2025-2026学年上海八中高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海八中高一（上）期中数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、填空题（每题3分）1．设全集，2，3，，集合，，则．2．已知等式恒成立，则．3．已知，，则．4．若幂函数的图像经过点，则其表达式为．5．“”是“、是方程的两根”的条件．6．当时，求的最小值为．7．若代数式有意义，则其中实数的取值范围是．8．满足条件，，，，，的集合的个数是．9．已知集合，，若集合有3个真子集，则实数的取值范围为．10．若不等式的解集为，则实数的取值范围是．11．若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为．12．由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是．①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素．二、选择题（每题3分）13．下列命题中错误的是A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则14．对于集合和，令，，，若，，，，则A．整数集 B． C． D．，15．下列运算中正确的是A． B． C． D．16．假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：与刹车前的速度（单位：之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据：（单位：51020（单位：1.20252.7256.73对于以下两个结论：①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为；②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶．其中正确的是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立三、解答题（8+8+10+10+16）17．（8分）已知集合，，全集为．（1）求集合和；（2）求阴影部分表示的集合．18．（8分）已知幂函数在上为严格减函数．（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．19．（10分）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为．（1）试用栏目高与宽表示整个矩形广告面积；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．20．（10分）已知函数．（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当，时，恒成立，求实数的取值范围．21．（16分）设是实数集的非空子集且至少有两个元素，称集合，且为集合的生成集．（1）当，3，时，写出集合的生成集；（2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；（3）用反证法证明：不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，．

参考答案一、填空题（每题3分）1．设全集，2，3，，集合，，则，．解：因为集合，，全集，2，3，，则．故答案为：，．2．已知等式恒成立，则6．解：因为恒成立，所以恒成立，则，解得，故．故答案为：6．3．已知，，则72．解：因为，，则，所以．故答案为：72．4．若幂函数的图像经过点，则其表达式为．解：设幂函数为，幂函数的图像经过点，则，解得，故．故答案为：．5．“”是“、是方程的两根”的必要且不充分条件．解：若，则可能、，不满足、是方程的两根；反之，若、是方程的两根，则、，可得成立．综上所述，“”是“、是方程的两根”的必要且不充分条件．故答案为：必要且不充分．6．当时，求的最小值为10．解：当时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为10．故答案为：10．7．若代数式有意义，则其中实数的取值范围是，，．解：若代数式有意义，则需满足，即，或，则的取值范围是，，．故答案为：，，．8．满足条件，，，，，的集合的个数是7．解：由题意，集合可以是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7个．故答案为：7．9．已知集合，，若集合有3个真子集，则实数的取值范围为．解：由集合，有3个真子集，得中有2个元素，可得，，所以，解得．故答案为：．10．若不等式的解集为，则实数的取值范围是．解：设，则函数的最大值为1，所以不等式的解集为时，实数的取值范围是．故答案为：．11．若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为，．解：因为集合有且仅有两个子集，所以集合有1个元素，即方程有1个解，即方程有1个解，所以方程有1个解，所以或，解得或，实数的取值集合为，．故答案为：，．12．由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是①②④．①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素．解：若，，则没有最大元素，有一个最小元素0，故①可能成立；若，；则没有最大元素，也没有最小元素，故②可能成立；若，；有一个最大元素，没有最小元素，故④可能成立；有一个最大元素，有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在和两个集合中，与和的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立．故答案为：①②④．二、选择题（每题3分）13．下列命题中错误的是A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则解：．因为，所以，因为，所以，正确；．因为，所以，所以，正确；．，时，满足，得不出，错误；．因为，，所以，所以，正确．故选：．14．对于集合和，令，，，若，，，，则A．整数集 B． C． D．，解：由题意可知，若，，，，任取，，则，，所以，其中，即表示所有奇函数组成的集合，所以．故选：．15．下列运算中正确的是A． B． C． D．解：：因为，所以，故错误，：因为，所以，则，故错误，：因为，故正确，：因为，故错误，故选：．16．假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：与刹车前的速度（单位：之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据：（单位：51020（单位：1.20252.7256.73对于以下两个结论：①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为；②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶．其中正确的是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立解：由题意可得，则，即，易知该函数在上单调递增，又，，，若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为，①不成立；又的最小正整数的值为，可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶，②成立．故选：．三、解答题（8+8+10+10+16）17．（8分）已知集合，，全集为．（1）求集合和；（2）求阴影部分表示的集合．解：（1）由，得，解得，所以，由，得，解得，所以；（2）由图可知阴影部分表示的集合为，因为，所以，所以阴影部分表示的集合为．18．（8分）已知幂函数在上为严格减函数．（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）因为函数是幂函数，所以，得或，因为幂函数在上为严格减函数，所以不符合题意，所以．（2）由（1）可得，设函数，因为函数在，上严格单调递减，所以或或，得或．所以实数的取值范围是．19．（10分）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为．（1）试用栏目高与宽表示整个矩形广告面积；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．解：（1）设矩形栏目的高为，宽为，则，广告的高为，宽为（其中，，广告的面积；（2），当且仅当，即时，取等号，此时．故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小．20．（10分）已知函数．（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当，时，恒成立，求实数的取值范围．解：（1），即，要使时，恒成立，则有△，即，解得，即的取值范围是，．（2）当，时，设，分以下三种情况讨论：①当，即时，在，上单调递增，在，上的最小值为，因此无解；②当，即时，在，上单调递减，在，上的最小值为（2），因此解得；③当，即时，在，上的最小值为，因此解得．综上所述，，即实数的取值范围是，．21．（16分）设是实数集的非空子集且至少有两个元素，称集合，且为集合的生成集．（1）当，3，时，写出集合的生成集；（2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；（3）用反证法证明：不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，．解