山东省济南市2023-2024学年高三上学期1月期末学习质量检测 数学试卷（含答案）

绝密★启用并使用完毕前2024年1月济南市高三期末学习质量检测数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A． B． C． D．2．若，则其共轭复数A． B． C． D．3．已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则A．1 B． C． D．4．已知直线l经过点，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C：相切”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．平行四边形ABCD中，，，，若，，则A．4 B．6 C．18 D．226．已知，则A． B． C． D．7．已知抛物线C：的焦点为F，坐标原点为O，过点F的直线与C交于A，B两点，且点O到直线AB的距离为，则△OAB的面积为A． B． C． D．8．数列的前n项和为，若，，且，则A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知实数a，b满足，则A． B． C． D．10．已知函数的定义域为R，且，，则A． B．有最小值 C． D．是奇函数11．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是A．甲组中位数为3，极差为4 B．乙组平均数为2，众数为2C．丙组平均数为3，方差为2 D．丁组平均数为3，第65百分位数为612．如图，△ABC中，，，M是AB中点，N是AC边上靠近A的四等分点，将△AMN沿着MN翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P-BCNM，则A．记平面PBC与平面PMN的交线为l，则l∥平面BCNMB．记直线PM和BEC与平面PNC所成的角分别为，，则C．存在某个点P，满足平面平面PNMD．四棱锥P-BCNM外接球表面积的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在正四棱锥P-ABCD中，，则该棱锥的体积为．14．已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为．15．2023年杭州亚运会的吉祥物包括三种机器人造型，分别名叫“莲莲”，“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三种吉祥物各购买了两个（同名的两个吉祥物完全相同），送给三位好朋友，每人两个，则每个好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有种．（用数字作答）16．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与C的右支交于A，B两点，且，的内切圆半径，则C的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．（1）求B，（2）∠ABC的平分线交边AC于点D，且，求b．18．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，，，，平面平面PAC．（1）证明：；（2）若，M是PA的中点，求平面MBC与平面PAC夹角的余弦值．19．（12分）将数列中的所有项按照每一行项数是上一行项数的两倍的规则排成如下数表： ……记表中的第一列数，，，，…构成的数列为，为数列的前n项和，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成公差为2的等差数列，求上表中第k（）行所有项的和．20．（12分）以“智联世界，生成未来”主题的2023世界人工智能大会在中国上海举行，人工智能的发展为许多领域带来了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患．为了调查不同年龄阶段的人对人工智能所持的态度，某机构从所在地区随机调查100人，所得结果统计如下：年龄（岁）频数2416152520持支持态度2013121510（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为所持态度与年龄有关；年龄在50岁以上（含50岁）年龄在50岁以下总计持支持态度不持支持态度总计（2）以频率估计概率，若在该地区所有年龄在50岁以上（含50岁）的人中随机抽取3人，记为3人中持支持态度的人数，求的分布列以及数学期望．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与到直线的距离之比为．（1）求动点M轨迹W的方程；（2）过点F的两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线AB，CD的斜率分别为，，且，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．22．（12分）已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若时，，求a的取值范围；（3）对于任意，证明：．

2024年1月济南市高三期末学情检测数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CDBCCABD二、多项选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．题号9101112答案BDACDACBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分、共20分．13．；14．1；15．6；16．．四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．【解析】（1）由题意得，，所以，又，所以．（2）法一：因为所以，则，得在△ABC中，由余弦定理得，则18．【解折】（1）取BC中点N，连接AN，则，又，，所以四边形ANCD为正方形，则，，又在△ANB中，，则，所以，，即．又平面平面PAC，平面平面，平面ABCD，所以平面PAC，又面PAC，所以．（2）取AC中点O，BC中点N，连OP，ON，所以．因为AB⊥平面PAC，所以ON⊥平面PAC，因为，所以OP⊥AC，所以ON，OC，OP两两垂直，以O为原点，ON，OC，OP所在的直线分别为x抽、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，则平面PAC的一个法向量是，又，，，所以，，，设是平面MBC的法向量，则令，可得，所以，所以，平面MBC与平面PAC夹角的余弦值为19．【解析】（1）当时，．时，，也适合上式，因此．（2）设上表中从第三行起，每行的公差都为2，表中第k（）行有项，（或者）．20．【解析】（1）年龄在50岁以上（含50岁）年龄在50岁以下总计持支持态度254570不持支持态度201030总计4555100因为8.129＞6.635，所以有99%的把握认为对人工智能所持态度与年龄有关．（2）依题意可知50岁以上（含50岁）的人中对人工智能持支持态度的频率为．由题意可得．X的所有可能取值为0，1，2，3．又，，，所以的分布列如下：X0123P所以X的期望是．21．【解析】（1）设点M的坐标为，由题意可知，，化简整理得，W的方程为．（2）法一：由题意知，直线AB的方程为，与W的方程联立可得，，设，，由韦达定理得，，则，所以，点P的坐标为．同理可得，Q的坐标为．所以，直线PQ的斜率为，所以，直线PQ的方程为，即，又，则，所以直线PQ的方程即为，所以，直线PQ过定点．22．【解析】（1）的定义域为．当时，，则．令，则．故当时，单调递减；当时，单调递增．于是，即，故的单调递增区间为，无单调递减区间．（