清单02 一元二次函数、方程与不等式（考点清单知识导图+10个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第一册）（原卷版）

清单02一元二次函数、方程与不等式（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】符号变换法则与比较大小两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.【清单02】不等式的性质基本性质有：(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，运算性质有：(1)可加法则：(2)可乘法则：(3)可乘方性：【清单03】基本不等式1.对公式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或【清单04】用基本不等式求最大（小）值总方针：在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值.【清单05】一元二次不等式及零点一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.【清单06】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根【清单07】一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.【清单08】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)根据图象写出不等式的解集．【清单09】解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【清单10】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分别求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.【考点题型一】利用不等式的性质比较大小技巧：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则【例1】“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】已知，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式1-4】已知实数，，下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【考点题型二】利用不等式的基本性质求代数式的取值范围技巧：利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分别求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.【例2】已知，，则ab的最大值为（

）A． B． C．3 D．4【变式2-1】已知,则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-2】已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2-3】若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2-4】已知，则以下错误的是（

）A． B．C． D．【考点题型三】对基本不等式的理解及简单应用技巧：应用基本不等式时的三个关注点(1)一正数：指式子中的a，b均为正数.(2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.【例3】已知正实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-1】已知a，b为正实数，，则（

）A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2【变式3-2】已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（

）A． B． C． D．【变式3-3】已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【变式3-4】两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（

）A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定【考点题型四】利用基本不等式比较大小技巧：利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．【例4】下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【变式4-1】若x，y满，则（

）A． B． C． D．【变式4-2】下列不等式恒成立的是（

）A．； B．；C．； D．．【变式4-3】若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【变式4-4】若，且，则下列不等式中，恒成立的是A． B． C． D．【考点题型五】利用基本不等式求解恒成立问题技巧：利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.【例5】若实数，满足，则（

）A． B．C． D．【变式5-1】不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．1【变式5-2】已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式5-3】已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式5-4】，不等式恒成立，则正数的最小值是（

）A．8 B．16 C．27 D．36【考点题型六】利用基本不等式求最值技巧：利用基本不等式求代数式的最值(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．【例6】若，则函数的最小值是（

）A． B． C． D．【变式6-1】已知，则的最小值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【变式6-2】已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式6-3】若，则有（

）A．最小值6 B．最小值8 C．最大值8 D．最大值3【变式6-4】若存在，使不等式成立，则k的最小值是（

）A．8 B．10 C．16 D．24【考点题型七】解不含参数的一元二次不等式技巧:解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)根据图象写出不等式的解集．【例7】不等式的解集为（

）A．B． C．D．【变式7-1】函数的零点为1，2，则不等式的解集为（

）A． B．或x>1C． D．或【变式7-2】不等式的解集是（

）A． B．或C． D．【变式7-3】不等式的解集为（

）A． B．或C．或 D．【变式7-4】已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集（

）A． B．C． D．【考点题型八】一元二次不等式与根与系数关系的交汇技巧：三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：【例8】“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【变式8-1】关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式8-2】已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【变式8-3】若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式8-4】设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点题型九】含有参数的一元二次不等式的解法技巧：解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【例9】不等式的解集为，则不等式的解集为（

）.A．或 B． C． D．或【变式9-1】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或【变式9-2】关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于（

）A．或2 B．1或 C． D．【变式9-3】关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（

）A． B． C． D．【变式9-4】已知实数，则不等式的解集不可能是（

）A． B．C．或 D．或【考点题型十】不等式的恒成立问题技巧：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。【例10】已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C．或 D．【变式10-1】若关于的不等式对