清单05 三角函数（14个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第一册）（原卷版）

清单05三角函数（14个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】任意角是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以【清单02】弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．2、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：．【清单03】三角函数定义及象限正负设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：（1）做的正弦，记做，即；（2）叫做的余弦，记做，即；（3）叫做的正切，记做，即．三角函数在各象限的符号：【清单04】同角三角函数的基本关系式及变形（1）平方关系：（2）商数关系：变形1、平方关系式的变形：，，变形2、商数关系式的变形，．【清单05】诱导公式诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，．，，其中【清单06】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．【清单07】正弦函数图象（1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线．（2）图象用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象；2、写出适合不等式在区间上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．【清单08】正弦型函数的性质．函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数．【清单09】余弦型函数的性质．函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．（4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．【清单10】正切函数的性质1、定义域：2、值域：由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．3、周期性：周期函数，最小正周期是4、奇偶性：奇函数，即．5、单调性：在开区间，内，函数单调递增【清单11】三角恒等变换两角和的余弦公式：两角和正弦函数两角差的正弦函数两角和与差的正切函数，二倍角的正弦、余弦、正切公式公式的逆用；．．．公式的变形；降幂公式：升幂公式：【清单12】辅助角公式形如的三角函数式的变形：令，，则（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）【清单13】图像变换由得图象通过变换得到的图象1、振幅变换：，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．2、周期变换：函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．3、相位变换：函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．【考点题型一】角α/n所在象限的研究技巧：已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意．【例1】设是第一象限的角，则所在的象限为（

）A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限【变式1-1】若角是第二象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【变式1-2】设是第二象限角，则的终边在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【变式1-3】已知为第三象限角，则为第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三【变式1-4】已知角第二象限角，且，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【考点题型二】区域角的表示技巧：区域角的写法可（1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；（2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角；（3）用不等式表示区域内的角，组成集合．【例2】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【变式2-1】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【变式2-2】终边在第四象限的角的集合是（）A．B．C．D．【变式2-3】集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（

）A． B． C． D．【变式2-4】若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（

）A．B．C． D．【考点题型三】扇形中的最值问题技巧：角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：．【例3】若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（

）A． B．C． D．【变式3-1】如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（

）

A． B． C． D．【变式3-2】设扇形的周长为，则当扇形的面积最大时，其圆心角的弧度数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-3】如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（

）A． B． C．2 D．不存在【变式3-4】已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（

）A． B． C． D．2【考点题型四】已知tanα的值，求关于sinα、cosα的齐次式的值问题技巧：①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值．【例4】已知，则（

）A． B． C． D．【变式4-1】若，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【变式4-2】已知，则（

）A．1 B． C．2 D．【变式4-3】已知，则（

）A．3 B．-3 C．2 D．-2【变式4-4】已知角的终边在直线上，则的值为（

）A． B． C． D．【考点题型五】sinα+cosα,sinα-cosα与sinα·cosα关系的应用技巧：三角函数求值中常见的变形公式（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；.（2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号．【例5】若，，则（

）A． B． C．2 D．【变式5-1】已知是三角形的内角，若，则的值等于（

）A． B． C． D．【变式5-2】若，则（

）A． B． C． D．【变式5-3】若，则的值为（

）A． B． C． D．【变式5-4】已知，且，则（

）A． B． C． D．【考点题型六】诱导公式的应用技巧：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角．（3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．【例6】若，则（

）A． B． C． D．【变式6-1】已知，，则为第几象限角（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【变式6-2】若，则（

）A．或 B．或 C． D．【变式6-3】已知，关于等式，以下两个命题：①对任意的，总存在，使得等式成立；②对任意的，总存在，使得等式成立.则下列判断正确的是（

）A．①与②都正确 B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确 D．①与②都不正确【变式6-4】在有意义的前提下，下列各项与相等的是（

）A． B． C． D．【考点题型七】解三角不等式问题技巧：用三角函数的图象解（或）的方法（1）作出直线，作出（或）的图象．（2）确定（或）的x值．（3）确定（或）的解集．【例7】已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-1】在上，函数的定义域是（

）A． B．C． D．【变式7-2】已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式7-3】已知是定义在上的奇函数，且，若，，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【变式7-4】函数的定义域是（

）A． B．C． D．【考点题型八】正余弦函数的周期、奇偶、对称单调问题技巧：正弦型函数的性质．函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数．余弦型函数的性质．函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．（4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．【例8】已知函数在区间上单调递减且，(1)求的解析式；(2)求使成立的的取值范围.【变式8-1】设函数，(1)若将图象向左平移个单位，再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数，求在上的值域.(2)若，且，求的值.【变式8-2】已知函数的部分图象如图所示，点，(1)求的解析式；(2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值.【变式8-3】已知向量.(1)若，且，求的值；(2)设函数，求函数在区间上的最大值以及相应的的值.【变式8-4】已知函数，其中，.记的最小正周期为，.(1)求的值；(2)若与轴相邻交点间的距离为，求在区间上的最大值和最小值.【考点题型九】根据正余弦函数单调性求参数的范围问题技巧：单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．【例9】已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式9-1】已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（

）A．B．若的最小正周期为，则C．若在区间0,π上有且仅有3个最值点，则的取值范围为D．若，则的最小值为2【变式9-2】函数在（）内没有最小值，且存在，使得，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式9-3】已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式9-4】已知函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【考点题型十】正切函数的周期、奇偶、对称单调问题技巧：1、定义域：2、值域：由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．3、周期性：周期函数，最小正周期是4、奇偶性：奇函数，即．5、单调性：在开区间，内，函数单调递增【例10】已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围.【变式10-1】设函数.(1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间；(2)求不等式的解集；(3)作出函数在一个周期内的简图.【变式10-2】已知函数（）的最小正周期为．(1)求的单调递增区间；(2)若，，求．【变式10-3】已知函数.(1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心.(2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围.(3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围.【变式10-4】设函数.(1)求函数的定义域、最小正周期、渐近线及对称中心；(2)解不等式.【考点题型十一】给角求值、给值求值、给值求角问题技巧：给值求值的解题策略（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角．（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①；②；③；④．（1）给值求角问题的步骤．①求所求角的某个三角函数值．②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角．【例11】已知，则的值为（

）A． B． C． D．【变式11-1】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【变式11-2】已知，，则（

）A． B． C． D．【变式11-3】已知，则的值可能是（

）A． B． C． D．【变式11-4】若，，则（

）A． B． C． D．1【考点题型十二】辅助角公式的应用技巧：通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．【例12】已知，且，则（

）A． B． C． D．【变式12-1】若，则（

）A． B． C． D．【变式12-2】若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式12-3】已知函数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式12-4】曲线与的交点中，与y轴最近的点的横坐标为（

）A． B． C． D．【考点题型十三】根据三角函数图象求解析式技巧：确定函数（）的解析式的步骤（1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，．（2）求，确定函数的周期，则．（3）求，常用方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．【例13】已知函数，如图，是直线