2024-2025学年上海市静安区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年上海市静安区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）如果，那么下列计算正确的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列多项式中，属于完全平方式的是（）A． B． C． D．3．（4分）将抛物线向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（）A． B． C． D．4．（4分）下列两个图形一定相似的是（）A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个梯形5．（4分）以下说法错误的是（）A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果为非零向量），那么 D．如果是与非零向量同方向的单位向量，那么．6．（4分）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为，她上半身的长度为，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，那么．8．（4分）已知线段，点是的黄金分割点，且，那么线段的长为．9．（4分）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为，那么这两个三角形的面积比为．10．（4分）计算：．11．（4分）已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长之比为．12．（4分）在△中，点、分别在边、上，且，如果，那么．13．（4分）在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么．14．（4分）如果港口的南偏东方向有一座小岛，那么从小岛观察港口的方向是．15．（4分）如图，小明在教学楼的楼顶测得：对面实验大楼的顶端的仰角为，底部的俯角为．如果教学楼的高度为米，那么两栋教学楼的高度差为米．16．（4分）如图，为等边三角形，点、分别在边、上，，如果，，那么的长等于．17．（4分）如图，图中提供了一种求的方法，作△，使，，延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，求得的值是．18．（4分）如图，在△中，，，．是的中点，点在边上，将△沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，线段交边于点，联结．当△是直角三角形时，的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点．为的中点，联结并延长，交边于点．设，．（1）填空：向量；（2）填空：向量，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本体结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（10分）如图，点在第一象限的反比例函数图象上，的延长线与轴交于点，已知点、的横坐标分别为6、2，．（1）求的余弦值；（2）求这个反比例函数的解析式．22．（10分）【问题提出】已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围．【分析问题】用配方法把该二次函数的解析式化为的形式：，则顶点坐标为．根据“顶点在第二象限”，得出不等式，解出的取值范围是；【反思评价】我们首先通过配方法配出该抛物线的顶点（用含的代数式表示）、接着根据题意得出对应的不等式，解不等式最后得出答案．请你根据上述解答的方法，再提出一类似解法的问题．（不需要求解）23．（12分）△中，，点、分别为边、上的点，且，．（1）求证：；（2）联结，取的中点，联结并延长与交于点，求证：．24．（12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点，顶点的坐标为．（1）直接写出点的坐标，并求抛物线的表达式；（2）设点在轴上，且，直线与抛物线的另一个交点为点．①求点、的坐标；②将抛物线沿着射线的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段上；点的对应点为点．设线段与轴的交点为点，如果与相似，求点的坐标．25．（14分）如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），联结，过点作，交的延长线于点，联结，与对角线、边分别交于点、．设，．（1）求证：△△，并求的正切值；（2）求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结，当△与△相似时，求的值．

参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）如果，那么下列计算正确的是（）A． B． C． D．解：，选项不符合题意；，选项不符合题意；，选项不符合题意；，选项符合题意．故选：．2．（4分）下列多项式中，属于完全平方式的是（）A． B． C． D．解：，故选项符合题意；不符合完全平方公式的特征，故选项不符合题意；不符合完全平方公式的特征，故选项不符合题意；不符合完全平方公式的特征，故选项不符合题意．故选：．3．（4分）将抛物线向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（）A． B． C． D．解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为，故选：．4．（4分）下列两个图形一定相似的是（）A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个梯形解：、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；、两个梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；故选：．5．（4分）以下说法错误的是（）A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果为非零向量），那么 D．如果是与非零向量同方向的单位向量，那么．解：、如果，那么，故本选项符合题意．、如果，那么，故本选项不符合题意．、如果为非零向量），那么与方向相同，则，故本选项不符合题意．、如果是与非零向量同方向的单位向量，那么，故本选项不符合题意．故选：．6．（4分）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为，她上半身的长度为，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A． B． C． D．解：一位女士身高为，她上半身的长度为，她下半身的长度为，设鞋跟高为厘米时，她身材显得更为优美，根据题意得，解得．经检验为原方程的解，所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳．故选：．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，那么．解：，即．故答案为：．8．（4分）已知线段，点是的黄金分割点，且，那么线段的长为．解：线段，点是线段的黄金分割点，，，故答案为：．9．（4分）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为，那么这两个三角形的面积比为．解：相似三角形对应高的比等于相似比，两三角形的相似比为，两三角形的面积比为．故答案为：．10．（4分）计算：．解：原式．故答案为：．11．（4分）已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长之比为．解：两个相似三角形的相似比为，它们的周长比等于相似比，即：．故答案为．12．（4分）在△中，点、分别在边、上，且，如果，那么．解：如图，，△△，，，故答案为：．13．（4分）在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么．解：作轴于点，如图所示，点，，，，，，即，故答案为：．14．（4分）如果港口的南偏东方向有一座小岛，那么从小岛观察港口的方向是北偏西．解：如图，，从小岛观察港口的方向是北偏西．故答案为：北偏西．15．（4分）如图，小明在教学楼的楼顶测得：对面实验大楼的顶端的仰角为，底部的俯角为．如果教学楼的高度为米，那么两栋教学楼的高度差为米．解：连接，过点作于点，则四边形是矩形，米，在△中，，，，在△中，，（米，答：两栋教学楼的高度差为米．故答案为：．16．（4分）如图，为等边三角形，点、分别在边、上，，如果，，那么的长等于．【解答】解为等边三角形，，，，，，，，，，，，，．故答案为：．17．（4分）如图，图中提供了一种求的方法，作△，使，，延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，求得的值是．解：作△，使，，再延长到点，使，联结，，，，，设，则，，，在△中，，．故答案为：．18．（4分）如图，在△中，，，．是的中点，点在边上，将△沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，线段交边于点，联结．当△是直角三角形时，的长为2或．解：①方法一：如图1，当时．在△中，，，，是的中点，，，，，又，△△，，即，解得：，设，则，，，，，解得．．方法二：过点作于点，设，，则，将△沿直线翻折，，，，；②如图2中，当时，连接，作交的延长线于．，，△△，，将△沿直线翻折，，，，，，，，设，则，，在△中，，，解得，．则的长为2或．方法二：过点作于点，设，，，，，，，．故答案为：2或．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．解：原式．20．（10分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点．为的中点，联结并延长，交边于点．设，．（1）填空：向量；（2）填空：向量，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本体结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）解：（1），，．，四边形是平行四边形，，，，．故答案为：．（2），，，，．在向量和方向上的分向量分别为和．故答案为：．21．（10分）如图，点在第一象限的反比例函数图象上，的延长线与轴交于点，已知点、的横坐标分别为6、2，．（1）求的余弦值；（2）求这个反比例函数的解析式．解：（1）作轴于，轴于，，△△，，点、的横坐标分别为6、2，．，，，，，；（2）；，，，点、在第一象限的反比例函数图象上，，，，，，解得，反比例函数的解析式为．22．（10分）【问题提出】已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围．【分析问题】用配方法把该二次函数的解析式化为的形式：，，则顶点坐标为．根据“顶点在第二象限”，得出不等式，解出的取值范围是；【反思评价】我们首先通过配方法配出该抛物线的顶点（用含的代数式表示）、接着根据题意得出对应的不等式，解不等式最后得出答案．请你根据上述解答的方法，再提出一类似解法的问题．（不需要求解）解：【分析问题】，抛物线的顶点坐标为，抛物线顶点在第二象限，，．故答案为：，，，．【反思评价】按照上述思路，提出类似问题：的顶点在第一象限，求的取值范围．23．（12分）△中，，点、分别为边、上的点，且，．（1）求证：；（2）联结，取的中点，联结并延长与交于点，求证：．【解答】证明：（1），，，，，，，，又，△△，，，；（2）如图，是直角三角形，点是中点，，，，点，点，点，点四点共圆，，，又，，．方法二：，，△△，，，是中点，，，，，△△，，．24．（12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点，顶点的坐标为．（1）直接写出点的坐标，并求抛物线的表达式；（2）设点在轴上，且，直线与抛物线的另一个交点为点．①求点、的坐标；②将抛物线沿着射线的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段上；点的对应点为点．设线段与轴的交点为点，如果与相似，求点的坐标．解：（1）当时，，，设抛物线的解析式为：，把代入得：，，抛物线的表达式为：；（2）①如图1，，，，，，，，设的解析式为：，则，解得：，的解析式为：，则，解得：或，；②，，同理得直线的解析式为：，，，，，，，，如图2，同理得：直线的解析式为：，由平移得：，则直线的解析式为：，，，，设抛物线平移后的顶点为，，则，，抛物线沿着射线的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段上，，如果与相似，有以下两种情况：当时，即，解得：，；当时，即，解得：（不符合题意，舍去），综上，．25．（14分）如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），联结，过点作，交的延长线于点，联结，与对角线、边分别交于点、