2026年数学统计与概率理论试题

2026年数学统计与概率理论试题

一、选择题1.设随机变量\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，则\(P(X\leq\mu+\sigma)\)的值为（）[单选题]*A.0.3413B.0.8413C.0.1587D.0.6826答案：B。根据标准正态分布表，\(P(X\leq\mu+\sigma)=P(Z\leq1)\approx0.8413\)。2.在贝叶斯统计中，先验分布与后验分布的关系是（）[单选题]*A.先验分布是后验分布的极限形式B.后验分布是先验分布与似然函数的乘积C.先验分布与后验分布无关D.后验分布是先验分布的均值答案：B。贝叶斯定理表明后验分布正比于先验分布与似然函数的乘积。3.下列哪项不是中心极限定理的应用条件（）[多选题]*A.样本量足够大B.总体分布必须为正态分布C.样本独立同分布D.总体方差已知答案：BD。中心极限定理不要求总体分布为正态，且无需已知总体方差。4.若\(X\)和\(Y\)的协方差为0，则（）[单选题]*A.\(X\)和\(Y\)独立B.\(X\)和\(Y\)线性无关C.\(X\)和\(Y\)的相关系数为1D.\(X\)和\(Y\)的联合分布为乘积形式答案：B。协方差为0仅表明线性无关，独立性需联合分布可分解。5.在假设检验中，第一类错误是指（）[单选题]*A.接受错误的原假设B.拒绝正确的原假设C.拒绝错误的备择假设D.接受正确的备择假设答案：B。第一类错误为拒真，第二类错误为取伪。6.下列分布中，期望与方差相等的是（）[单选题]*A.泊松分布B.正态分布C.指数分布D.二项分布答案：A。泊松分布的\(E(X)=\text{Var}(X)=\lambda\)。7.关于Bootstrap方法，正确的描述是（）[多选题]*A.基于重复抽样估计统计量分布B.必须已知总体分布形式C.适用于小样本推断D.仅用于参数估计答案：AC。Bootstrap是一种非参数方法，无需假设总体分布。8.时间序列分析中，AR(1)模型的定义是（）[单选题]*A.\(X_t=\epsilon_t+\theta\epsilon_{t-1}\)B.\(X_t=\phiX_{t-1}+\epsilon_t\)C.\(X_t=\mu+\epsilon_t\)D.\(X_t=\phiX_{t-1}+\theta\epsilon_{t-1}\)答案：B。AR(1)模型仅包含一阶自回归项。9.若\(X\sim\text{Binomial}(n,p)\)，当\(n\to\infty\)且\(p\)较小时，\(X\)近似服从（）[单选题]*A.正态分布B.泊松分布C.指数分布D.均匀分布答案：B。泊松分布是二项分布的极限形式（\(np\)恒定）。10.主成分分析（PCA）的目标是（）[单选题]*A.最大化变量间的协方差B.最小化重构误差C.保留原始数据的全部信息D.寻找方差最大的正交方向答案：D。PCA通过正交变换将数据投影到方差最大的方向。11.下列统计量中，对异常值最敏感的是（）[单选题]*A.中位数B.四分位距C.均值D.众数答案：C。均值受极端值影响显著，而中位数和众数稳健。12.关于马尔可夫链，错误的描述是（）[多选题]*A.状态转移仅依赖当前状态B.必须具有平稳分布C.所有状态互通D.极限分布与初始状态无关答案：BC。马尔可夫链未必有平稳分布，且状态可非互通。13.在逻辑回归中，使用极大似然估计的目的是（）[单选题]*A.最小化预测误差平方和B.最大化观测数据的联合概率C.最小化分类错误率D.最大化模型复杂度答案：B。逻辑回归通过极大化似然函数估计参数。14.设\(X_1,X_2,\ldots,X_n\)为来自\(\text{Uniform}(0,\theta)\)的样本，则\(\theta\)的极大似然估计是（）[单选题]*A.\(\bar{X}\)B.\(\max(X_i)\)C.\(\min(X_i)\)D.\(\text{Median}(X_i)\)答案：B。均匀分布参数\(\theta\)的MLE为样本最大值。15.关于p值的定义，正确的是（）[单选题]*A.原假设为真的概率B.观测到更极端结果的概率C.备择假设为真的概率D.检验统计量的临界值答案：B。p值是在原假设下观测到当前或更极端结果的概率。16.下列方法中，可用于降维的是（）[多选题]*A.LASSO回归B.t-SNEC.因子分析D.K均值聚类答案：BC。t-SNE和因子分析均为降维技术，LASSO用于特征选择。17.在随机森林中，单棵决策树的生成通常采用（）[单选题]*A.全部样本和全部特征B.自助样本和随机特征子集C.分层样本和固定特征D.聚类样本和最优特征答案：B。随机森林通过Bootstrap抽样和特征随机化提升