南宁市2016届中考数学逼真模拟试卷五(含解答)

2016年广西南宁市中考数学逼真模拟试卷（五）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列数：﹣3，1，﹣2，0中，最大的是（）A．﹣3 B．0 C．﹣2 D．12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x≥03．下列计算正确的是（）A．（﹣2）×3=6 B．=±3 C．=﹣2 D．﹣=4．某校羽毛球训练队共有8名队员，他们的年龄（单位：岁）分别为：12、13、13、14、12、13、15、13，则他们年龄的众数、极差分别是（）A．12，3 B．13，3 C．14，2 D．13，25．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．a3÷a2=a C．（a3）2=a9 D．a2+a3=a56．如图，图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（）A．（0，9） B．（8，0） C．（9，0） D．（10，0）7．用4个小立方块搭成如图所示的几何体，该几何体的左视图是（）A． B． C． D．8．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．如图是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为408人，表（1）是该校学生阅读课外书籍情况统计表．根据图表中的信息，可知该校学生平均每人读课外书的本数是（）图书种类频数频率科普知识840B名人传记8160.34漫画丛书A0.25其它1440.06A．2 B．3C．4 D．59．如图，第①个图形中有4个“○”，第②个图形中有10个“○”，第③个图形中有22个“○”，…，那么第⑤个图形中“○”的个数是（）A．46 B．70 C．94 D．19010．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，经过C、D两点的圆交AC、BC于点E、F，且AE=CF．当圆变化时，点C到线段EF的最大距离为（）A． B．2 C． D．2二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：a3﹣9ab2=．12．据了解，2014年湖北省某市中考报名人数约为58500人，其中数据58500用科学记数法表示为．13．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为．14．甲、乙两人同时从A地出发到B地去，已知甲骑自行车，乙步行，甲到达B地后用半小时办完事后按原速返回．甲、乙两人之间的距离y（单位：千米）与行驶时间t（单位：时）之间的函数关系如图所示，则图中a的值是．15．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°，反比例函数y=（x＞0）的图象经过A、B两点，则k的值是．16．如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．若射线EF经过点C，则AE的长是．三、解答题（共8小题，共72分）17．直线y=kx+4经过点（1，2），求不等式kx+4≥0的解集．18．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．19．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．平面直角坐标系和△ABC的位置如图所示．（1）画出△ABC关于（﹣1，﹣1）的中心对称△A1B1C1；（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为Q（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标．20．某市对将参加2014年中考的初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．请根据图表信息回答下列问题：（1）在频数分布表中，a的值为，b的值为，并将频数分布直方图补充完整；（2）甲同学说“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，请直接写出甲同学的视力情况应在什么范围内？视力频数（人）4.0≤x＜4.3200.14.3≤x＜4.6400.24.6≤x＜4.9700.354.9≤x＜5.2a0.35.2≤x＜5.510b（3）视力在5.2以上（含5.2）的同学中通过了一中、二中、三中的分配生考试的学生分别有1人、2人、2人，请用列表法或画树形图的方法求出“从五位通过考试的学生中随机抽出两人，恰好一个是二中，另一个是三中的分配生”的概率．21．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．（1）如图1，若∠ABC=90°，求证：OE∥AC；（2）如图2，已知AB=AC，若sin∠ADE=，求tanA的值．22．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量是100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的销售量将是原销售量的y倍，y与x的关系如下表：x（十万元）012…y11.51.8…（1）已知y与x之间满足我们学习过的三种函数（即一次函数、反比例函数、二次函数）关系中的一种，请求出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围；（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（3）如果每年投入的广告费为10万元～20万元，公司获得的最大利润是多少？23．如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a=，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．24．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．2016年广西南宁市中考数学逼真模拟试卷（五）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列数：﹣3，1，﹣2，0中，最大的是（）A．﹣3 B．0 C．﹣2 D．1【考点】有理数大小比较．【分析】由于正数大于所有负数，两个负数绝对值大的反而小，依此进行比较即可．【解答】解：∵正数大于0，∴1最大．故选D．【点评】此题主要考查了有理数的大小比较，有理数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x≥0【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0时，二次根式有意义．即可求解．【解答】解：根据题意得x﹣5≥0，即x≥5．故选B．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3．下列计算正确的是（）A．（﹣2）×3=6 B．=±3 C．=﹣2 D．﹣=【考点】实数的运算．【专题】计算题．【分析】A、原式利用有理数的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式利用平方根定义计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用立方根定义计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用平方根定义计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=﹣6，错误；B、原式=3，错误；C、原式=﹣2，正确；D、原式=5﹣4=1≠3，错误．故选C．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．某校羽毛球训练队共有8名队员，他们的年龄（单位：岁）分别为：12、13、13、14、12、13、15、13，则他们年龄的众数、极差分别是（）A．12，3 B．13，3 C．14，2 D．13，2【考点】极差；众数．【分析】根据极差、众数的概念求解．【解答】解：众数为：13，极差为：15﹣12=3．故选B．【点评】本题考查了众数和极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．5．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．a3÷a2=a C．（a3）2=a9 D．a2+a3=a5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、a2•a3=a2+3=a5同底数幂的乘法，底数不变指数相加，故本选项错误；B、a3÷a2=a同底数幂的除法，底数不变指数相减，故本选项正确；C、（a3）2=x6，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项错误；D、a2+a3=a5不能合并同类项，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．6．如图，图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（）A．（0，9） B．（8，0） C．（9，0） D．（10，0）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质得出对应点的连线的交点即可得出答案．【解答】解：如图所示：点D即为所求，坐标为：（9，0）．故选：C．【点评】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出位似中心的位置是解题关键．7．用4个小立方块搭成如图所示的几何体，该几何体的左视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可．【解答】解：从几何体左面看得到一列正方形的个数为2，故选A．【点评】考查三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．8．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．如图是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为408人，表（1）是该校学生阅读课外书籍情况统计表．根据图表中的信息，可知该校学生平均每人读课外书的本数是（）图书种类频数频率科普知识840B名人传记8160.34漫画丛书A0.25其它1440.06A．2 B．3 C．4 D．5【考点】频数（率）分布表；扇形统计图；加权平均数．【分析】首先求得图书的总册数，然后求得总人数，从而求得平均每人多少本．【解答】因为八年级的人数是408人，占34%，所以求得全校人数有：408÷34%=1200（人），B=1﹣0.34﹣0.25﹣0.06=0.35，由816÷0.34=2400得图书总数是2400本，所以全校学生平均每人阅读：2400÷1200=2（本）．故选A．【点评】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用，考查分析频数分布直方图和频率的求法．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．9．如图，第①个图形中有4个“○”，第②个图形中有10个“○”，第③个图形中有22个“○”，…，那么第⑤个图形中“○”的个数是（）A．46 B．70 C．94 D．190【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由图可知：第①个图形中有1+2+1=4个“○”，第②个图形中有1+2+4+2+1=10个“○”，第③个图形中有1+2+4+8+4+2+1=22个“○”，…，得出第n个图形中有1+2+22+23+…+2n…+23+22+2+1个“○”，由此规律求得答案即可．【解答】解：第①个图形中有1+2+1=4个“○”，第②个图形中有1+2+4+2+1=10个“○”，第③个图形中有1+2+4+8+4+2+1=22个“○”，…，第n个图形中有1+2+22+23+…+2n…+23+22+2+1个“○”，第⑤个图形中“○”的个数是1+2+4+8+16+32+16+8+4+2+1=94．故选：C．【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，经过C、D两点的圆交AC、BC于点E、F，且AE=CF．当圆变化时，点C到线段EF的最大距离为（）A． B．2 C． D．2【考点】圆的综合题．【专题】综合题．【分析】连结CD、DE、DF，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠A=45°，CD⊥AB，CD=AD=BD，∠DCB=45°，易证得△ADE≌△CDF，则∠ADE=∠CDF，DE=DF，再判断△EDF为等腰直角三角形，得到DE=EF，由于S△DEF=•DE2=EF2，所以当EF越小，S△DEF越小，加上S△CEF+S△EDF=S△ADC=S△ABC，则当EF越小，S△DEF越小，而S△CEF越大，此时点C到EF的距离越大，即EF最小时，点C到EF的距离最大，设点C到EF的最大距离为h，根据圆周角定理，由∠ECF=90°得EF为⊙O的直径，所以当⊙O的直径等于CD时，⊙O的直径最小，即EF最小，此时可判断四边形CEDF为正方形，根据正方形和等腰直角三角形的性质易得h=．【解答】解：连结CD、DE、DF，如图，∵∠C=90°，AC=BC=4，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∠DCB=45°，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠ADE=∠CDF，DE=DF，∵∠ADF+∠CDE=90°，∴∠CDF+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形，∴DE=EF，∴S△DEF=•DE2=EF2，当EF越小，S△DEF越小，∵S△CEF+S△EDF=S△CDE+S△CDF=S△CED+S△ADE=S△ADC=S△ABC=4，∴当EF越小，S△DEF越小，而S△CEF越大，此时点C到EF的距离越大，即EF最小时，点C到EF的距离最大，设点C到EF的最大距离为h，∵∠ECF=90°，∴EF为⊙O的直径，∴当⊙O的直径等于CD时，⊙O的直径最小，即EF最小，此时∠DEC=∠DFC=90°，则四边形CEDF为正方形，h=CD=•AB=••4=，即点C到线段EF的最大距离为．故选A．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质；会运用三角形全等解决线段相等的问题；记住三角形的面积公式．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：a3﹣9ab2=a（a﹣3b）（a+3b）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：a3﹣9ab2=a（a2﹣9b2）=a（a﹣3b）（a+3b）．故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．【点评】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．12．据了解，2014年湖北省某市中考报名人数约为58500人，其中数据58500用科学记数法表示为5.85×104．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将58500用科学记数法表示为5.85×104．故答案为：5.85×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为．【考点】概率公式．【分析】由一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，∴从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．14．甲、乙两人同时从A地出发到B地去，已知甲骑自行车，乙步行，甲到达B地后用半小时办完事后按原速返回．甲、乙两人之间的距离y（单位：千米）与行驶时间t（单位：时）之间的函数关系如图所示，则图中a的值是．【考点】一次函数的应用．【分析】根据甲到达B地后用半小时办完事求出b=1+=，由图可知乙的速度为（6﹣4）÷=4（千米/小时），则甲的速度为6+4=10（千米/小时），则4千米两人相遇所用时间为4÷（4+10）=，所以a=b+，即可解答．【解答】解：如图，∵到达B地后用半小时办完事，∴b=1+=，由图可知乙的速度为（6﹣4）÷=4（千米/小时），则甲的速度为6+4=10（千米/小时），则4千米两人相遇所用时间为4÷（4+10）=，所以a=b+=．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息，理解甲乙二人的行驶过程是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°，反比例函数y=（x＞0）的图象经过A、B两点，则k的值是7．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据A、B点纵坐标设点B（k，1），则A（，7），根据BF=BE﹣EF，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出反比例解析式．【解答】解：∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过A、B两点，∴设点B（k，1），则A（，7），∵BF=BE﹣EF，∴k﹣=tog60°×（7﹣1）=6，解得：k=7，故答案为7．【点评】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是明确点的坐标与直角三角形的三边关系，反比例函数图象上点的坐标特点．16．如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．若射线EF经过点C，则AE的长是2或5．【考点】相似三角形的判定与性质；直角梯形．【分析】过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CM⊥AB于F，则BH=AD=，再由锐角三角函数的定义求出CH及BC的长，设AE=x，则BE=6﹣x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的长，再判断出△EDF∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求出x的值即可．【解答】解：过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CM⊥AB于M，则BH=AD=MF=，∵∠ABC=120°，AB∥CD，∴∠BCH=60°，∴CH=BM==1，设AE=x，则BE=6﹣x，在Rt△EFM中，EF==，∵AB∥CD，∴∠EFD=∠BEC，∵∠DEF=∠B=120°，∴△EDF∽△BCE，即△EDF∽△BFE，∴，∴EF2=DF•BE，即（7﹣x）2+3=7（6﹣x），解得x=2或5．故答案为：2或5．【点评】本题考查了解直角梯形及相似三角形的判定与性质，勾股定理，特殊角的三角函数值等，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．三、解答题（共8小题，共72分）17．直线y=kx+4经过点（1，2），求不等式kx+4≥0的解集．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】把点（1，2）的坐标代入直线解析式求出k值，从而得到直线解析式y=﹣2x+4，然后解不等式﹣2x+4≥0即可．【解答】解：把点（1，2）的坐标代入直线解析式y=kx+4中，得k+4=2，解得：k=﹣2，则直线的函数解析式为：y=﹣2x+4，由﹣2x+4≥0，得：x≤2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的求解，根据点在直线上，把点的坐标代入直线解析式求出k的值是解题的关键．18．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中，∴△ABC≌△AED（ASA），∴BC=ED．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．19．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．平面直角坐标系和△ABC的位置如图所示．（1）画出△ABC关于（﹣1，﹣1）的中心对称△A1B1C1；（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为Q（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于点（﹣1，﹣1）的中心对称的点A1、B1、C1，顺次连接即可；（2）根据题意把△ABC向右平移6个单位，再向上平移2个单位即可．【解答】解：（1）如图：（2）点A2（3，4）、C2（4，2）．【点评】本题考查的是旋转变换和平移变换，掌握中心对称的概念和作法、平移的方向和距离是解题的关键．20．某市对将参加2014年中考的初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．请根据图表信息回答下列问题：（1）在频数分布表中，a的值为60，b的值为0.05，并将频数分布直方图补充完整；（2）甲同学说“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，请直接写出甲同学的视力情况应在什么范围内？视力频数（人）4.0≤x＜4.3200.14.3≤x＜4.6400.24.6≤x＜4.9700.354.9≤x＜5.2a0.35.2≤x＜5.510b（3）视力在5.2以上（含5.2）的同学中通过了一中、二中、三中的分配生考试的学生分别有1人、2人、2人，请用列表法或画树形图的方法求出“从五位通过考试的学生中随机抽出两人，恰好一个是二中，另一个是三中的分配生”的概率．【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；中位数；列表法与树状图法．【分析】（1）根据第一组的频数是20，对应的频率是0.1即可求得总人数，然后利用频率的概念求得a、b的值；（2）根据中位数的定义即可作出判断；（3）利用树状图法列举出所有的可能结果，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）抽查的总人数是：20÷0.1=200（人），则a=200×0.3=60，b==0.05．故答案是：60，0.05；（2）甲同学的视力情况应在4.6≤x＜4.9内；（3）如图所示：随机抽出两人，恰好一个是二中，另一个是三中的分配生”的概率是：=．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．（1）如图1，若∠ABC=90°，求证：OE∥AC；（2）如图2，已知AB=AC，若sin∠ADE=，求tanA的值．【考点】切线的性质．【专题】证明题．【分析】（1）连结OD，如图1，根据切线的性质得∠ODE=90°，再证明Rt△OBE≌Rt△ODE得到∠1=∠2，加上∠3=∠C，则利用三角形外角性质可得∠2=∠C，然后根据平行线的判定可判断OE∥AC；（2）连结OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如图2，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，由AB=AC，OC=OD，∠ACB=∠OCD可得∠A=∠COD，根据切线的性质得∠ODE=90°，则∠ADE+∠ODF=90°，而∠DOF+∠ODF=90°，利用等角的余角相等得∠ADE=∠DOF，于是有sin∠DOF=sin∠ADE=，在Rt△DOF中，根据正弦的定义得到=，则可设DF=x，则OD=3x，利用勾股定理计算出OF=2x，DF=CF=x，OC=3x，接着可运用面积法计算出DH=x，然后在Rt△ODH中用勾股定理计算出OH=x，再根据正切的定义求解即可．【解答】（1）证明：连结OD，如图1，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，在Rt△OBE和Rt△ODE中，，∴Rt△OBE≌Rt△ODE，∴∠1=∠2，∵OC=OD，∴∠3=∠C，而∠1+∠2=∠C+∠3，∴∠2=∠C，∴OE∥AC；（2）解：连结OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如图2，∵AB=AC，OC=OD，而∠ACB=∠OCD，∴∠A=∠COD，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠ODF=90°，而∠DOF+∠ODF=90°，∴∠ADE=∠DOF，∴sin∠DOF=sin∠ADE=，在Rt△DOF中，sin∠DOF==，设DF=x，则OD=3x，∴OF==2x，DF=CF=x，OC=3x，∵DH•OC=OF•CD，∴DH==x，在Rt△ODH中，OH==x，∴tan∠DOH===，∴tan∠A=．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形．22．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量是100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的销售量将是原销售量的y倍，y与x的关系如下表：x（十万元）012…y11.51.8…（1）已知y与x之间满足我们学习过的三种函数（即一次函数、反比例函数、二次函数）关系中的一种，请求出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围；（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（3）如果每年投入的广告费为10万元～20万元，公司获得的最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，利用表格数据，即可求出y与x之间的函数关系式；（2）根据利润看作是销售总额减去成本费和广告费，可得结论；（3）利用配方法，可求最值．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．由关系表，得，解得．故函数的解析式为y=﹣x2+x+1．（2）根据题意，得S=100y（3﹣2）﹣x=﹣10x2+50x+100；（3）S=﹣10x2+50x+100=﹣10（x﹣）2+，∵1≤x≤2，∴当x=2时，S=160，∴每年投入的广告费为10万元～20万元，公司获得的最大利润是160万元．【点评】本题考查了二次函数的应用及分式方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．23．如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a=，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；（2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在．【解答】解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，∴BD=CD=BC=6cm，∵a=2，∴BP=2tcm，DQ=tcm，∴BQ=BD﹣QD=6﹣t（cm），∵△BPQ∽△BDA，∴，即，解得：t=；（2）①过点P作PE⊥BC于E，∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，∴PB：AB=CM：AC，∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ，∴BE=BQ=（6﹣t）cm，∵a=，∴PB=tcm，∵AD⊥BC，∴PE∥AD，∴PB：AB=BE：BD，即，解得：t=，∴PQ=PB=t=（cm）；②不存在．理由如下：∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，∴PB：AB=CM：AC，∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM，∴∠CPM=∠PCM，∴PM=CM，∴四边形PQCM是菱形，∴PQ=CQ，PM∥CQ，∴PB=CQ，PM：BC=AP：AB，∵PB=atcm，CQ=CD+QD=6+t（cm），∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB﹣PB=10﹣at（cm），，化简得②：6at+5t=30③，把①代入③得，t=﹣，∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．24．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．【考点】二次函数