均数，作正数的几何平均数。因此基本不等式也可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。②变形公式：③用基本不等式求最值时，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件)知识点04最值定理①如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.②如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.知识点05糖水不等式、权方和不等式与柯西不等式1、若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜2、二维形式的柯西不等式（，当且仅当时，等号成立）3、若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握柯西不等式与权方和不等式的初级应用，足以解决考试中的这类型最值问题的秒杀)知识点06解一元二次不等式判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅知识点07解分式不等式与绝对值不等式1、分式不等式的解法①②③④2、绝对值不等式的解法①②；；③含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解知识点08高次不等式的解法核心解法：数轴穿根法（序轴标根法）步骤1：求根并标在数轴上步骤2：“穿针引线”定区间符号①从数轴最右侧上方开始，按照“奇穿偶回”的原则画曲线：②“奇穿”：若因式的次数为奇数（如一次因式），曲线穿过该根对应的点；③“偶回”：若因式的次数为偶数（如(x−1)2），曲线接触该根对应的点后返回，不穿过数轴步骤3：根据不等号确定解集知识点09不等式恒成立问题1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).（5）)对于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立时，最高次数的系数含参要考虑为零情况。2．区间恒成立问题.函数在某区间恒成立时，若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.题型一不等式比大小解｜题｜技｜巧比较大小的常用方法（1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.（2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.（3）构造函数，利用函数的单调性比较大小.（4）取特值，举反例.【典例1】下列命题是真命题的是（

）A．若，则. B．若，则C．若，则 D．若，，则【变式1】（多选）已知，，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【变式2】（多选）若，则下列说法不一定正确的是（

）A． B．C． D．若，则【变式3】从下列三组式子中选择一组比较大小：①设，比较的大小；②设，比较的大小；③设，比较的大小.注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.题型二利用不等式性质求解不等式范围解｜题｜技｜巧核心解题原则利用不等式性质求范围的核心是遵循性质的约束条件，避免因“随意变形”导致范围扩大或缩小，关键是保持变形的等价性，优先采用“待定系数法”或“线性组合”的方法。基本性质直接变形法适用于简单的单变量或双变量不等式，需严格遵循不等式的基本性质：性质1（传递性）：若a>b且b>c，则a>c，可用于连不等式的范围推导；性质2（加减性质）：不等式两边同时加/减同一数（或式），不等号方向不变性质3（乘除正数）：两边同时乘/除同一正数，不等号方向不变性质4（乘除负数）：两边同时乘/除同一负数，不等号方向改变性质5（同向可加）：若a>b,c>d，则a+c>b+d（仅可加不可直接减）性质6（同向同正可乘）：若a>b>0,c>d>0，则ac>bd（负数不可直接乘）。待定系数法：适用于双变量或多变量的线性组合范围（如求ax+by的范围），避免分步变形导致范围偏差：①设目标式（如m=2x+y）为已知不等式的线性组合，即m=p(x+y)+q(x-y)；②联立系数求出p,q的值；③利用不等式同向可加性，分别求出p(x+y)和\q(x-y)的范围，再相加得目标式范围。端点验证法：用于检验所求范围是否准确，尤其是分步变形后：取已知不等式的端点值，代入目标式计算，判断目标式的最值是否能取到，排除因“不当变形”扩大的范围。易错提醒1.禁止“同向相减/异向相乘”：不等式无“同向相减”“异向相乘”的性质，强行操作会导致范围错误2.乘除需判断符号：对不等式两边乘除含参数的式子时，必须分“正数/负数/0”讨论，避免漏解3.非线性式慎用性质：求xy、x2等非线性式范围时，不能直接用线性性质，需结合函数单调性【典例1】已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1】已知实数x，y满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2】（多选）已知，，则（

）A． B．C． D．【变式3】已知，则下列结论错误的是（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．取值范围为题型三糖水不等式及其应用（跨章节）解｜题｜技｜巧若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜易错提醒1.条件限制：必须满足0<b<a且m>0，若a<b或m<0，不等式方向会反转，需先验证条件；2.不可逆用：由不能推出0<b<a且m>0，需结合具体场景判断；3.非线性拓展慎用：糖水不等式仅适用于“分子分母同加正数”的线性分式，对平方、乘积型分式不直接适用。【典例1】十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（

）A． B．C． D．【变式1】已知，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【变式2】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【变式3】（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（

）A．若，，则B．若，且，则C．若，，为三条边长，则D．若，，为三条边长，则题型四基本不等式的理解及常见变形解｜题｜技｜巧即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件)易错提醒1.忽略“一正”条件：若变量为负，需先提取负号转化为正数2.未构造“二定”：直接套公式导致最值错误3.多变量等号条件矛盾：多个不等式同时取等时，需确保变量取值一致【典例1】《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，如图所示的图形中，在上取一点C，使得，，过点C作交以为直径的半圆弧于D，连结，作，垂足为E，由可以直接证明的不等式是（

）.A． B．C． D．【变式1】下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（

）问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨；问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y；问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z．A． B． C． D．【变式2】数学里有一种证明方法叫Proofswithoutwords，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（

）A． B．C． D．【变式3】《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为（

）A．≤(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C．≥(a>0，b>0)D．≥(a>0，b>0)题型五基本不等式求最值之“常值代换法”解｜题｜技｜巧核心原理“常值代换法”（又称“1的代换”）是基本不等式求最值的高频技巧，核心是利用已知的“定值条件”（通常为“1”的等式），对目标式进行恒等变形，构造出可使用基本不等式的“积定”或“和定”形式，进而求解最值。1.识别定值条件，锁定代换核心先从题目中提取“定值等式”，优先将其整理为等于1的形式（若为其他定值，可转化为1，2.对目标式进行“乘1代换”：将目标式乘以步骤1中的“1”（即定值等式的变形形式），展开后得到含“分式和”或“整式和”的式子，且展开项中会出现可利用基本不等式的“积为定值”的项。3.应用基本不等式求最值：展开后，对符合“一正二定三相等”条件的项，套用基本不等式求出最值。4.验证等号成立条件：联立“基本不等式取等条件”和“原始定值条件”，验证变量取值是否为正且一致，确保最值可取得。易错提醒1.忽略“一正”条件：代换前需确认所有变量均为正，若变量有负区间需先限定范围；2.代换后未构造出“定值积”：展开后需确保AB为定值，否则无法用基本不等式3.等号条件矛盾：需同时满足基本不等式取等和原始定值条件，若解得变量为负或无解，说明不能用此方法，需换用函数单调性求解。【典例1】已知，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【变式1】正数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．8【变式2】已知，且，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．3【变式3】已知，且，则的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2题型六基本不等式求最值之“换元法”解｜题｜技｜巧核心原理①整体思想②将分式双换元后，易化成,再分离常数化简成可利用基本不等式的结构来求解答案；比如；【典例1】设正实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例2】已知正实数x,y满足x+y≤2且x−y>0，则2【变式1】已知正数a，b，c满足2a+b+3c=8，则a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【变式2】设m，n为正数，且，则的最小值为.【变式3】已知，，则的最小值.题型七条件等式变形求最值解｜题｜技｜巧核心思路对条件等式和目标式同时进行拆项、添项、凑系数，构造出基本不等式要求的“和定”或“积定”形式，再用均值不等式求最值。解题步骤1.分析条件等式的结构：判断是否可转化为“和为定值”或“积为定值”；2.配凑目标式：对目标式进行变形，使其出现与条件等式相关的“和/积”项；3.套用基本不等式：满足“一正二定三相等”后，求出最值并验证等号条件易错提醒1.消元后定义域遗漏：消元时需根据原变量的约束条件（如正数、实数）确定新变量的范围，否则会导致最值求解错误；2.基本不等式等号条件矛盾：用均值不等式时，需同时满足“一正二定三相等”，若等号条件与原条件等式无正解，需换用函数单调性等方法；3.判别式法忽略二次项系数：整理一元二次方程时，需讨论二次项系数是否为0，避免漏解（如系数为0时为一次方程，需单独验证是否有解）。【典例1】若正数、满足，则的最小值为（）A． B．C． D．【变式1】若正数满足，则ab的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．2【变式2】已知，则的最小值是（

）A．1 B．5 C． D．【变式3】已知正数，，满足，则的最小值为（

）A．1 B．4 C．8 D．16题型八权方和不等式与柯西不等式（拓展）解｜题｜技｜巧柯西不等式（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等条件：或（）．注意等号取到的条件.权方和不等式（1）二维形式的权方和不等式对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．（2）一般形式的权方和不等式若，，，则，当时等号成立【典例1】函数的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．【典例2】已知，且，则的最小值为（

）A．1 B． C．9 D．【变式1】为非零常数，的最小值为.【变式2】已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为．【变式3】已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型九利用基本不等式解决恒成立问题解｜题｜技｜巧核心转化逻辑：恒成立不等式f(x)≥k等价于f(x)min≥k；f(x)≤k等价于f(x)max≤k，基本不等式用于快速求f(x)的最值。解题三步法：①分离/锁定函数：将不等式整理为参数与函数分离的形式，确定需最值的目标函数f(x)②用基本不等式求最值：对f(x)配凑“一正二定三相等”的条件，算出其最小/最大值③建立参数关系：根据恒成立逻辑，将最值与参数联立，解出参数范围，同时验证等号条件的有效性。易错提醒①优先分离参数，避免变量与参数混杂；配凑“和定/积定”时，可拆项、用常数代换②若等号条件不满足定义域，改用函数单调性求最值③区分恒成立方向，勿颠倒“最值与参数”的不等关系。【典例1】已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（

）A．14 B．15 C．16 D．17【变式1】若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2】设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．12 B．24 C．32 D．48【变式3】已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．题型十解一元二次不等式（不含参）【典例1】不等式的解集是（

）A． B．C． D．【变式1】不等式的解集为【变式2】不等式的解集是（

）A． B． C． D．【变式3】对于实数，规定表示不大于的最大整数，例，那么使得不等式成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．题型十一解一元二次不等式（含参）解｜题｜技｜巧对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类.（2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.（3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.【典例1】解不等式.【变式1】若，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【变式2】设.(1)若，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.【变式3】已知函数.(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)当时，（i）解关于x的不等式；（i）若存在，使得，求实数a的取值范围.题型十二由一元二次不等式的解求系数解｜题｜技｜巧核心解题逻辑一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根、二次项系数的符号直接相关，解题核心是“解集定根，根定系数”，即先由解集反推对应方程的根，再结合韦达定理或方程根的定义求解参数，同时需关注二次项系数的符号对解集方向的影响易错提醒①忽略二次项系数的符号：直接用根代入方程而不判断a的正负，会导致解集方向错误；②遗漏判别式条件：当解集为全体实数或空集时，需同时满足a的符号和Δ<0，不可只关注Δ；③混淆“解集端点”与“方程根”的关系：解集的端点一定是对应方程的根，但方程的根不一定是解集的端点（需结合不等号方向判断）。【典例1】已知不等式的解集为，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【变式1】若不等式的解集为，则（

）A．1 B． C． D．【变式2】（多选）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．函数在上单调递增【变式3】（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为或题型十三解分式不等式与高次不等式解｜题｜技｜巧核心原理（1）①②③④（2）高次不等式可用数轴穿根法求解.【典例1】“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】解不等式【变式1】解不等式【变式2】关于的不等式的解集为.【变式3】已知，则的取值范围为（

）A． B．C． D．题型十四一元二次不等式的恒成立与有解问题解｜题｜技｜巧核心原理（1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论【典例1】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是．【变式1】若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型十四不等式在实际问题中的应用解｜题｜技｜巧核心原理（1）利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值（2）一元二次不等式的实际应用关键是能根据题意建立出不等关系，从而根据实际求解不等式【典例1】两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（

）A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠C．甲乙一样优惠 D．无法确定【典例2】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（

）A．元 B．元 C．元 D．元【典例3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；(2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？(3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？【变式1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元．【变式2】“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是个∕时．【变式3】某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是万元．1．（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（

）A． B．a－c＞b－dC．a－d＞b－c D．ac＞bd2．（24-25高一上·江苏连云港·期末）不等式的解集为（

）A． B．或C． D．3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）以下命题中是不等式“”成立的充分不必要条件的是（

）A． B． C．且 D．4．（24-25高一上·江苏·期末）若正数满足，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．5．（24-25高一上·江苏南通·期末）用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正数满足，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．7．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期末）若，，则（

）A． B． C． D．8．（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知关于的不等式的解集为，则（

）A． B．C．不等式的解集为 D．不等式的解集为9．（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，且，则的最小值为.10．（24-25高一上·江苏·月期末）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围.11．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知不等式的解集为．(1)求的值；(2)若不等式对于均成立，求实数取值范围．12．（24-25高一上·江苏镇江·期末）（1）已知，且，求的最小值；（2）已知，证明：.期末重难突破练（测试时间：20分钟）1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·江苏·期末）“”是“对任意恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）若，且，则的最小值为（

）．A． B． C． D．4．（多选）（24-25高一上·江苏淮安·期末）下列说法正确的有（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知x，y，z为正实数，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．（24-25高一上·江苏南通·期末）若正实数x，y满足，则的最小值．7．（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为(1)设，试用表示AP，并求的取值范围；(2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？8．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知二次函数满足.(1)求的解析式.(2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围.(3)记.①当的定义域为时，值域为，求实数c的取值范围；②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式.

专题02不等式与基本不等式（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律作差法比大小与不等式的基本性质回顾利用作差法比大小以及掌握依据不等式性质进行简单的数值比较和不等式推导基础考点，常出现在选择题，填空题基本不等式的推导与最值定理回顾基本不等式的推导，理解其几何意义，掌握最值定理的使用要求基础考点，常出现在选择题，填空题基本不等式求最值的常用方法回顾“配凑法”“换元法”““1”的代换法”等方法在基本不等式中的应用重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题基本不等式的情境应用能熟练根据实际问题建立函数模型，并利用基本不等式求解最值重要考点，常出现在解答题一元二次不等式的解法回顾一元二次不等式与方程和函数之间的联系，能熟练运用“化正→求根→画图→写解集”的步骤求解基础考点，常出现在选择题，填空题含参一元二次不等式的解法能根据二次项系数、判别式Δ、根的大小进行分类讨论重要考点，常出现在选择题，填空题分式不等式的解法回顾分式不等式与一元二次不等式间的转化规则，能熟练通过移项、通分化为商的形式，再利用符号法则转化为整式不等式组求解基础考点，常出现选择题，填空题，解答题不等式的恒成立与有解问题能准确将“恒成立”与“有解”问题转化为函数最值问题，并求解参数范围重难必考点，常出现在选择题，填空题，解答题知识点01作差法比较大小作差法的依据：①；②；③步骤：(1)作差；(2)变形；（目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论）(4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论）知识点02不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正知识点03基本不等式（1）重要不等式①若任意，则 当且仅当时，等号成立②公式变形：.当且仅当时，等号成立（2）基本不等式①如果，当且仅当时，等号成立。其中，叫作正数的算术平均数，作正数的几何平均数。因此基本不等式也可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。②变形公式：③用基本不等式求最值时，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件)知识点04最值定理①如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.②如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.知识点05糖水不等式、权方和不等式与柯西不等式1、若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜2、二维形式的柯西不等式（，当且仅当时，等号成立）3、若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握柯西不等式与权方和不等式的初级应用，足以解决考试中的这类型最值问题的秒杀)知识点06解一元二次不等式判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅知识点07解分式不等式与绝对值不等式1、分式不等式的解法①②③④2、绝对值不等式的解法①②；；③含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解知识点08高次不等式的解法核心解法：数轴穿根法（序轴标根法）步骤1：求根并标在数轴上步骤2：“穿针引线”定区间符号①从数轴最右侧上方开始，按照“奇穿偶回”的原则画曲线：②“奇穿”：若因式的次数为奇数（如一次因式），曲线穿过该根对应的点；③“偶回”：若因式的次数为偶数（如(x−1)2），曲线接触该根对应的点后返回，不穿过数轴步骤3：根据不等号确定解集知识点09不等式恒成立问题1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).（5）)对于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立时，最高次数的系数含参要考虑为零情况。2．区间恒成立问题.函数在某区间恒成立时，若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.题型一不等式比大小解｜题｜技｜巧比较大小的常用方法（1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.（2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.（3）构造函数，利用函数的单调性比较大小.（4）取特值，举反例.【典例1】下列命题是真命题的是（

）A．若，则. B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】D【分析】举例说明判断ABC；作差推理判断D.【详解】对于A，取，则，，此时，A错误；对于B，取，则，，此时，B错误；对于C，取，则，C错误；对于D，由，得，，因此，即，D正确.故选：D【变式1】（多选）已知，，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由作差法结合题意可判断各选项正误；【详解】由，，对于，由，所以A正确；对于B，由，所以B错误；对于C，由，因为的符号不确定，则与的大小无法确定，所以C错误；对于中，因为，又，所以，故，即，所以D正确．故选：AD【变式2】（多选）若，则下列说法不一定正确的是（

）A． B．C． D．若，则【答案】AD【分析】A、D应用特殊值判断即可；B由对数函数的性质判断；C由不等式性质判断.【详解】A：当时；当时；不一定正确；B：由，则，一定正确；C：由，则，故一定正确；D：当时；当时；不一定正确.故选：AD【变式3】从下列三组式子中选择一组比较大小：①设，比较的大小；②设，比较的大小；③设，比较的大小.注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.【答案】①；②；③；【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系；②用作差法比较即可；③用作差法或作商法比较即可.【详解】解：①，因为，所以，即；.②，.③方法一（作差法），因为，所以，所以，所以...方法二（作商法）因为，所以，所以，所以..题型二利用不等式性质求解不等式范围解｜题｜技｜巧核心解题原则利用不等式性质求范围的核心是遵循性质的约束条件，避免因“随意变形”导致范围扩大或缩小，关键是保持变形的等价性，优先采用“待定系数法”或“线性组合”的方法。基本性质直接变形法适用于简单的单变量或双变量不等式，需严格遵循不等式的基本性质：性质1（传递性）：若a>b且b>c，则a>c，可用于连不等式的范围推导；性质2（加减性质）：不等式两边同时加/减同一数（或式），不等号方向不变性质3（乘除正数）：两边同时乘/除同一正数，不等号方向不变性质4（乘除负数）：两边同时乘/除同一负数，不等号方向改变性质5（同向可加）：若a>b,c>d，则a+c>b+d（仅可加不可直接减）性质6（同向同正可乘）：若a>b>0,c>d>0，则ac>bd（负数不可直接乘）。待定系数法：适用于双变量或多变量的线性组合范围（如求ax+by的范围），避免分步变形导致范围偏差：①设目标式（如m=2x+y）为已知不等式的线性组合，即m=p(x+y)+q(x-y)；②联立系数求出p,q的值；③利用不等式同向可加性，分别求出p(x+y)和\q(x-y)的范围，再相加得目标式范围。端点验证法：用于检验所求范围是否准确，尤其是分步变形后：取已知不等式的端点值，代入目标式计算，判断目标式的最值是否能取到，排除因“不当变形”扩大的范围。易错提醒1.禁止“同向相减/异向相乘”：不等式无“同向相减”“异向相乘”的性质，强行操作会导致范围错误2.乘除需判断符号：对不等式两边乘除含参数的式子时，必须分“正数/负数/0”讨论，避免漏解3.非线性式慎用性质：求xy、x2等非线性式范围时，不能直接用线性性质，需结合函数单调性【典例1】已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据不等式的基本性质求解即可.【详解】因为，，所以，，则，即的取值范围是.故选：C.【变式1】已知实数x，y满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得，再根据题中条件即可求得范围.【详解】设，则，所以，又，，则，所以，故选：【变式2】（多选）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据不等性质分别判断各选项.【详解】A选项：由，，得，A选项错误；B选项：由，得，而，故，B选项正确；C选项：由，，得，故，C选项错误；对于D，由，得，而，则，D选项正确；故选：BD．【变式3】已知，则下列结论错误的是（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．取值范围为【答案】D【分析】根据的取值范围，可得到以及的取值范围，然后相加相乘即可得解.【详解】对于A，因为，所以，即，所以的取值范围为，故A正确，不符合题意；对于B，因为，所以，因为，所以，即，所以的取值范围为，故B正确，不符合题意；对于C，因为，则，所以，则，所以的取值范围为，故C正确，不符合题意；对于D，因为，所以，则，因为，所以，则，所以取值范围为，故D错误，符合题意；故选：D.题型三糖水不等式及其应用（跨章节）解｜题｜技｜巧若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜易错提醒1.条件限制：必须满足0<b<a且m>0，若a<b或m<0，不等式方向会反转，需先验证条件；2.不可逆用：由不能推出0<b<a且m>0，需结合具体场景判断；3.非线性拓展慎用：糖水不等式仅适用于“分子分母同加正数”的线性分式，对平方、乘积型分式不直接适用。【典例1】十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案.【详解】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了，加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：；所以.故选：A.【变式1】已知，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【答案】D【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解.【详解】若，，则，则，反之，若，则，又，所以，即，此时不一定成立，比如，此时，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：D【变式2】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得.【详解】对于A，，，A错误；对于B，，，则，B错误.对于C，由，得，C正确；对于D，，D错误；故选：C【变式3】（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（

）A．若，，则B．若，且，则C．若，，为三条边长，则D．若，，为三条边长，则【答案】ACD【分析】对A，利用作差法比较；对B，举反例说明；对CD，根据糖水不等式可依次判断.【详解】对于A，，，即，故A正确；对于B，当，时，，，故B错误；对于C，由题，，则，，又，所以，故C正确；对于D，，，，，故D正确.故选：ACD.题型四基本不等式的理解及常见变形解｜题｜技｜巧即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件)易错提醒1.忽略“一正”条件：若变量为负，需先提取负号转化为正数2.未构造“二定”：直接套公式导致最值错误3.多变量等号条件矛盾：多个不等式同时取等时，需确保变量取值一致【典例1】《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，如图所示的图形中，在上取一点C，使得，，过点C作交以为直径的半圆弧于D，连结，作，垂足为E，由可以直接证明的不等式是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用即可得到答案..【详解】连接DB，因为AB是圆O的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故选：D【变式1】下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（

）问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨；问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y；问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z．A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据条件分别列出x，y，z与a，b的关系，再根据基本不等式比较大小，得到答案.【详解】由问题甲，结合圆的面积公式可得，有，即，由问题乙，设每圈的长度为，则，整理为可得，由问题丙，设天平左边的杠杆长为m，右边的杠杆长为n，则，可得，即，因为、是不相等的正数，则有，可得，根据重要不等式可知，得，则有，所以.故选：B．【变式2】数学里有一种证明方法叫Proofswithoutwords，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得，且，即可得答案.【详解】由题设，且，其中，或，且，由图知，即.故选：A【变式3】《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为（

）A．≤(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C．≥(a>0，b>0)D．≥(a>0，b>0)【答案】C【分析】先明确的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断选项.【详解】由题意可知，由可知，即，所以；在中，，即当时，点重合，，此时，所以错误；在中，可得即，所以，由于，所以，当时，,此时，所以正确；由于在该图中没有相应的线段与之对应，故中的不等式无法通过这种几何方法来证明，故选：C.题型五基本不等式求最值之“常值代换法”解｜题｜技｜巧核心原理“常值代换法”（又称“1的代换”）是基本不等式求最值的高频技巧，核心是利用已知的“定值条件”（通常为“1”的等式），对目标式进行恒等变形，构造出可使用基本不等式的“积定”或“和定”形式，进而求解最值。1.识别定值条件，锁定代换核心先从题目中提取“定值等式”，优先将其整理为等于1的形式（若为其他定值，可转化为1，2.对目标式进行“乘1代换”：将目标式乘以步骤1中的“1”（即定值等式的变形形式），展开后得到含“分式和”或“整式和”的式子，且展开项中会出现可利用基本不等式的“积为定值”的项。3.应用基本不等式求最值：展开后，对符合“一正二定三相等”条件的项，套用基本不等式求出最值。4.验证等号成立条件：联立“基本不等式取等条件”和“原始定值条件”，验证变量取值是否为正且一致，确保最值可取得。易错提醒1.忽略“一正”条件：代换前需确认所有变量均为正，若变量有负区间需先限定范围；2.代换后未构造出“定值积”：展开后需确保AB为定值，否则无法用基本不等式3.等号条件矛盾：需同时满足基本不等式取等和原始定值条件，若解得变量为负或无解，说明不能用此方法，需换用函数单调性求解。【典例1】已知，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据基本不等式“”的代换可得最值.【详解】由，，且，则，当且仅当，即，时取等号，则的最小值是3.故选：B.【变式1】正数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】A【分析】应用常数代换结合基本不等式计算求解最小值.【详解】正数满足，，当且仅当且，即时取等号，即的最小值是.故选：A.【变式2】已知，且，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】D【分析】可利用配凑法与“1的妙用”，结合基本不等式进行求解.【详解】由题可知，，又因为,则,当且仅当时，即当时，等号成立.因此的最小值为4，故的最小值为3.故选：D.【变式3】已知，且，则的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】首先利用对数运算求得，再利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解.【详解】由得，所以，所以，即．因为，所以当且仅当，即时，等号成立.故选：C题型六基本不等式求最值之“换元法”解｜题｜技｜巧将分式双换元后，易化成,再分离常数化简成可利用基本不等式的结构来求解答案；比如；【典例1】设正实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值.【详解】设，则，，当且仅当时，即，时，等号成立．故选：B．【典例2】已知正实数x,y满足x+y≤2且x−y>0，则2【答案】3+2【详解】设x+3y=mx−y=n，则2x+2y=m+n≤42当且仅当n2m=m4n且m+n=4，即故答案为：3+2【变式1】已知正数a，b，c满足2a+b+3c=8，则a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【答案】D【详解】正数a，b，c满足2a+b+3c=8，故2a+c令a+c=m,b+c=n，故2m+n=8，m>0,n>0，a+b+2c=8−n4n当且仅当8mn=nm，即故a+b+2cb+c故选：D【变式2】设m，n为正数，且，则的最小值为.【答案】【分析】令，则，可化为，利用基本不等式可求的最小值，从而可得所求的最小值.【详解】令，则，且，，又，而，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故答案为：.【变式3】已知，，则的最小值.【答案】20【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值.【解析】令，则，去分母化简得：，所以，所以，当且仅当时，等号成立．故答案为：20题型七条件等式变形求最值解｜题｜技｜巧核心思路对条件等式和目标式同时进行拆项、添项、凑系数，构造出基本不等式要求的“和定”或“积定”形式，再用均值不等式求最值。解题步骤1.分析条件等式的结构：判断是否可转化为“和为定值”或“积为定值”；2.配凑目标式：对目标式进行变形，使其出现与条件等式相关的“和/积”项；3.套用基本不等式：满足“一正二定三相等”后，求出最值并验证等号条件易错提醒1.消元后定义域遗漏：消元时需根据原变量的约束条件（如正数、实数）确定新变量的范围，否则会导致最值求解错误；2.基本不等式等号条件矛盾：用均值不等式时，需同时满足“一正二定三相等”，若等号条件与原条件等式无正解，需换用函数单调性等方法；3.判别式法忽略二次项系数：整理一元二次方程时，需讨论二次项系数是否为0，避免漏解（如系数为0时为一次方程，需单独验证是否有解）。【典例1】若正数、满足，则的最小值为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知等式得出，求得，化简得出，结合基本不等式可求得其最小值.【详解】由可得，因为，，由可得，故，且，故.当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：D.【变式1】若正数满足，则ab的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】由得到，直接利用基本不等式求解即可.【详解】，，，，，，，，当且仅当时取等号，即，解得，的最小值为9.故选：A.【变式2】已知，则的最小值是（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【分析】由基本不等式得，结合条件求解.【详解】由，，得，又，即，令，上式为，解得或（舍去），，即，当且仅当时，等号成立，所以得最小值为1.故选：A.【变式3】已知正数，，满足，则的最小值为（

）A．1 B．4 C．8 D．16【答案】D【分析】首先可得，则，从而得到，再由基本不等式求出的最大值，最后利用基本不等式计算可得.【详解】因为，所以，又，，为正数，所以，所以；所以，由，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当，即，时，取最小值.所以的最小值为，当且仅当，，时取等号.故选：D.题型八权方和不等式与柯西不等式（拓展）解｜题｜技｜巧柯西不等式（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等条件：或（）．注意等号取到的条件.权方和不等式（1）二维形式的权方和不等式对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．（2）一般形式的权方和不等式若，，，则，当时等号成立【典例1】函数的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【详解】，由，解得，当时，，当，，当，则，此时且，由柯西不等式可得，当且仅当，即时取等号，此时，即，所以函数的最大值为2.故选：C.【典例2】已知，且，则的最小值为（

）A．1 B． C．9 D．【答案】C【详解】因为，所以由权方和不等式可得当且仅当，即时，等号成立．【变式1】为非零常数，的最小值为.【答案】【详解】由柯西不等式得，当且仅当，即或时，等号成立.【变式2】已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为．【答案】【分析】利用不等式构造定值求解即可.【详解】（柯西不等式）∵x，y，，，∴，则．当且仅当时取等号【变式3】已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得，即.由可知，所以.由，可得，由柯西不等式得，所以，当即时，取等号.所以的最大值为.故选：C.题型九利用基本不等式解决恒成立问题解｜题｜技｜巧核心转化逻辑：恒成立不等式f(x)≥k等价于f(x)min≥k；f(x)≤k等价于f(x)max≤k，基本不等式用于快速求f(x)的最值。解题三步法：①分离/锁定函数：将不等式整理为参数与函数分离的形式，确定需最值的目标函数f(x)②用基本不等式求最值：对f(x)配凑“一正二定三相等”的条件，算出其最小/最大值③建立参数关系：根据恒成立逻辑，将最值与参数联立，解出参数范围，同时验证等号条件的有效性。易错提醒①优先分离参数，避免变量与参数混杂；配凑“和定/积定”时，可拆项、用常数代换②若等号条件不满足定义域，改用函数单调性求最值③区分恒成立方向，勿颠倒“最值与参数”的不等关系。【典例1】已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【分析】将问题转化为，进而根据基本不等式求的最小值即可得答案.【详解】因为正实数x，y满足，所以，，当且仅当时，等号成立，即时，等号成立，因为正实数x，y满足时，有恒成立，所以，即，所以，的最大值为.故选：C【变式1】若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可得，再由乘1法和基本不等式可得最小值，由二次不等式的解法可得所求范围．【详解】正实数满足，所以，由恒成立，可得，，当且仅当时上式取等号，则，解得，故实数的取值范围是，故选：B.【变式2】设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．12 B．24 C．32 D．48【答案】B【分析】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可.【详解】由，变形可得，，令，，则转化为，即，其中，当且仅当，即，时取等号，所以不等式恒成立，只需.故选：B【变式3】已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围.【详解】令，则代入得，将代入原不等式，得，两边同时除以，得，把代入，得，即，由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，，恒成立，故实数的取值范围为.故选：.题型十解一元二次不等式（不含参）【典例1】不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解一元二次不等式，判断.【详解】由，得，所以不等式的解集为.故选：A.【变式1】不等式的解集为【答案】；【分析】（1）利用配方法即可求解；【详解】，即，解得，则其解集为.【变式2】不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用一元二次不等式的求解方法判断即得.【详解】不等式化为：，而，所以的不等式无解，即解集为.故选：B【变式3】对于实数，规定表示不大于的最大整数，例，那么使得不等式成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式解得的范围，然后根据的定义求出的范围．【详解】由题得，即，解得，则．故选：D．题型十一解一元二次不等式（含参）解｜题｜技｜巧对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类.（2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.（3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.【典例1】解不等式.【答案】见详解【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解．【详解】当时，原不等式可化为，解集为，当时，原不等式可化为，解集为，当时，原不等式可化为，当，即时，解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为．综上所述：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为．【变式1】若，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解．【详解】因为，，所以，又不等式对应方程的根为：，且，所以不等式的解为或，故选：C．【变式2】设.(1)若，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集.【详解】（1）若，则由，解得，所以不等式的解集为.（2）不等式，即，当时，，解得；当时，则，解原不等式可得；当时，，解原不等式可得或；当时，原不等式即为，即恒成立；当时，，解原不等式可得或.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【变式3】已知函数.(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)当时，（i）解关于x的不等式；（i）若存在，使得，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)（i）答案见解析；（ii）【分析】（1）根据题意，转化为得到和是方程的两个实数根据，列出方程组，即可求解；（2）（i）由，求得，把不等式，转化为，分类讨论，即可求得不等式的解集；（ii）由（i）中不等式的解集，结合存在，使得，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：由函数，因为不等式的解集为，可得和是方程的两个实数根据，则，解得.（2）解：（i）由函数，因为，可得，即，所以，由不等式，即，当时，即时，解得或；当时，即时，即为解得；当时，即时，解得或，综上可得，当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（ii）由（i）知，当时，不等式解集为，若存在，使得，则满足，解得；当时，不等式的解集为，此时不存在，使得；当时，不等式的解集为，此时不存在，使得，综上可得，实数的取值范围为.题型十二由一元二次不等式的解求系数解｜题｜技｜巧核心解题逻辑一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根、二次项系数的符号直接相关，解题核心是“解集定根，根定系数”，即先由解集反推对应方程的根，再结合韦达定理或方程根的定义求解参数，同时需关注二次项系数的符号对解集方向的影响易错提醒①忽略二次项系数的符号：直接用根代入方程而不判断a的正负，会导致解集方向错误；②遗漏判别式条件：当解集为全体实数或空集时，需同时满足a的符号和Δ<0，不可只关注Δ；③混淆“解集端点”与“方程根”的关系：解集的端点一定是对应方程的根，但方程的根不一定是解集的端点（需结合不等号方向判断）。【典例1】已知不等式的解集为，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法，求得a，c值，代入所求，即可求得答案.【详解】因为不等式的解集为，所以，解得，则所求的解为.故选：A【变式1】若不等式的解集为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，是方程的两个根，且，利用韦达定理运算求解.【详解】由题意知，是方程的两个根，且，则，解得，所以.故选：D.【变式2】（多选）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．函数在上单调递增【答案】ACD【分析】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断的符号，利用韦达定理得到的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即得.【详解】对于A，由题意，方程有两根为和2，且，故A正确；由韦达定理，即.对于B，由，即解得或，故B错误；对于C，因，且，故，故C正确；对于D，，因，故该函数在上单调递增，故D正确.故选：ACD.【变式3】（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为或【答案】BD【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可.【详解】关于的不等式的解集为或，，故A错误；对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根，由根与系数的关系得，则，，不等式，即，又，解得，B正确；且，C错误；对于D选项，不等式，即，即，解得或，故不等式的解集为或，D正确.故选：BD.题型十三解分式不等式与高次不等式解｜题｜技｜巧核心解题技巧（1）①②③④（2）高次不等式可用数轴穿根法求解.【典例1】“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解分式不等式及绝对值不等式，根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可.【详解】由，解之得或，记不等式的解对应集合，由或，解之得或，记不等式的解对应集合，显然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【典例2】解不等式【答案】；【分析】利用穿根法即可求解；【详解】，即，则，且，利用穿根法得，则其解集为.【变式1】解不等式【答案】.【分析】化分式不等式为不等式组，再利用一元二次不等式的解法求解.【详解】不等式化为：，解得，所以原不等式的解集为.【变式2】关于的不等式的解集为.【答案】【分析】利用不等式的等价变形可得，再利用数轴标根法可求得不等式的解集.【详解】由，可得，所以方程的根为，由数轴标根法可得.故答案为：.【变式3】已知，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将不等式化简得，将分式不等式转化成整式不等式即可解.【详解】由，得，所以，所以，即，解得或，故的取值范围为．故选：D．题型十四一元二次不等式的恒成立与有解问题解｜题｜技｜巧恒成立问题求参数的范围的解题策略（1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论【典例1】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是．【答案】【分析】求出在的最大值，然后可得关于a的不等式，解出即可.【详解】设，则在的最大值为4，因为关于的不等式在上有解，即，解得，故答案为：.【变式1】若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离参数，结合对勾函数单调性可求得参数范围.【详解】因为不等式对一切恒成立，所以在区间上恒成立，由对勾函数性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，当时，，所以，故，故选：D.【变式2】不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分和两种情况讨论即可.【详解】当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，.故选：A.【变式3】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案.【详解】由题，，，即，即在上有解，设，则，，易知函数在上单调递增，在上单调递减，，则，所以.故选：B.题型十四不等式在实际问题中的应用解｜题｜技｜巧（1）利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值（2）一元二次不等式的实际应用关键是能根据题意建立出不等关系，从而根据实际求解不等式【典例1】两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（

）A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠C．甲乙一样优惠 D．无法确定【答案】B【分析】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，分别计算比较两种方案物品平均价格可得答案.【详解】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中.则甲方案购买物品平均价格为：；乙方案购买物品平均价格为：.注意到，则乙方案更优惠.故选：B【典例2】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值．【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为，每件利润为元，每月的销售量为件，，令，则，，当且仅当，即时取等号，该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元．故选：B．【典例3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；(2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？(3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？【答案】(1)(2)单价定为元时利润最大，最大利润为元(3)【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案.（2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价.（3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值.【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点，所以，解得，所以，由解得.所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是.（2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售，则，则利润，其开口向下，对称轴为，所以当时，利润取得最大值为，所以当单价为元时，取得最大利润