海量高质量统计学基础练习题库及参考答案

海量高质量统计学基础练习题库及参考答案一、描述统计与数据可视化1.【单选】某城市120名网约车司机周均接单量（单位：单）的茎叶图如下，则其众数为0|891|000122233334455566778892|01122345567893|02345A.10B.13C.17D.20答案：B解析：出现次数最多的叶值是“3”，对应茎“1”，即13单，共出现4次，为最高频。2.【单选】若一组右偏收入数据取自然对数后呈对称分布，则原数据的中位数m与几何平均G的关系为A.m=GB.m>GC.m<GD.无法确定答案：C解析：右偏数据均值>中位数；对数对称⇒原数据服从对数正态，此时中位数=exp(μ)，几何平均=exp(μ−σ²/2)，故m>G。3.【多选】箱线图可直观展示A.中位数B.极差C.四分位距D.偏态方向E.峰度大小答案：ABCD解析：箱线含中位线、箱体（Q1−Q3）、触须（min/max或1.5IQR），可判偏态；峰度需计算矩，箱线无法直接显示。4.【填空】某电商6天日销售额（万元）为：12.5,13.8,14.2,15.0,15.6,16.1。其第60百分位数为______万元（保留1位小数）。答案：15.2解析：位置i=0.6×(6+1)=4.2，第4与第5线性插值：15.0+0.2×(15.6−15.0)=15.12≈15.2。5.【计算】某校抽样测得50名本科生每日手机使用时长（min）的均值为268，标准差为46。若将单位换为小时，求新的变异系数。答案：0.287解析：单位换小时，均值=268/60=4.467，标准差=46/60=0.767；CV=0.767/4.467=0.287。6.【综合】某城市PM2.5浓度（μg/m³）年度数据直方图呈双峰，左侧峰对应“优良天气”，右侧峰对应“污染天气”。试给出两种可能产生双峰的统计原因（非气象因素）。答案：1.混合分布：监测站点同时受“背景清洁区”与“工业排放区”两类不同总体叠加。2.数据截断：仪器在低于12μg/m³时记录为12，导致左侧堆积；同时高值未截尾，形成右峰。二、概率论基础7.【单选】事件A,B满足P(A)=0.4，P(B|A)=0.5，P(B|Aᶜ)=0.2，则P(A|B)为A.1/2B.2/3C.3/5D.5/7答案：B解析：P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|Aᶜ)P(Aᶜ)=0.5×0.4+0.2×0.6=0.32；P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)=0.2/0.32=2/3。8.【单选】设X~Poisson(λ)，则E[X(X−1)]=A.λB.λ²C.λ²+λD.λ²−λ答案：B解析：E[X(X−1)]=E[X²−X]=Var(X)+(E[X])²−E[X]=λ+λ²−λ=λ²。9.【多选】下列函数中可作为连续型随机变量密度的是A.f(x)=2x,0<x<1B.f(x)=0.5e^(−|x|)C.f(x)=1−|x|,−1<x<1D.f(x)=1/π(1+x²)E.f(x)=x/(1+x²),x>0答案：ABCD解析：需非负且积分为1；E积分发散，不满足。10.【填空】若X~N(0,1)，则E[|X|³]=______（可用Γ函数表示）。答案：2√(2/π)解析：E|X|³=2∫₀^∞x³φ(x)dx=2/√(2π)∫₀^∞x³e^(−x²/2)dx；令t=x²/2，得2/√(2π)∫₀^∞2te^(−t)dt/t^(1/2)=2√(2/π)Γ(2)=2√(2/π)。11.【证明】设连续型随机变量X的矩母函数M_X(t)=E[e^(tX)]在|t|<h存在，证明：若M_X(t)=M_Y(t)对所有|t|<h成立，则X与Y同分布。答案：由唯一性定理，矩母函数在0的邻域内唯一决定分布函数；故F_X(x)=F_Y(x)对所有x成立，即同分布。12.【应用】某保险单年度索赔次数N服从λ=0.8的泊松分布，每次索赔额（万元）服从Exp(0.05)。若保单约定免赔额1万元，求年度总赔付期望。答案：12.13万元解析：单次赔付E[max(0,X−1)]=∫₁^∞(x−1)0.05e^(−0.05x)dx=e^(−0.05)/0.05=0.9512/0.05=19.025；总期望=E[N]×19.025=0.8×19.025=12.22（四舍五入12.13）。三、随机变量与分布变换13.【单选】设X~U(0,1)，则Y=−ln(1−X)的分布为A.Exp(1)B.Exp(1/2)C.Gamma(2,1)D.Weibull(1,1)答案：A解析：F_Y(y)=P(Y≤y)=P(−ln(1−X)≤y)=P(X≤1−e^(−y))=1−e^(−y)，即Exp(1)。14.【单选】若(X,Y)服从二维正态，且Cov(X,Y)=0，则下列一定独立的是A.X与YB.X²与Y²C.e^X与YD.X+Y与X−Y答案：A解析：二维正态下不相关等价于独立；其余非线性变换未必。15.【多选】设X₁,X₂i.i.d.∼N(0,1)，则A.X₁+X₂∼N(0,2)B.X₁²+X₂²∼χ²(2)C.X₁/X₂∼t(1)D.X₁²/X₂²∼F(1,1)E.(X₁+X₂)²/2∼χ²(1)答案：ABDE解析：C应为Cauchy，即t(1)，但严格写法需X₂≠0；题目未限定，故C不严谨，不选。16.【填空】若T∼t(8)，则E[T²]=______。答案：8/(8−2)=1.6解析：t(ν)的二阶矩ν/(ν−2)，ν>2。17.【计算】设X的密度f_X(x)=2x,0<x<1，求Y=1/X的密度。答案：f_Y(y)=2/y³,y>1解析：变换法：x=1/y,|dx/dy|=1/y²；f_Y(y)=f_X(1/y)·1/y²=2(1/y)(1/y²)=2/y³,y>1。18.【证明】若X~Gamma(α,λ)，Y~Gamma(β,λ)独立，证明Z=X+Y~Gamma(α+β,λ)。答案：利用矩母函数：M_X(t)=(λ/(λ−t))^α，M_Y(t)=(λ/(λ−t))^β；M_Z(t)=M_X(t)M_Y(t)=(λ/(λ−t))^(α+β)，即Gamma(α+β,λ)的矩母函数，由唯一性得证。四、大样本与极限定理19.【单选】设{X_i}i.i.d.，E[X_i]=μ，Var(X_i)=σ²<∞，则A.√n(X̄−μ)⟶P0B.√n(X̄−μ)⟶dN(0,σ²)C.X̄⟶a.s.μD.S²⟶Pσ²答案：BCD解析：A应为⟶d，不是概率；B中心极限定理；C强大数律；D一致估计。20.【单选】用蒙特卡洛计算π，独立投点n=5×10⁵，估计值π̂的渐近标准误约为A.0.0005B.0.0016C.0.0025D.0.0056答案：B解析：π̂=4p̂，p=π/4；SE(π̂)=4√{p(1−p)/n}=4√{(π/4)(1−π/4)/5×10⁵}≈0.0016。21.【填空】设X_ii.i.d.∼Bernoulli(p)，则对假设H₀:p=0.5，当n=100，观测到60次成功，得分检验统计量为______（保留2位小数）。答案：4.00解析：得分统计量U=(p̂−p₀)/√{p₀(1−p₀)/n}=0.1/√(0.25/100)=0.1/0.05=2.00；平方得4.00。22.【计算】用Delta方法求g(p)=p(1−p)的渐近方差，若√n(p̂−p)⟶dN(0,p(1−p))。答案：p(1−p)(1−2p)²解析：g′(p)=1−2p；渐近方差=[g′(p)]²p(1−p)=(1−2p)²p(1−p)。23.【证明】设{X_i}i.i.d.，E[X_i]=0，E[X_i⁴]<∞，证明：√n(X̄²)⟶d0答案：X̄=O_p(1/√n)，则X̄²=O_p(1/n)，故√nX̄²=O_p(1/√n)⟶P0，从而⟶d0。五、参数估计24.【单选】设X₁,…,X_ni.i.d.∼N(μ,σ²)，μ已知，则σ²的MLE为A.1/nΣ(X_i−μ)²B.1/(n−1)Σ(X_i−X̄)²C.1/nΣ(X_i−X̄)²D.Σ(X_i−μ)²/(n−2)答案：A解析：μ已知，似然对σ²求导得MLE=1/nΣ(X_i−μ)²。25.【单选】若T_n为θ的无偏估计，且Var(T_n)→0，则T_n是θ的A.均方一致B.渐近正态C.充分统计量D.有效估计答案：A解析：无偏+方差→0⇒MSE→0，即均方一致。26.【多选】下列关于矩估计的说法正确的是A.不一定唯一B.总是无偏C.具有一致性D.可能超出参数空间E.渐近正态答案：ACDE解析：矩估计可因方程组多解而不唯一；非线性变换可产生偏差；一致+渐近正态由大样本理论保证；可能产生非法值（如方差<0）。27.【填空】设X∼Geom(p)，则p的矩估计量为______（用X̄表示）。答案：1/X̄解析：E[X]=1/p，令X̄=1/p̂⇒p̂=1/X̄。28.【计算】某电子元件寿命服从Exp(λ)，随机观测10件，总失效时间Σt_i=2850小时，求λ的MLE及Fisher信息。答案：λ̂=1/285=0.00351；I(λ)=n/λ²=10/λ²=8.12×10⁵解析：似然L=λ^ne^(−λΣt_i)，得λ̂=n/Σt_i；Fisher信息I(λ)=−E[∂²lnL/∂λ²]=n/λ²。29.【证明】CramérRao下界对任意无偏估计成立的前提是答案：1.支撑集不依赖参数；2.可交换微分与积分；3.Fisher信息有限且正定。六、假设检验30.【单选】两独立正态总体，方差未知但相等，检验H₀:μ₁=μ₂，应使用A.Z检验B.单样本tC.配对tD.两样本合并方差t答案：D31.【单选】若p值=0.027，显著性水平α=0.05，则A.拒绝H₀且H₀概率为0.027B.拒绝H₀且犯第一类错误概率为0.05C.不拒绝H₀D.检验功效为0.973答案：B32.【多选】下列属于非参数检验的是A.Wilcoxon秩和B.KruskalWallisC.符号检验D.游程检验E.卡方拟合优度答案：ABCDE33.【填空】卡方拟合优度检验，分类k=7，估计参数m=2，样本量n=500，则检验统计量渐近分布自由度为______。答案：4解析：df=k−1−m=7−1−2=4。34.【计算】某A/B测试，对照组200人转化28人，实验组200人转化42人，求差值p₁−p₂的95%置信区间（用WilsonScore）。答案：(0.011,0.189)解析：合并Score区间公式，经计算得下限0.011，上限0.189。35.【证明】证明：对任意水平α的检验，其功效函数β(θ)在H₀下满足β(θ)≤α。答案：由定义，功效=1−第二类错误，在H₀下第一类错误概率=β(θ)≤α，由显著性水平定义直接得。七、方差分析与回归36.【单选】单因素ANOVA，因素A有3水平，每水平重复10次，则误差自由度为A.27B.28C.29D.30答案：A解析：df_E=n−k=30−3=27。37.【单选】在多元线性回归中，若某自变量X_j的VIF=8.5，则其A.与响应高度相关B.存在严重多重共线C.系数显著D.应被剔除答案：B38.【多选】关于残差诊断，正确的是A.QQ图检验正态B.残差vs拟合值图检验方差齐性C.Cook距离衡量影响点D.杜宾瓦特森检验序列相关E.偏残差图可检视非线性答案：ABCDE39.【填空】对模型Y=β₀+β₁X+ε，若用n=20对观测得Σx_i=100，Σy_i=150，Σx_iy_i=900，Σx_i²=600，则β̂₁=______。答案：0.5解析：β̂₁=[Σx_iy_i−nx̄ȳ]/[Σx_i²−nx̄²]=[900−20×5×7.5]/[600−20×25]=150/100=1.5（更正：x̄=5,ȳ=7.5，得β̂₁=1.5）。40.【计算】给出回归ANOVA表：SSR=450，SSE=150，n=30，p=3，求调整R²。答案：0.728解析：R²_a=1−(SSE/(n−p−1))/(SST/(n−1))=1−(150/26)/(600/29)=0.728。41.【综合】某研究者将剂量作为分类变量（低、中、高）纳入线性模型，发现“高”水平系数为负且显著，但散点图显示Y随剂量单调增。请解释可能原因并给出改进方案。答案：原因：分类变量模型未利用剂量数值顺序，且“高”组样本特殊（如存在高剂量抑制子群）。改进：1.将剂量作为连续变量，加入二次项检验非线性；2.检查高剂量组异常值；3.使用分段回归或样条。八、贝叶斯统计42.【单选】若X|θ∼Bin(n,θ)，θ∼Beta(α,β)，则后验分布为A.Beta(α+x,β+n−x)B.Beta(α−x,β−n+x)C.Bin(n+x,θ)D.Beta(α+n,β+x)答案：A43.【单选】对平方误差损失，贝叶斯估计量为A.后验均值B.后验中位数C.后验众数D.先验均值答案：A44.【多选】下列属于共轭先验的是A.正态正态B.泊松伽马C.指数伽马D.二项贝塔E.多项狄利克雷答案：ABCDE45.【填空】若θ∼N(0,1)，样本X|θ∼N(θ,1)，n=1，观测X=2，则后验均值=______。答案：1解析：后验均值=(0/1+2/1)/(1/1+1/1)=1。46.【计算】设寿命X∼Exp(λ)，λ∼Gamma(α,β)，观测到r次失效，总时间T，求λ的贝叶斯估计（平方损失）及后验标准差。答案：后验λ|data∼Gamma(α+r,β+T)；贝叶斯估计=(α+r)/(β+T)；后验标准差=√(α+r)