专题05 函数的单调性和奇偶性及其综合（考题猜想易错必刷60题11种题型）（原卷版及全解全析）

专题05函数的单调性和奇偶性及其综合（易错必刷60题11种题型专项训练）函数单调性的判断及证明求函数的单调区间函数单调性的应用复合函数的单调性求函数的最值由函数的最值求解函数或参数奇函数偶函数的判断函数奇偶性的应用奇偶函数图象的对称性奇偶性与单调性的综合抽象函数的奇偶性一．函数单调性的判断及证明1．（2024春•顺义区期末）下列函数中，在上为减函数的是A． B． C． D．2．（2024春•海南期末）下列函数在区间上单调递减的是A． B． C． D．3．【多选】（2023秋•肥东县校级期末）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是A． B． C． D．4．【多选】（2023秋•官渡区校级期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是A． B． C． D．5．（2023秋•周至县校级期末）已知函数．（1）若为奇函数，求的值；（2）试判断在上的单调性，并用定义证明．6．（2023秋•汉中期末）已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）判断并用定义法证明函数的单调性；（3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．7．（2023秋•许昌期末）已知函数．（1）判断函数奇偶性，并用定义法证明；（2）写出函数的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；（3）求函数在，上的最大值和最小值．8．（2023秋•西宁期末）已知函数，且．（1）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；（2）若，求的取值范围．二．求函数的单调区间9．（2022秋•中原区校级期末）函数的单调递增区间为A． B． C． D．10．（2023秋•上饶期末）函数的递减区间是．11．（2022秋•望花区校级期末）函数的单调减区间为．12．（2022秋•汕尾期末）已知函数，则的单调递增区间为．三．函数单调性的应用13．（2023秋•滨海新区校级期末）若函数单调递增，则实数的取值范围是A．， B．， C． D．14．（2023秋•沈阳期末）已知函数，是上的减函数，则实数的取值范围是A．， B． C．， D．，15．（2023秋•西安期末）若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是A．（a） B． C．（a） D．16．（2023秋•新化县期末）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是A． B． C． D．17．（2024春•怀仁市校级期末）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是A．， B．， C．， D．18．（2024春•桃城区校级期末）已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则（3）的值为A．3 B．5 C．7 D．919．（2023秋•邯郸期末）已知函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围为A． B．， C． D．20．（2023秋•南昌期末）以下函数中满足，，，都有的是A． B． C． D．21．（2023秋•金安区校级期末）已知函数是定义在上的增函数，那么的取值范围是A．， B． C．， D．，22．（2023秋•永城市校级期末）已知函数，且，则实数的取值范围为A． B． C． D．23．（2023秋•都江堰市校级期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．24．（2023秋•罗庄区校级期末）定义在上的奇函数满足：任意，都有，设，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．25．（2023秋•灌云县校级期末）函数是定义在上的单调递减函数，则不等式（1）的解集为．四．复合函数的单调性26．（2023秋•开福区校级期末）函数的单调递增区间是A． B． C． D．，27．（2023秋•那曲市期末）已知函数，则的增区间为A． B． C． D．28．（2024春•沈阳期末）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是A． B． C． D．29．（2023秋•龙华区期末）已知函数，下列结论正确的是A．单调增区间为，，值域为， B．单调减区间是，，值域为， C．单调增区间为，，值域为， D．单调减区间是，，值域为，30．（2024春•晋安区校级期末）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，31．（2023秋•鹿邑县期末）设函数在上单调递减，则的取值范围是A． B． C．， D．，五．求函数的最值32．（2024春•滁州期末）若，则A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为6 D．最小值为633．（2024春•海淀区期末）函数在上的最大值为．34．（2024春•兴庆区校级期末）已知函数在区间，上的最大值为，最小值为，则．35．【多选】（2022秋•银川期末）若函数的图像经过点，则A． B．在上单调递减 C．的最大值为81 D．的最小值为由函数的最值求解函数或参数36．（2024春•崂山区校级期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为A．1 B． C． D．37．（2022秋•宁都县校级期末）函数在区间，上的最大值为10，则实数的最大值为A．6 B．8 C．9 D．1038．（2022秋•聊城期末）已知函数在区间，上的最大值与最小值之差为，则的值为A．2 B． C．2或 D．3或39．（2023秋•道里区校级期末）已知函数，若函数在，的最小值为1，则实数的值为．40．（2022秋•枣庄期末）已知函数在，上的最大值为3，则实数的值为．41．（2022秋•简阳市校级期末）函数在，上的最大值为13，则实数的值为．42．（2022秋•海淀区校级期末）函数在区间，上的最小值是，则的值是．七．奇函数偶函数的判断43．【多选】（2022秋•蕉城区校级期末）下列函数中为偶函数的是A． B． C． D．44．（2022秋•克州期末）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）．45．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数．（1）判断的奇偶性，并证明；（2）求不等式的解集．八．函数奇偶性的应用46．（2022秋•济南期末）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则A． B． C．5 D．747．（2023春•滁州期末）已知定义在上的奇函数满足，当，时，，则A． B． C．0 D．148．（2023秋•锡山区校级期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为A．，， B． C．，， D．，，49．（2024春•新乡期末）已知函数是奇函数，则A．0 B．1 C． D．250．（2022秋•元宝区校级期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的解析式为．51．（2022秋•延边州期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则．九．奇偶函数图象的对称性52．（2024春•厦门期末）函数的图象大致是A． B． C． D．53．（2023秋•海淀区校级期末）已知函数，则下列说法中正确的是A． B．的图像关于原点对称 C．在定义域内是增函数 D．存在最大值54．（2024春•渭滨区期末）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，，，则A． B． C． D．十一．奇偶性与单调性的综合55．（2023秋•张家港市校级期末）已知是定义在上的奇函数，（3），对，，，且有，则关于的不等式的解集为A． B． C．，， D．，，56．（2023秋•蒙城县期末）定义在上的偶函数在，上单调递减，且，则不等式的解集是A．，，B．， C．， D．，，57．（2023秋•盐田区校级期末）定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是A．， B．，， C． D．，，十一．抽象函数的奇偶性58．（2024春•沈阳期末）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是A． B． C．（2） D．（4）59．（2024春•洛阳期末）已知函数的定义域为，（a）（b）（a），则A． B．（1） C．为偶函数 D．为奇函数60．（2024春•温州期末）已知函数的定义域为，且满足，（1），（3），则下列结论错误的是A．（2） B．（4） C．是奇函数 D．

专题05函数的单调性和奇偶性及其综合（易错必刷60题11种题型专项训练）函数单调性的判断及证明求函数的单调区间函数单调性的应用复合函数的单调性求函数的最值由函数的最值求解函数或参数奇函数偶函数的判断函数奇偶性的应用奇偶函数图象的对称性奇偶性与单调性的综合抽象函数的奇偶性一．函数单调性的判断及证明1．（2024春•顺义区期末）下列函数中，在上为减函数的是A． B． C． D．【解析】项，，在上不是减函数；项，在上为减函数；项，，如图，在上不是减函数；项，，反比例函数在上没有单调性．故选：．2．（2024春•海南期末）下列函数在区间上单调递减的是A． B． C． D．【解析】根据题意，依次分析选项：对于，是二次函数，在区间上单调递增，不符合题意；对于，是幂函数，在区间上单调递增，不符合题意；对于，，是反比例函数，在区间上单调递增，不符合题意；对于，当时，，则在区间上单调递减，符合题意．故选：．3．【多选】（2023秋•肥东县校级期末）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是A． B． C． D．【解析】根据题意，依次分析选项：对于，是奇函数，在其定义域上单调递减，故正确；对于，是在其定义域上单调递增的指数函数，故错误；对于，，（1），故在其定义域上不单调递减，故错误；对于，是奇函数，在其定义域上单调递减，故正确．故选：．4．【多选】（2023秋•官渡区校级期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是A． B． C． D．【解析】根据题意，若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有，则为奇函数，若②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则在定义域上单调递减，依次分析选项：对于，满足要求，正确；对于，，故为偶函数，错误；对于，满足要求，正确；对于，，故不是奇函数，错误．故选：．5．（2023秋•周至县校级期末）已知函数．（1）若为奇函数，求的值；（2）试判断在上的单调性，并用定义证明．【解析】（1）根据题意，函数，且定义域为，又为奇函数，则，所以．（2）在上递增，证明：令，则，又由，，故，所以在上递增．6．（2023秋•汉中期末）已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）判断并用定义法证明函数的单调性；（3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意，可得，则，所以．（2）单调递增，证明如下：由（1）知，，令，则，而，，，所以，故单调递增．（3）由题意可知，当时，恒成立，而，所以，故实数的取值范围为，．7．（2023秋•许昌期末）已知函数．（1）判断函数奇偶性，并用定义法证明；（2）写出函数的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；（3）求函数在，上的最大值和最小值．【解析】（1）为奇函数，证明：的定义域为，有，则为奇函数；（2），在区间上为增函数，在区间上为减函数，在区间上为减函数，在区间上为增函数，证明：在上为减函数，设，，又由，则，，故，则在上为减函数，（3）根据题意，由（2）的结论，在区间上为增函数，在区间上为减函数，则（9），（2），（3），故在，上的最大值为10，最小值为6．8．（2023秋•西宁期末）已知函数，且．（1）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；（2）若，求的取值范围．【解析】（1）由已知得，，，在上单调递增，证明如下：任取，，且，则，，，又，，，，即，，函数在上为单调增函数；（2）由（1）知函数在上为单调增函数，由可得，，解得或，故不等式的解集为或．二．求函数的单调区间9．（2022秋•中原区校级期末）函数的单调递增区间为A． B． C． D．【解析】依题意，，解得，即定义域为，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在上单调递减，因此，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为．故选：．10．（2023秋•上饶期末）函数的递减区间是．【解析】二次函数开口向上，对称轴为，所以函数的单调递减区间为．故答案为：．11．（2022秋•望花区校级期末）函数的单调减区间为．【解析】由，得或，为增函数，在区间，上是减函数，由复合函数的单调性得：函数的单调减区间为，，故答案为：，．12．（2022秋•汕尾期末）已知函数，则的单调递增区间为．【解析】当时，单调递减；当时，，在上单调递增，在单调递减；故答案为：．三．函数单调性的应用13．（2023秋•滨海新区校级期末）若函数单调递增，则实数的取值范围是A．， B．， C． D．【解析】函数单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得且．但应当注意两段函数在衔接点处的函数值大小的比较，即，可以解得，综上，实数的取值范围是，．故选：．14．（2023秋•沈阳期末）已知函数，是上的减函数，则实数的取值范围是A．， B． C．， D．，【解析】，是上的减函数，，解得．故选：．15．（2023秋•西安期末）若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是A．（a） B． C．（a） D．【解析】时，，，，都错误；，，是上的减函数，（a），即错误；，，且是上的减函数，，即正确．故选：．16．（2023秋•新化县期末）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解析】函数在定义域上是减函数，则有：，解得：，故选：．17．（2024春•怀仁市校级期末）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是A．， B．， C．， D．【解析】因为是定义在上的增函数，所以，解得．故选：．18．（2024春•桃城区校级期末）已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则（3）的值为A．3 B．5 C．7 D．9【解析】由，且是单调函数可知必是常数，设为常数），得，且，解得，，（3）．故选：．19．（2023秋•邯郸期末）已知函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围为A． B．， C． D．【解析】根据题意，设，则，因为在，上单调递增，所以在区间，上单调递增，则有，解得．故选：．20．（2023秋•南昌期末）以下函数中满足，，，都有的是A． B． C． D．【解析】因为函数满足，，，都有，所以函数的图象在上凸的，即函数在时的图象上任意两点，，，的连线在函数图象的下方，：当时，根据二次函数的性质可知，是下凸的，不符合题意；：当时，根据一次函数的性质可知，是直线型的，不符合题意；：当时，根据指数函数的性质可知，是下凸的，不符合题意；：当时，根据对数函数的性质可知，是上凸的，符合题意．故选：．21．（2023秋•金安区校级期末）已知函数是定义在上的增函数，那么的取值范围是A．， B． C．， D．，【解析】函数是定义在上的增函数，，解得：，，故选：．22．（2023秋•永城市校级期末）已知函数，且，则实数的取值范围为A． B． C． D．【解析】令，则，由得，因为在上单调递增，且，所以为奇函数，由得，所以，解得．故选：．23．（2023秋•都江堰市校级期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【解析】为奇函数，且在上单调递增，，，，，根据在上单调递增得．故选：．24．（2023秋•罗庄区校级期末）定义在上的奇函数满足：任意，都有，设，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【解析】因为定义在上的奇函数满足：任意，都有，所以在上为单调递增函数，，，即．故选：．25．（2023秋•灌云县校级期末）函数是定义在上的单调递减函数，则不等式（1）的解集为．【解析】根据题意，为定义在的减函数，若（1），则有，即，即不等式（1）的解集为．故答案为：．四．复合函数的单调性26．（2023秋•开福区校级期末）函数的单调递增区间是A． B． C． D．，【解析】由，得或，设，函数在为增函数，此时为增函数，所以为增函数，即的单调增区间为．故选：．27．（2023秋•那曲市期末）已知函数，则的增区间为A． B． C． D．【解析】令，，又的增区间为，在上单调递增，所以的增区间为．故选：．28．（2024春•沈阳期末）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是A． B． C． D．【解析】根据题意，令，则，其中，因为在上单调递减，所以在上单调递增，则满足，即，解得，分析选项：的一个充分不必要条件是．故选：．29．（2023秋•龙华区期末）已知函数，下列结论正确的是A．单调增区间为，，值域为， B．单调减区间是，，值域为， C．单调增区间为，，值域为， D．单调减区间是，，值域为，【解析】令，则，由，知，所以在上单调递增，在上单调递减，又函数在定义域内单调递增，所以的单调增区间为，单调减区间为，所以（1），所以函数的值域为，．故选：．30．（2024春•晋安区校级期末）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】根据题意，设，则，函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，则在区间上单调递减，必有，解得，所以实数的取值范围是，．故选：．31．（2023秋•鹿邑县期末）设函数在上单调递减，则的取值范围是A． B． C．， D．，【解析】令，因为函数在上为减函数，且函数在上单调递减，所以，函数在上为增函数，所以，解得，且在上恒成立，则，解得．所以，的取值范围是．故选：．五．求函数的最值32．（2024春•滁州期末）若，则A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为6 D．最小值为6【解析】当时，，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为．故选：．33．（2024春•海淀区期末）函数在上的最大值为．【解析】令，则，即，所以可化为，当时，，当时，，当时，，当且仅当时取到等号，解得（负根舍去），所以此时，所以此时最大值为1，当时，因为函数在上单调递减，得到，所以所以，所以，综上所述，函数在上的最大值为1．故答案为：1．34．（2024春•兴庆区校级期末）已知函数在区间，上的最大值为，最小值为，则．【解析】记，显然的定义域，关于原点对称，且，所以是区间，上的奇函数，设的最大值为，则的最小值为，所以．故答案为：2．35．【多选】（2022秋•银川期末）若函数的图像经过点，则A． B．在上单调递减 C．的最大值为81 D．的最小值为【解析】由题意可得（3），即，解得，故正确，所以，令，则函数在上单调递减，在上单调递增，又函数为单调递减函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故错误，所以当时，，故正确，错误，故选：．六．由函数的最值求解函数或参数36．（2024春•崂山区校级期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为A．1 B． C． D．【解析】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；当时，，当时，（2），又时，，存在最小值0，满足题意；当时，在，上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则（2），解得，；当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则（a），不等式无解；综上所述，实数的取值范围为，，则的最大值为1．故选：．37．（2022秋•宁都县校级期末）函数在区间，上的最大值为10，则实数的最大值为A．6 B．8 C．9 D．10【解析】令，，，则函数在，上单调递减，在，上单调递增，所以当时，，当时，，所以，，所以在，上的最大值为10，①当时，，所以，，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，此时命题成立；④当时，，所以，解得，此时命题成立；综上所述：实数的取值范围是，即实数的最大值为8．故选：．38．（2022秋•聊城期末）已知函数在区间，上的最大值与最小值之差为，则的值为A．2 B． C．2或 D．3或【解析】当时，则与在，上均为单调递增函数，所以函数在区间，上单调递增，所以（2），（1），所以，所以，即，解得；当时，则与在，上均为单调递减函数，所以函数在区间，上单调递减，所以（2），（1），所以，所以，即，解得；综上，．故选：．39．（2023秋•道里区校级期末）已知函数，若函数在，的最小值为1，则实数的值为．【解析】令，则当，时，，，函数可化为，对称轴为，当，即时，在，上单调递增，（1），解得：（舍；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得：（舍或；当，即时，在，上单调递减，（4），解得：（舍；综上所述：．故答案为：．40．（2022秋•枣庄期末）已知函数在，上的最大值为3，则实数的值为．【解析】，显然，当时，函数在，上单调递减，则，解得；当时，函数在，上单调递增，则，解得（舍；综上，．故答案为：3．41．（2022秋•简阳市校级期末）函数在，上的最大值为13，则实数的值为．【解析】令，则原函数可化为，对称轴为，显然该函数在，上单调递增，当时，，，（a），解得或（舍；当时，，，，解得或，综上可知：的取值为3或．故答案为：3或．42．（2022秋•海淀区校级期末）函数在区间，上的最小值是，则的值是．【解析】由已知，设，原函数可化为，该函数在，上单调递减，①当时，，，此时函数递减，，解得，所以或（舍，解得（负值舍去）；②当时，，此时函数递减，，即，解得或（舍去），所以；综上，的取值为或．故答案为：或．七．奇函数偶函数的判断43．【多选】（2022秋•蕉城区校级期末）下列函数中为偶函数的是A． B． C． D．【解析】选项，函数定义域为，，它不关于原点对称，为非奇非偶函数；选项，函数定义域为，且，是一个奇函数；选项，函数定义域为，且，是一个偶函数；选项，函数定义域为，且，是一个偶函数．故选：．44．（2022秋•克州期末）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）的定义域为，它关于原点对称，，故为偶函数；（2）的定义域为，它关于原点对称，，故为奇函数；（3）的定义域为，，，，它关于原点对称，，故为奇函数．45．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数．（1）判断的奇偶性，并证明；（2）求不等式的解集．【解析】（1）根据题意，函数为奇函数，函数，则有，解可得，即函数的定义域为，，该函数为奇函数；（2）根据题意，不等式即，则有，必有，解可得，即不等式的解集为．八．函数奇偶性的应用46．（2022秋•济南期末）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则A． B． C．5 D．7【解析】根据题意，当时，，则（1），又由为奇函数，则（1），故选：．47．（2023春•滁州期末）已知定义在上的奇函数满足，当，时，，则A． B． C．0 D．1【解析】因为函数是定义在上的奇函数，则，若函数满足，则有，则有，可得，则函数是周期为8的周期函数，所以（6），因为，所以（6）（2），因为当，时，，所以（6）（2），即．故选：．48．（2023秋•锡山区校级期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为A．，， B． C．，， D．，，【解析】因为函数为上的奇函数，当时，，当时，，所以，所以，又，则可转化或，解得，或．故选：．49．（2024春•新乡期末）已知函数是奇函数，则A．0 B．1 C． D．2【解析】根据题意，由函数是奇函数，得，则，解得，函数定义域为，，，是奇函数，所以．故选：．50．（2022秋•元宝区校级期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的解析式为．【解析】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，设，有，则，又由函数为奇函数，则，则；故答案为：．51．（2022秋•延边州期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则．【解析】函数为定义在上的奇函数，当时，，则（2），故答案为：3．九．奇偶函数图象的对称性52．（2024春•厦门期末）函数的图象大致是A． B． C． D．【解析】根据题意，函数，其定义域为，有，则为奇函数，排除、，当时，函数和都是增函数，则在上为增函数，排除．故选：．53．（2023秋•海淀区校级期末）已知函数，则下列说法中正确的是A． B．的图像关于原点对称 C．在定义域内是增函数 D．存在最大值【解析】根据题意，依次分析选项：对于，（2），，错误；对于，，其定义域为，有，则为奇函数，其图像关于原点对称，正确；对于，（1），，则在其定义域内不是增函数，错误；对于，函数，其图象大致如图：故不存在最大值，