专题4.2 对数、对数函数（考点清单8个考点梳理+17题型解读）（原卷版及全解全析）

专题4.2对数、对数函数【清单01】对数概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式【清单02】对数的性质1.对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN2.loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N3.对数恒等式alogaN＝N{解读：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．}【清单03】对数的运算性质（1）loga(M·N)＝logaM＋logaN（2）logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN（3）logaMn＝nlogaM(n∈R)．（a>0，且a≠1，M>0，N>0）【清单04】换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)【清单05】对数函数的概念函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).【清单06】对数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数【清单07】拓展结论1.在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．2.对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．【清单08】反函数对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．【考点题型一】指数式、对数式的互化与对数计算【例1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）若，则的值为.【变式1-1】（23-24高一上·云南红河·阶段练习）若，则的值为（

）A．2 B．3 C．5 D．6【变式1-2】（22-23高一上·江苏南京·期中）设，，则=（

）A． B． C． D．【变式1-3】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-4】（2024秋·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）计算下列各式的值：(1)；(2).【考点题型二】换底公式及对数式的化简、求值【例2】（24-25高一上·吉林长春·期中）（1）若，求的值；（2）求值：．【变式2-1】（24-25高一上·山东青岛·期中）计算:

【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则(用表示)【变式2-3】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）．【变式2-4】（2023秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）计算：=.【考点题型三】对数函数解析式与求值问题【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知奇函数的定义域为，，当时，，则．【变式3-1】（23-24高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a＝.【变式3-2】（2023高三上·全国·专题练习）已知是定义在R上的偶函数，且当时，(，且)，则函数的解析式是.【变式3-3】（19-20高一上·安徽合肥·期中）已知对数函数，且）的图象经过点，求的值.【变式3-4】（23-24高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点．(1)求的解析式；(2)解方程．【考点题型四】对数型函数的定义域【例4】（24-25高一上·山东青岛·期中）若函数，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（24-25高三上·上海·期中）函数的定义域是.【变式4-2】（24-25高一上·福建三明·期中）函数的定义域为.【变式4-3】（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为．【变式4-4】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数的定义域是【考点题型五】根据对数函数定义域求参数范围【例5】（24-25高三上·湖北·期中）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）函数定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）“函数的定义域为”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式5-3】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）若函数的定义域为，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-4】（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是．【考点题型六】求对数型函数的值域【例6】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域：(1)；(2)．【变式6-1】（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（

）A． B．C． D．【变式6-2】（11-12高一上·浙江衢州·期末）对于任意实数，定义运算“”为，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【变式6-3】（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（

）A． B． C． D．【变式6-4】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为.【考点题型七】根据对数型函数值域求参数范围【例7】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知定义在上的奇函数．(1)求实数的值：(2)若在上的值域为，求实数的值．【变式7-1】（24-25高三上·湖北·阶段练习）“”是“函数的值域为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式7-2】（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-3】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数的值域是全体实数R，则实数m的取值范围是.【变式7-4】（2024高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是【考点题型八】对数型函数的图象【例8】（多选）（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在同一直角坐标系中，函数，可能的图象是（

）A． B．C． D．【变式8-1】（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数的图象是（

）A． B．C． D．【变式8-2】（21-22高一上·陕西渭南·期中）若，且，则函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【变式8-3】（24-25高一上·全国·课后作业）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（

）．A．

B．

C．

D．

【变式8-4】（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（

）A．

B．C．

D．

【考点题型九】根据对数型函数的图象求参数范围【例9】（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则；若，且，则的取值范围是.【变式9-1】（2023高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【变式9-2】（2023高一上·全国·专题练习）已知函数，直线与这三个函数图象的交点的横坐标分别为，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式9-3】（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（

）A． B．C． D．【变式9-4】（多选）（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数，若，且，则（

）A． B． C． D．【考点题型十】对数型函数图象过定点问题【例10】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（

）A． B． C． D．【变式10-1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的图象恒过定点，则点的坐标为（）A． B． C． D．【变式10-2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点，求此点的坐标．【变式10-3】（23-24高一上·河北唐山·期中）已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标．【变式10-4】（24-25高一上·上海·随堂练习）对数函数（且）经过定点P，同时点P又经过函数，则P点坐标为，．【考点题型十一】对数型函数的单调区间【例11】（2024秋·新疆·高三校联考阶段练习）若为奇函数，则的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【变式11-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【变式11-2】（23-24高一上·河南漯河·期中）函数y=log3(-x2+2x+15)的单调递减区间是（

）A．(1，+∞) B．(1，5) C．(-3，1) D．(-∞，1)【变式11-3】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的单调递增区间是．【变式11-4】（2021·天津·高一期末）函数的单调递减区间是___________．【考点题型十二】根据对数型函数单调性求参数范围【例12】（24-25高一上·江苏·期中）已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是.【变式12-1】（24-25高二上·湖南·期中）设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为(

).A． B． C． D．【变式12-2】（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式12-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）函数在区间上是单调递增，则实数的取值范围是．【变式12-4】（24-25高三上·四川成都·开学考试）若函数，在R上单调递增，则的取值范围为.【考点题型十三】解对数型函数不等式【例13】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为.【变式13-1】（江苏省连云港市2024-2025学年高三上学期期中调研考试数学试题）设，若函数满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式13-2】（浙江省稽阳联谊学校2025届高三上学期11月联考数学试题）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式13-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式13-4】（24-25高三上·上海闵行·期中）设，若，则实数的取值范围是．【考点题型十四】比较大小【例14】（24-25高三上·河南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式14-1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式14-2】（24-25高一上·广东江门·期中）设，，，则（

）A． B．C． D．【变式14-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式14-4】（多选）（山西省长治市2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题）已知，，，则(

).A． B． C． D．【考点题型十五】对数型函数最值问题【例15】（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期末）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)若函数的最大值为2，求实数a的值.【变式15-1】（24-25高三上·上海·期中）已知函数在区间上的最大值为.【变式15-2】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数的最大值为.【变式15-3】（24-25高一上·上海·课后作业）求函数，的最大值和最小值．【变式15-4】（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图像过点．(1)求的值及函数的定义域；(2)求函数在区间上的最大值．【考点题型十六】反函数问题【例16】（多选）（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（

）A． B．C． D．【变式16-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（

）A．16 B．0 C．1 D．2【变式16-2】（24-25高三上·广东梅州·开学考试）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【变式16-3】（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式16-4】（2020秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间是.【考点题型十七】指数、对数型函数综合问题【例17】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，．(1)求函数在区间上的最小值；(2)若对，，使得成立，求实数的取值范围．【变式17-1】（2023春·四川泸州·高一统考期末）已知函数的图象关于原点对称．(1)判断函数在定义域上的单调性，并用并调性的定义证明；(2)设函数（且）在上的最小值为1，求的值．【变式17-2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数.(1)证明：函数是奇函数；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【变式17-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）在上的最大值为.(1)求的值；(2)当时，，求实数的取值范围.【变式17-4】（2022秋·天津滨海新·高一天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）已知函数的图象过点，．(1)求函数的解析式；(2)若函数区间上单调递减，求实数的取值范围；(3)设，若对于任意，都有，求的取值范围．

专题4.2对数、对数函数【清单01】对数概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式【清单02】对数的性质1.对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN2.loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N3.对数恒等式alogaN＝N{解读：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．}【清单03】对数的运算性质（1）loga(M·N)＝logaM＋logaN（2）logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN（3）logaMn＝nlogaM(n∈R)．（a>0，且a≠1，M>0，N>0）【清单04】换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)【清单05】对数函数的概念函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).【清单06】对数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数【清单07】拓展结论1.在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．2.对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．【清单08】反函数对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．【考点题型一】指数式、对数式的互化与对数计算【例1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）若，则的值为.【答案】2【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算【分析】由指对数的互换及对数运算即可求解.【详解】由，可得：，所以，所以，故答案为：2【变式1-1】（23-24高一上·云南红河·阶段练习）若，则的值为（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【知识点】对数的运算【分析】由1的对数等于0，同底数的对数等于1，列式求解x，y的值，则答案可求．【详解】由，，，，.故选：C.【变式1-2】（22-23高一上·江苏南京·期中）设，，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算【分析】根据对数的运算，化简为，即可得答案.【详解】由题意知，，则，故选：D【变式1-3】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】对数的运算、基本不等式求和的最小值【分析】由对数及运算性质可得，，再由基本不等式即可求解.【详解】，所以，且，所以，即，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故选：.【变式1-4】（2024秋·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）计算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)1(2)0【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则和对数的运算法则求解即可；（2）利用对数的运算法则求解即可.【详解】（1）原式；（2）原式.【考点题型二】换底公式及对数式的化简、求值【例2】（24-25高一上·吉林长春·期中）（1）若，求的值；（2）求值：．【答案】（1）5；（2）【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用【分析】（1）由指对互化求出和，再结合换底公式即可求解；（2）考虑将转化为，进而得解.【详解】（1）因为，所以，，则；（2）．【变式2-1】（24-25高一上·山东青岛·期中）计算:

【答案】/【知识点】对数的运算【分析】由对数的运算代入计算，即可得到结果.【详解】原式.故答案为：【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则(用表示)【答案】【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算【分析】利用对数的换底公式及运算法则计算化简即可.【详解】，因为，代入上式，化为.故答案为：.【变式2-3】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）．【答案】-2【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用【分析】根据对数运算法则化简即可求得结果.【详解】．故答案为：-2.【变式2-4】（2023秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）计算：=.【答案】【分析】运用换底公式、对数的运算性质进行求解即可.【详解】，故答案为：【考点题型三】对数函数解析式与求值问题【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知奇函数的定义域为，，当时，，则．【答案】0【知识点】由函数的周期性求函数值、对数函数的概念判断与求值、函数对称性的应用【分析】先由题意判定函数的对称轴，结合奇函数的对称性确定函数的周期，再根据对数的运算法则计算即可.【详解】因为，所以的图象关于直线对称，又奇函数的图象关于原点对称，所以，则是周期函数且最小正周期为2，所以.故答案为：0【变式3-1】（23-24高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a＝.【答案】1【知识点】求对数函数的解析式【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可.【详解】由题意得，解得或1，又且，所以故答案为：1【变式3-2】（2023高三上·全国·专题练习）已知是定义在R上的偶函数，且当时，(，且)，则函数的解析式是.【答案】【知识点】求对数函数的解析式、由函数奇偶性解不等式【分析】先利用函数奇偶性求出时的解析式，进而可得函数的解析式.【详解】当时，，由题意知，又是定义在R上的偶函数，所以，所以当时，，所以函数的解析式为.故答案为：.【变式3-3】（19-20高一上·安徽合肥·期中）已知对数函数，且）的图象经过点，求的值.【答案】0；；1.【知识点】求函数值、求对数函数的解析式【分析】由图象过点，求出a，再由函数表达式求出相应的函数值.【详解】由题意知，即，而且，所以，，所以，，.【变式3-4】（23-24高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点．(1)求的解析式；(2)解方程．【答案】(1)(2)【知识点】已知函数类型求解析式、对数的运算、求对数函数的解析式【分析】（1）根据待定系数法即可求解，（2）根据指对互化即可求解.【详解】（1）由题意设(且)，由函数图象过点可得，即，所以，解得，故．（2）方程，即，所以，所以方程的解是．【考点题型四】对数型函数的定义域【例4】（24-25高一上·山东青岛·期中）若函数，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域【分析】根据根式以及对数的性质求解的定义域，即可求解的定义域.【详解】的定义域需要满足：，解得，故的定义域为，的定义域需满足，解得，故的定义域为，故选：A【变式4-1】（24-25高三上·上海·期中）函数的定义域是.【答案】【知识点】求对数型复合函数的定义域【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】由，解得，所以的定义域是.故答案为：【变式4-2】（24-25高一上·福建三明·期中）函数的定义域为.【答案】【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式【分析】根据对数函数真数大于0和指数函数的单调性即可求解.【详解】要使函数有意义，则即，因为为增函数，所以即.所以函数的定义域为.故答案为：.【变式4-3】（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为．【答案】【知识点】求对数型复合函数的定义域【分析】根据对数的真数大于、分式分母不为求解出结果.【详解】因为，所以，解得，所以定义域为，故答案为：.【变式4-4】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数的定义域是【答案】【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域【分析】利用对数型复合函数与具体函数的定义域解法即可得解.【详解】对于，有，即，解得或.所以的定义域为.故答案为：.【考点题型五】根据对数函数定义域求参数范围【例5】（24-25高三上·湖北·期中）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求对数型复合函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立，结合二次不等式恒成立求解即可.【详解】由题意，，且对任意，，①且，②对于①，，结合，得.若，由②知对任意，矛盾；若，由②知对任意，即，则，得，综上，当时，对任意，①②同时成立.故选：C【变式5-1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）函数定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】求对数型复合函数的定义域【分析】由题意，真数恒大于0，分类讨论，利用二次不等式恒成立得解.【详解】由题意知，不等式恒成立，当，显然成立；当时，由，解得，综上，，故选：A【变式5-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）“函数的定义域为”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】判断命题的必要不充分条件、求对数型复合函数的定义域【详解】若函数的定义域为R，则当，，符合要求；当时，有，解得；综上所述，，故“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件.故选：B.【变式5-3】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）若函数的定义域为，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】求对数型复合函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】分析可知，在R上恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可解得实数的取值范围.【详解】由题意，函数的定义域为R，等价于在R上恒成立，若，则在R上恒成立，满足条件；若，则，解得.综上，实数的取值范围是，故选：A．【变式5-4】（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是．【答案】【知识点】求对数型复合函数的定义域、基本（均值）不等式的应用、已知函数的定义域求参数【分析】由题意可得在R上恒成立，且，即在R上成立，且，然后结合基本不等式可求得结果.【详解】解：根据题意，不等式在R上恒成立，且，即在R上成立，且．因为，当且仅当时，即时等号成立，所以，解得，所以k的取值范围是．故答案为：．【考点题型六】求对数型函数的值域【例6】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性【分析】（1）根据对函数的单调性即可求解，（2）根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性以及二次函数的性质即可求解.【详解】（1）的定义域为R．∵，∴．∴，∴的值域为0,+∞．（2）∵，又∵，∴，∴当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值2，∴函数的值域是【变式6-1】（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】求对数函数在区间上的值域【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域.【详解】函数在定义域上单调递减，当时，，即，且当时，所以函数，的值域是.故选：A【变式6-2】（11-12高一上·浙江衢州·期末）对于任意实数，定义运算“”为，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的定义域、函数新定义【分析】由函数的新定义求出函数的解析式，再结合对数的运算和对数函数的单调性解答即可；【详解】由对数函数的定义域可得，令，即，解得或（舍去），所以，由函数新定义可得，所以当时，；当时，，所以函数的值域为，故选：B.【变式6-3】（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求对数型复合函数的值域【分析】利用二次函数与对数函数的性质即可得解.【详解】对于，有，解得，对于，其图象开口向下，对称轴为，当时，，当时，，所以当时，，即，又在其定义域内单调递增，所以，则，则的值域为.故选：D.【变式6-4】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为.【答案】【知识点】求对数型复合函数的值域【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解.【详解】由于，所以，所以原函数的值域为故答案为：【考点题型七】根据对数型函数值域求参数范围【例7】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知定义在上的奇函数．(1)求实数的值：(2)若在上的值域为，求实数的值．【答案】(1)；(2)【知识点】对数的运算性质的应用、根据对数函数的值域求参数值或范围、由奇偶性求参数【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，，求出的值；（2）根据函数的单调性解不等式，结合函数定义域得到.【详解】（1）由题意，，故，，由为奇函数得，故，解得或(舍)，故；（2），故，又，解得，故.【变式7-1】（24-25高三上·湖北·阶段练习）“”是“函数的值域为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、既不充分也不必要条件【分析】若函数的值域为，则函数与轴有交点，列出不等式求解出的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解．【详解】若函数的值域为，则函数与轴有交点，所以，则或，“”是或的既不充分也不必要条件，故选：D．【变式7-2】（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求对数函数的最值、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】分，两种情况，分别求出函数值域，结合题意可得答案.【详解】当时，在上的值域为；在上单调递增，则在上值域为，则此时值域不可能为R，则不合题意；当时，在上的值域为；在上单调递减，则在上值域为，要使值域为R，则.故选：B【变式7-3】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数的值域是全体实数R，则实数m的取值范围是.【答案】【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围【分析】根据题意可得能取遍所有正实数，由此可得关于m的不等式，即可得答案.【详解】函数的值域是全体实数R，即能取遍所有正实数，由于，故，当且仅当即时等号成立，故，即，即实数m的取值范围是.故答案为：【变式7-4】（2024高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是【答案】【知识点】求对数型复合函数的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】求出当时，函数的值域是，再讨论当时，函数的值域，对分两种情况讨论分析即可.【详解】当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即；若函数的值域是，则时，．当时，在上单调递增，此时，不合题意；当时，在上单调递减，此时，即，则，所以，显然，解得，又，所以．综上所述，实数的取值范围是．故答案为：.【考点题型八】对数型函数的图象【例8】（多选）（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在同一直角坐标系中，函数，可能的图象是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状、对数型复合函数的单调性【分析】对分类讨论，结合指数函数与对数函数的图象与性质判断.【详解】由题意，且，的定义域为，的定义域为.当时，，函数在上单调递减，且过；在上单调递减，且过，所以函数，可能的图象是D；当时，，函数在上单调递增，且过；在上单调递减，且过，所以函数，可能的图象是B；当时，，函数在上单调递增，且过；，其图象是直线，选项中没有符合要求的；当时，，函数在上单调递增，且过；在上单调递增，且过，所以函数，可能的图象是A.综上，函数，可能的图象是ABD.故选：ABD.【变式8-1】（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状【分析】利用排除法，结合对数函数的性质即可得解.【详解】因为，故排除D；当时，，故排除BC；结合对数函数的性质可知A正确.故选：A.【变式8-2】（21-22高一上·陕西渭南·期中）若，且，则函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】判断对数型函数的图象形状【分析】根据对数函数的性质可得，再根据函数图象平移判断即可.【详解】因为，且，故，故为减函数，且过1,0，又的图象为的图象向右平移1个单位，则A满足.故选：A【变式8-3】（24-25高一上·全国·课后作业）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状【分析】由对数函数指数函数单调性以及它们各自所过的定点即可得解.【详解】当时，函数与分别在各自的定义域内单调递减、单调递增，故可排除BCD，且函数与图象分别过定点，经检验，A符合题意.故选：A.【变式8-4】（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（

）A．

B．C．

D．

【答案】B【知识点】函数图像的识别、求指数函数解析式、判断对数型函数的图象形状【分析】根据题意求出a的值，可得的具体表达式，判断其图象性质，结合选项，即可得答案.【详解】由于函数，且的图象过点，故，则，该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且上单调递减，在上单调递增，只有B中图象符合该函数图象特点，故选：B【考点题型九】根据对数型函数的图象求参数范围【例9】（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则；若，且，则的取值范围是.【答案】或【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、简单的对数方程、基本不等式求和的最小值【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围.【详解】，得或；由题意可知，，由函数图象可知，，则，即，则，，所以的取值范围是.故答案为：或；【变式9-1】（2023高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、对数函数图象的应用、对数函数单调性的应用【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解.【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以；因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以.故选：D【变式9-2】（2023高一上·全国·专题练习）已知函数，直线与这三个函数图象的交点的横坐标分别为，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】函数图象的应用、根据对数型函数图象判断参数的范围【分析】利用对数函数性质，结合函数图象即可得出结论.【详解】由题意，根据对数函数的图象与性质，可知当底数大于1时，在x轴上方，底数越大，函数图象越靠近x轴，作出的大致图象，如图所示，

可知直线与的图象交点的横坐标的大小关系是：，故选：B．【变式9-3】（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、根据对数型函数图象判断参数的范围【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果.【详解】由图象可得，指数函数为减函数，对数函数为增函数，所以，即.故选：B【变式9-4】（多选）（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【知识点】对数的运算性质的应用、根据对数型函数图象判断参数的范围、对数函数图象的应用【分析】作出函数的图象，根据题意分类讨论，可确定的范围，可判断,由f(a)>f(c)，利用对数的运算可得，可判断D.【详解】由题意得，作出其图象如图：∴在上，函数是减函数；在上，函数是增函数；∵，∴若，则，不合题意，∴，C正确；若，则，也不合题意，∴，A正确；结合图象可知b可大于1，可小于1或等于1，B错误；由f(a)>f(c)，可得，故，D错误，故选：【考点题型十】对数型函数图象过定点问题【例10】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题【分析】利用指数函数与对数函数的性质求得两定点的坐标，从而得解.【详解】对于，令，得，，所以的图象恒过点，即；对于，令，得，，所以的图象恒过点，即；所以.故选：B.【变式10-1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的图象恒过定点，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【知识点】对数型函数图象过定点问题【分析】由代入求解．【详解】令，则，则，故定点为，故选：D．【变式10-2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点，求此点的坐标．【答案】【知识点】对数型函数图象过定点问题【分析】利用（且）恒成立，求函数过定点.【详解】当时，（且），所以函数的图象过定点：【变式10-3】（23-24高一上·河北唐山·期中）已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标．【答案】【知识点】对数型函数图象过定点问题【分析】根据求函数图象经过的定点坐标.【详解】由，此时.所以函数的图象过定点.故答案为：【变式10-4】（24-25高一上·上海·随堂练习）对数函数（且）经过定点P，同时点P又经过函数，则P点坐标为，．【答案】2【知识点】对数型函数图象过定点问题【分析】令对数的真数为1，求出所对应的的值，再求出，即可得解；【详解】令，所以，所以对数函数（且）经过定点，同时点P又经过函数，所以，所以．故答案为：；2【考点题型十一】对数型函数的单调区间【例11】（2024秋·新疆·高三校联考阶段练习）若为奇函数，则的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由为奇函数，求出的值，利用复合函数的单调性特征求的单调递增区间.【详解】函数为奇函数，的定义域为，由，∴，函数的定义域为，函数在定义域内单调递增，当时，的单调递增区间为，所以的单调递增区间为.故选：D．【变式11-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得.【详解】由题意可得，解得或，由，则其在上单调递减，在上单调递增，又为单调递增函数，故的单调递减区间.故选：B.【变式11-2】（23-24高一上·河南漯河·期中）函数y=log3(-x2+2x+15)的单调递减区间是（

）A．(1，+∞) B．(1，5) C．(-3，1) D．(-∞，1)【答案】B【知识点】对数型复合函数的单调性【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性判断方法判断即可.【详解】由，得，解得，所以函数的定义域为，令，因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且函数是增函数，所以函数的单调递减区间是，故选：B.【变式11-3】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的单调递增区间是．【答案】【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性【分析】根据题意，利用二次函数的图象与性质，函数在上单调递增，在上单调递减，以及对数函数的图象与性质，函数为减函数，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】令，由，解得，又的图象的对称轴为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，则函数为减函数，所以由复合函数单调性，的单调递增区间是.故答案为：.【变式11-4】（2021·天津·高一期末）函数的单调递减区间是___________．【答案】【分析】根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.【详解】，，解得或.函数的开口向上，对称轴是轴，在上递减，根据复合函数单调性同增异减可知的单调递减区间是.故答案为：【考点题型十二】根据对数型函数单调性求参数范围【例12】（24-25高一上·江苏·期中）已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数【分析】分析可知，函数在R上为减函数，根据分段函数、对数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.【详解】不妨取，由可得，所以，函数在R上为减函数，且，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【变式12-1】（24-25高二上·湖南·期中）设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为(

).A． B． C． D．【答案】B【知识点】研究对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，进行求解即可.【详解】因为若在上单调递增，且，可得，即，解得，即a的取值范围为.故选：.【变式12-2】（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间上单调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得的取值范围.【详解】令，则，∵，∴在上单调递减，由复合函数的单调性可知，在单调递减，∴，则，∴故选：D【变式12-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）函数在区间上是单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【分析】结合复合函数单调性的判断方法和对数真数大于零可构造不等式组求得结果.【详解】在上单调递减，若在上单调递增，则在上单调递减且在上恒成立，，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.【变式12-4】（24-25高三上·四川成都·开学考试）若函数，在R上单调递增，则的取值范围为.【答案】【知识点】研究对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式【分析】由已知结合一次函数及对数函数的单调性及分段函数的性质即可求解．【详解】因为在R上单调递增，所以，解得．故答案为：【考点题型十三】解对数型函数不等式【例13】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为.【答案】【知识点】求对数函数的解析式、由对数函数的单调性解不等式【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案.【详解】由题意可得，则，解得，由函数在上单调递减，则，可得，解得，故答案为：.【变式13-1】（江苏省连云港市2024-2025学年高三上学期期中调研考试数学试题）设，若函数满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式【分析】由判断出0<a<1，得到函数为单调递减函数，从而解出答案.【详解】，指数函数为单调递减函数，即0<a<1.函数为单调递减函数.由得，解得.故选：A【变式13-2】（浙江省稽阳联谊学校2025届高三上学期11月联考数学试题）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】解分段函数不等式、由对数函数的单调性解不等式【分析】分和两种情况结合对数函数的单调性去解不等式即可得解.【详解】由题可得或，又为增函数，所以解得或，故解集为.故选：D.【变式13-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式【分析】根据题意可知不等式的解集为，即可得或，解对数不等式即可.【详解】因为不等式的解集为，可知不等式的解集为，若，可得或，解得或，所以不等式的解集为.故选：A.【变式13-4】（24-25高三上·上海闵行·期中）设，若，则实数的取值范围是．【答案】【知识点】由对数函数的单调性解不等式【分析】由对数函数的性质和单调性求解即可；【详解】因为，所以函数为减函数，又，所以，解得，故答案为：.【考点题型十四】比较大小【例14】（24-25高三上·河南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】对数的运算性质的应用、由基本不等式比较大小、比较对数式的大小【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性，借助基本不等式比较大小.【详解】依题意，，，因此，所以.故选：C【变式14-1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】根据指数函数、对数函数单调性结合中间值“1”、“”分析判断即可.【详解】根据指数函数以及对数函数单调性可知，，则，故.故选：C【变式14-2】（24-25高一上·广东江门·期中）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】利用指数函数的单调性即可.【详解】由指数函数的单调性可知，即，又，即，所以.故选：D.【变式14-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】根据指数函数与对数函数的函数图像进行大小比较.【详解】∵且，∴，∵且，∴，∵且，∴，∴，，，即且，又∵，，，∴，故，故.故选：D.【变式14-4】（多选）（山西省长治市2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题）已知，，，则(

).A． B． C． D．【答案】ABD【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】利用“，”分段法比较出三者的大小关系.【详解】因为单调递减，所以，因为单调递增，所以，因为单调递增，所以，故，即A正确，C错误；则，所以B正确；则，所以D正确.故选：ABD.【考点题型十五】对数型函数最值问题【例15】（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期末）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)若函数的最大值为2，求实数a的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用对数的真数大于零可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域；（2）求得，求出的取值范围，利用对数函数的最值可得出关于实数的等式，结合可求得实数的值.【详解】（1）对于函数，有，解得，因此，函数的定义域为.（2）因为且，则，因为，则函数为上的增函数，故，可得，又，解得.【变式15-1】（24-25高三上·上海·期中）已知函数在区间上的最大值为.【答案】0【知识点】研究对数函数的单调性、求对数函数的最值【分析】根据对数函数的单调性直接求解即可．【详解】因为在区间上单调递减，所以当时，函数在区间上的最大值.故答案为：0.【变式15-2】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数的最大值为.【答案】【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对数型复合函数的单调性、求对数函数的最值【分析】判断函数的单调性，根据函数单调性即可求得答案.【详解】由题意，知在上单调递减，在上单调递减，故在上单调递减，则当时该函数取到最大值，故答案为：【变式15-3】（24-25高一上·上海·课后作业）求函数，的最大值和最小值．【答案】的最大值为0，最小值为．【知识点】求二次函数的值域或最值、对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的值域【分析】对函数化简变形得，令，则，，然后利用二次函数的性质可求出函数的最值.【详解】解：．∵，∴．令，那么，，函数为二次函数，开口向上，对称轴为，则函数在上递减，在上递增．当时，取得最小值，当或2时，取最大值0．综上所述，的最大值为0，最小值为．【变式15-4】（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图像过点．(1)求的值及函数的定义域；(2)求函数在区间上的最大值．【答案】(1)2；(2)2【知识点】对数的运算、求对数型复合函数的定义域、求对数函数的最值【分析】（1）代入点的坐标求出的值，再根据对数函数的定义求出函数的定义域；（2）依题意可得，结合二次函数的性质及对数函数的性质计算可得.【详解】（1）由函数的图像过点，得，即，所以，解得或（舍），所以，由，解得，所以，函数的定义域为．（2）由（1）知，又，所以当时取得最大值4，且函数在定义域上单调递增，故函数在区间上的最大值．【考点题型十六】反函数问题【例16】（多选）（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知识点】对数函数图象的应用、反函数的性质应用【分析】利用函数和互为反函数，确定关系，可判断AB，结合二次函数性质判断CD．【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称，作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直，且交点为知，，因此，所以有：，，正确的ABD，错误的是C，故选：ABD．【变式16-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（

）A．16 B．0 C．1 D．2【答案】B【知识点】求函数值、求反函数、反函数的性质应用【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可.【详解】函数是函数的反函数,则.故.故选：B.【变式16-2】（24-25高三上·广东梅州·开学考试）已知函数的图象与函数的图象