第二章 函数（解析 版）

第二章函数函数的概念函数的单调性及最值函数的奇偶性函数的单调性与奇偶性综合应用二次函数幂函数一．函数的概念（共7小题）1.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】A选项：当时，，，所以这两个函数的对应法则不同，不是相同函数；B选项：，其定义域为，，其定义域为.两个函数的定义域不同，不是相同函数；C选项：，其定义域为，，其定义域也为.两个函数的对应法则相同，定义域也相同，是相同函数.D选项：，其定义域为，，其定义域为.两个函数的定义域不同，不是相同函数.综上所述，表示相同函数的一组是C选项.故选：C.2.若函数y=fx的定义域为，值域为，则函数y=fx的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】A选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，不合题意；B选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，值域为，符合题意；C选项，此图表示的不是函数图象，不符合题意；D选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，值域不是，不符合题意.故选：B3．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）A． B．C． D．和【答案】B【详解】对于A，和定义域均为R，，故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误；对于B，和定义域均为R，，故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确；对于C，定义域为定义域为，故和定义域不相同，和不是同一个函数，故C错误；对于D，定义域为定义域为,故和定义域不相同，和不是同一个函数，故D错误；故选：B.4．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】C【详解】当时，不等式恒成立.当时，恒成立；当时，则需满足，综合可得的取值范围是.故选：C5.（多选）下面各组中的函数为同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【详解】对于A，易知的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，即A错误；对于B，两函数定义域均为，值域为，对应关系相同，因此两函数为同一个函数，即B正确；对于C，两函数定义域为，值域为，对应关系相同，所以函数为同一个函数，即C正确；对于D，定义域为，的定义域为，不是同一个函数，即D错误.故选：BC6.已知函数，则.【答案】【详解】由，则.故答案为：.7．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数y=fx的定义域为0,4所以，解得且，所以函数的定义域是，故选：B二．函数的单调性及最值（共7小题）8.已知函数为减函数，则实数的取值范围是.【答案】【详解】因为函数为减函数，所以，故，所以实数的取值范围为.故答案为：.9．定义一种运算，设（t为常数，且）.若函数的最大值为4，则t的取值集合为.【答案】【详解】在上的最大值为5，所以由，解得或，所以时，，所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，当时，的图象必须经过点，即时，，此时解得，符合题意；当时，的图象必须经过点0,4，即时，，此时解得，符合题意。综上所述，或.故答案为：.

10．定义域为的函数满足条件：①对任意的，恒有；②；③，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，恒有，所以在0,+∞上恒成立，即在0,+∞上单调递增，因为，所以，即是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递减，又，所以f3=0，对于不等式，当时，，可得；当时，，可得；综上，不等式的解集是.故选：A11.已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，则，，，，函数y=fx的值域为，故选：C.12.定义在上的函数满足对任意，（）时，都有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，函数在上单调递减，则，解得，即实数a的取值范围是.故选：D.13.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】不妨假设，由，得，则在上单调递减，所以，解得.所以实数的取值范围是.故选：C.14.已知函数经过，两点.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明；(3)当时，，求实数m的最小值.【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析(3)【详解】（1），，，解得，.（2）在上单调递减，证明如下：任取，，且，则，，，且，，，，，即，所以函数在上单调递减.（3）由（2）知在上单调递减，函数在上的最大值为，由知，，所以m的最小值为.三．函数的奇偶性（共9小题）15．已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数为偶函数，所以.当时，，所以当时，.故选：A.16.若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【详解】因为为奇函数，所以.故选：A17．已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（

）

A．B．C．在定义域上不存在最小值D．在的最大值与最小值之和为【答案】C【详解】对于A，由为定义域在的奇函数，则图象关于点对称，,由图知，则，故A正确；对于B，，为奇函数，则，故B正确；对于C，由图知在的最大值为，则在的最小值为，因此可得在定义域上存在最小值为，故C错误；对于D，由在的最大值为，最小值为，则最大值与最小值之和为，故D正确.故选：C.18.已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题设，即，当时，，由图可知，时，时，当x>0时，，根据奇函数的对称性，有时，时，所以，不等式的解集为.故选：D19.已知函数为偶函数，当时，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当，则，所以，根据偶函数性质可知.故选：C20．若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（

）A．1，1 B．， C．，1 D．1，【答案】D【详解】已知时，.当时，，根据函数表达式，.

因为是奇函数，所以.当时，.由可得.对于，等式两边对应项系数相等.对于的系数，可得，解得.对于的系数，可得.

故，.故选：D.21．已知函数为奇函数，则（

）A． B．， C．， D．，【答案】D【详解】由题意可知，，即，整理得，即对于恒成立，则，所以，，故选：D．22．已知函数，，则.【答案】【详解】∵，，所以.故答案为：．23.已知函数且，则的值为．【答案】【详解】令，定义域为且关于原点对称，因为，所以为奇函数，所以，所以，代入，可得，故答案为：.四．函数的单调性与奇偶性综合应用（共7小题）24．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，解得，所以函数的定义域为；又因为在上为增函数，即在上为增函数，所以在上为减函数，又因为，所以，整理得，解得或.所以不等式的解集为.故选：D.25．已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】依题意，，由在上单调递减，，得，所以.故选：C26.已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题设，易知在上，在上，且，由，则或，所以原不等式的解集为.故选：C27.定义在上的偶函数对任意的，且，都有，且，则不等式的解集是.【答案】【详解】由题意知：在上单调递减，又因为为偶函数，f1=0所以在上单调递增，且，故当时，，当或x>1时，.等价于或.当时，解得：，当时，解得：，综上所述，的解集为，故答案为：.28．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为．【答案】【详解】令，则为偶函数，且，当时，为减函数，所以当或时，；当或时，；因此当时，；当时，，即不等式的解集为，故答案为：.29．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.(1)求实数的值；(2)求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；(3)解关于的不等式.【答案】(1)(2)函数在区间上的解析式为，且在上单调递增，证明见解析；(3)【详解】（1）由题可知，函数是定义在上的奇函数，且，则，解得，经检验符合题意.（2）由（1）可知当时，，当时，任取，且，且，则于是，所以在上单调递增.（3）由函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则在上单调递增，所以，则，则由可得：，解得：，∴不等式的解集为．30．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．(1)求函数图象的对称中心；(2)用定义法证明在区间上的单调性．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题可知，当对称中心为时，.设函数图象的对称中心为，则，即，整理得，于是，解得，所以的对称中心为；（2）设，，且，则，因为且，所以，即，所以在上单调递增.五．二次函数（共5小题）31.已知函数，且不等式对一切实数x恒成立．(1)求函数的解析式；(2)在(1)的条件下，设函数，关于x的不等式，在有解，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）且，，又对一切实数x恒成立，对一切实数x恒成立，①当时，，若，则，，不符合题意；②当时，若对一切实数x恒成立，则，，又，，，，；（2）由题可知，则关于x的不等式在有解，即在有解，即在有解，当时，，令，，则，其中，当时，，，，，，或，实数m的取值范围为.32．已知，为常数．(1)若为偶函数，求的值；(2)设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知函数为偶函数，则，即恒成立，化简可得，即，又不恒为，所以；（2）由以，当时，，此时，又，则函数在上单调递减，由在上单调递减，所以，解得，即.33．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．(1)求的解析式；(2)当时，求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由是定义在上的奇函数，且当时，，则，解得，即时，；当时，，，故；（2）作出函数的大致图象如图所示：当时，函数在上单调递增，则；当，，函数在上单调递减，在上单调递增，此时；当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，，，则，则，则；当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，，，则，则，所以；当时，即当时，函数在上单调递增，此时，综上所述，．34．设是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，又是定义在上的奇函数，故，即，又，故；（2）当时，，故在上单调递增，又，是定义在上的奇函数，故在上单调递增，则有，即有，解得.35.已知二次函数满足：有两个实数根.(1)若，求实数的取值范围;(2)若，记在时的最小值为，求的表达式;(3)若与都是整数且，求的值.【答案】(1)或；(2)；(3)时，，，时，，．【详解】（1）由已知有两个不等实根，所以，解得或；（2）由，可知，又，故，显然，所以，当时，的图象是开口向上的抛物线，当时，，，当时，，当时，的图象是开口向下的抛物线，时，，，时，，，所以；（3）由题意，，由得，又方程的解都是整数，则或2，，即时，，，，即时，，．综上，时，，，时，，．六．幂函数（共9小题）36.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，幂函数在0,+∞上单调递增，当时，幂函数在0,+∞上单调递减，并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大，所以，所以.故选：A37.（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（

）A． B．函数是偶函数C． D．函数的值域为【答案】ABD【详解】因为是幂函数，且，所以，可得，则，A正确；又定义域为，，B正确；又，，C错误；由，可知D正确.故选：ABD38．（多选）已知函数的图象经过点则（

）A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称C．在上单调递减 D．在内的值域为【答案】CD【详解】由题意，则，∴，∴是奇函数，图象关于原点对称，在上是减函数，值域为，，故选：CD39．（多选）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（

）A． B．函数在上单调递增C．函数是偶函数 D．函数的图象关于原点对称【答案】ABD【详解】因为幂函数在上是增函数，所以解得，所以，所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，所以在上单调递增,ABD正确，C错误故选：ABD．40．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（

）A． B．是增函数C．是偶函数 D．不等式的解集为【答案】BD【详解】设幂函数，因为图象经过点，所以将点代入中，可得，那么，即.分析选项A,，定义域为，所以不在定义域内，无意义，A选项错误.分析选项B,幂函数，因为，根据幂函数性质，当时，幂函数在定义域上单调递增，B选项正确.分析选项C,，无意义，不满足，不是偶函数，C选项错误.分析选项D,由，即，解不等式，，又因为定义域为，所以不等式的解集为，D选项正确.故选：BD.41．若，且函数与的图象若只有个交点，则写出一个符合条件的集合；若有两个交点，则满足条件的不同集合有个．【答案】（答案不唯一）【详解】函数与的图象分别有个，个，个交点；函数与的图象都有个交点；函数与的图象有个交点，所以函数与的图象若只有个交点，则或；函数与的图象若只有个交点，则或或或.故答案为：（答案不唯一）；.42．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数．(1)求和的值；(2)若实数满足，求的最小值.【答案】(1)或1，(2)2【详解】（1）幂函数，则，解得或1，又幂函数在上是减函数，故，解得，因为，故或，当时，